一線三等角典型例題

1、一線三等角”模型在初中數學中的應用一、“一線三等角”模型的提煉例1、（2015年山東德州卷） 問題：如圖 1，在四邊形 ABCD 中，點 P為 AB 上一點，/ DPC=/ A=Z B=90 ° .求證： AD- BC=AP - BP.探究：如圖2，在四邊形 ABCD 中，點P為AB上一點，當/ DPC=Z A=Z B=時，上述結論是 否依然成立？說明理由.應用：請利用（1）、獲得的經驗解決問題：如圖 3，在 ABD中，AB=6，AD=BD=5.點P以每 秒1個單位長度的速度，由點 A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足/ DPC=Z A.設點的運動時間 為t （秒），當以D為圓心，以D

2、C為半徑的圓與AB相切，求t的值.變式1 （ 2012年煙臺）（1）問題探究如圖6，分別以厶 ABC的邊AC與邊BC為邊，向 ABC外作正方形ACD1E1 和正方形BCD 2E2,過點C作直線KH交直線AB于點H，使/ AHK = / ACD .作 D1M丄KH，D2N丄KH，垂足分別為點M、N.試探究線段D1M與線段D2N的數量關系，并加以 證明.（2）拓展延伸1 如圖7,若將“問題探究”中的正方形改為正三角形，過點C作直線K1H1，K2H2，分別交直線 AB 于點 H1、H2，使/ AHK1 = / BH2K2 = / ACD1 . 作 D1M ±K 1H1， D2N丄K 2H2

3、，垂足分別為點M、N . D1M = D 2N是否仍成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理 由.2 如圖8，若將 中的“正三角形”改為“正五邊形”，其他條件不變.D 1M = D 2N是否仍成立？ （要求：在圖8中補全圖形，注明字母，直接寫出結論，不需證明 ）、添加輔助線后運用基本圖形例1、在厶ABC中，AB =2，/ B = 45。，以點A為直角頂點作等腰R 點E在AC上，若CE=5，求CD的長。t ADE,點在 BC 上,例2、 （2013年海淀區(qū)一模22題最后一問）如圖，11、12、13是同一平面內的三條平行線，11、12 之間的距離是21/5，12、13之間的距離是21/10，等邊

4、ABC的三個頂點分別在11、12、13上，求 ABC的邊長.例3、 如圖，在矩形紙片A BCD中，AE = 5,EC = 4，在AE 邊上取點G,現將紙片沿EG 翻折，使點A落在CD邊上的點F處，當AE=3時，求BG 的長。三、應用舉例1、等腰三角形底邊上的一線三等角例1、如圖5，在 三角形ABC中，AB=AC,D為BC的中點，以D為 如圖5,當射線DN經過A時，DM交AC邊于點E,不添加輔助線，寫出圖中所有與三角形 ADE相似的三角形 如圖6，將/ MDN繞點D逆時針方向旋轉，DM,DN 分別交線段AC,AB于E,F點，(E和A點不 重合)，不添加輔助線，寫出圖中所有相似的三角形，并證明。在

5、圖6中，若AB=AC=10，BC=12，當三角形DEF的面積等于三角形面積的1/4時，求線段 EF的長。例2、如圖8，在Rt /ABC中，AB = AC =2 ，/ A = 90。，現取一塊等腰直角三角板，將45 °角 的頂點放在BC中點0處，三角板的直角邊與線段 AB、AC分別交于點E、F，設BE =x，CF = y， / BOE = a ( 45 °< a < 90 ° ).(1) 試求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(2) 試判斷/ BEO與/ OEF的大小關系?并說明理由；(3) 在三角板繞O點旋轉的過程中，/ OEF能否成為等腰三角形

6、若能，求出對應 x的值;若不能，請說明理由.【例3】(2012 四川成都卷)如圖， ABC和厶DEF兩個全等的等腰直角三角形，/ BAC=Z EDF=90°,A DEF的頂點E與厶ABC的斜邊BC的中點重合.將DEF繞點 旋轉,旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q .(1) 如圖，當點 Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證： BPEA CQE(2) (2)如圖，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：BPEA CEQ 并求當BP=a，CQ=9a/2 時，P、Q兩點間的距離(用含a的代數式表示)6、(東城一模24.)等邊 ABC邊長為6，P為BC邊上一點，

7、/ MPN =60 °，且PM、PN分別于邊 AB、AC交于 點 E、F.(1) 如圖1，當點P為BC的三等分點，且 PE丄AB時，判斷 EPF的形狀；(2) 如圖2，若點P在BC邊上運動，且保持 PE丄AB，設BP=x，四邊形AEPF面積的y，求y與x的函數關 系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(3) 如圖3，若點P在BC邊上運動，且/ MPN繞點P旋轉，當CF=AE=2時，求PE的長2、四邊形中的一線三等角 例1、如圖，正方形 ABCDBM 的長為x cm，CN的長為y cm.求點M 在BC上的運動過程中y的且始終保持 AM丄MN,設最大值XI C(2013年杭州壓軸題如圖”已知

8、止方形ABCD的邊肚為4, 對稱中心為點P,點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿 足條件ZEPF=45圖中兩塊陰影部分圖形關于直線AC成軸對稱、 設它們的面積和為Sl° (1)求證：ZAPE= ZCFP； (2)設四邊形CMPF 的面積為 S2, CF = xt y = o 求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍，并求出y 的最大值； 當圖中兩塊陰影部分圖形關于點卩成中心對稱時，求y的值.例3、如圖，在等腰梯形BC、CD上移動，且/ 的最小值是()NDABCD 中,AEF = 45AD/ BC, BC = 4AD = 4 2，/ B = 45。，點E、F 分別在邊，則點移

9、動過程中，線段AF長ABC 60°，點E, F分別在線段AE例 4 .如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC , AB DC AD 6 , AD, DC上(點E與點A, D不重合),且BEF 1200，設AE 求y與x的函數表達式； 當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？4tan CAD 例4、如圖，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC，/ B=90 °，AB=8，3，CA=CD，E、F分別是線段AD、AC上的動點(點 E與點A、D不重合)，且/ FEC= / ACB，設DE=x，CF=y.(1 )求AC和AD的長；(2 )求y與x的函數關系式；(3 )當厶EFC

10、為等腰三角形時，求 x的值例2.寧區(qū)莊題)如Eh等腰悌形ABCD中，AD II BC , AD二忑,BC二近、ZB = 45 ,旦甬三角梔合輕度角的頂點E在邊巧U上移動.一自角邊繪終疑過點斜 邊與CD交于點F.若XRE為等腰三角形，則CF的長等于.例$ (徐匯區(qū)囲h如圖在梯形ABCD中，YD" BC, ziZ? = CZ> = Z?C=61AD=i.點財為邊EL的中點以陽 為頂點作=丄E r射線ME交腰AB于點£ , 射線曲 交腰CD于點尸，駐結£尸(1 | 求證：AA/rFcoABEAf j'2'苦 BE匕是；腰盯手繼三用枚 TEF(3)若EF _CD、求BE的長，3、函數問題中的一線三等角.例1、在直角坐標系中，點 A是拋物線 y x2在第二象限上的點，連結 OA，過點0作0B丄OA, 交拋物線于點B，以OA、0B為邊構造矩形AOBC .如圖，當點A的橫坐標為一1/2時，求點B的 坐標.變武練習3、住乎血直用坐抓系XOY 1' , MOB的位置如圖01 /J； 己知ZAO = 9(JZ = 60 點 A 的幫標為I)(1)求點B的坐標斗若地物線心十加 卄 經過笊0. H三點，戲曲數解