《量子力學(xué)》試卷一

1、、判斷題（共10分，每題2分）1 在量子力學(xué)中，粒子在某一點(diǎn)的能量等于動(dòng)能與勢能之和。（ ）2若，則 的本征函數(shù)必定也是 的本征函數(shù)。（ ）3 力學(xué)量算符，則和 必相互對易。（）4 若力學(xué)量算符不顯含時(shí)間，則力學(xué)量必為運(yùn)動(dòng)恒量。（）5 在任意態(tài)中，力學(xué)量 x和 必定滿足下述關(guān)系式。得分評卷人二、填充題（共10分，每題2分）1 德布羅意關(guān)系式是 禾廿。2稱等固有性質(zhì)的微觀粒子為全同粒子。2. 質(zhì)量，電荷，自旋；完全相同3 下列算符 ： ： ：是線性算符的是AU(x)0abx4.有一勢場為子處于束縛態(tài)時(shí),4 0 c E c U2E的取值范圍為，如圖所示，當(dāng)粒。5 已知體系的哈密頓算符為x;y;：與

2、 對易的有得分評卷人三、說明題（共8分）試比較粒子和波這兩個(gè)概念在經(jīng)典物理和量子力學(xué)中的含義。得分評卷人四、證明題（共24分，每題8分）1設(shè)、是厄密算符的本征函數(shù)，它們所屬的本征值、都不相等，試證當(dāng)時(shí)，有。2. 已知，試證：。3設(shè) 為算符 屬于本征值 的本征函數(shù)，且，試證 是算符屬于本征值的本征函數(shù)。得分評卷人五、計(jì)算題（共48分，每題12分）1. 一粒子在一維勢場中運(yùn)動(dòng)，其中，求束縛態(tài)能級所滿足的方程。2. 設(shè)氫原子處于狀態(tài)，求氫原子能量、 角動(dòng)量平方及角動(dòng)量 z分量的可能取值及其相應(yīng)的幾率，并求這些力學(xué)量的平均值。3. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，電矩為的平面轉(zhuǎn)子處在均勻電場中，電場是在轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)的平面上

3、，用微擾法求轉(zhuǎn)子能量至二級修正。4 .設(shè)兩個(gè)電子在彈性輳力場中運(yùn)動(dòng)，每個(gè)電子的勢能是，如果電子之間的庫侖能和相比可以忽略，求這兩個(gè)電子組成的體系波函數(shù)。量子力學(xué)試卷答案一一、判斷題 每小題2分，共10分。（在每小題后的括號內(nèi)對的打，錯(cuò)的打“X” ）1.X2. X3.X4.X5.V二、填空題 每小題2分，共10分-h - 廠 十p = n =1. E = h,2質(zhì)量，電荷，自旋；完全相同3. （ 1）, （3）, （5）40 V E c u25. （ 3）, （4）, （ 5）三、說明題 每小題8分，共8分粒子：共同點(diǎn)：顆粒性，即是具有一定質(zhì)量、電荷等屬性的客體 不同點(diǎn)：經(jīng)典粒子遵循經(jīng)典決定論，

4、沿確定軌道運(yùn)動(dòng)微觀粒子不遵循經(jīng)典決定論，無確定軌道運(yùn)動(dòng)；（4分）波：共同點(diǎn)：遵循波動(dòng)規(guī)律，具有相干迭加性不同點(diǎn)：經(jīng)典波是與某個(gè)客觀存在的物理量的周期性變化在空間中的傳播相聯(lián)系的量子力學(xué)中的物質(zhì)波不存在這樣的物理量，它只是一種幾率波。（4分）四、證明題 每小題8分，共24分1.?k =扎4?i =丸4（3分）（3分）（2分）（4分）（4分）（6分）； d 沖 id 二（F?；）* id k ； id ?.當(dāng),-'k 時(shí)，d. =0。2.LM農(nóng),？xMy=0。3.k?* =ABi?$ =（1+BA）?© = +1）e?*。(2 分) ?是I?屬于本征值乙+1的本征函數(shù)。五、計(jì)算題

5、 每小題12分，共48分1.是束縛態(tài)，0 : E : Uo,(1)分區(qū)列方程2 d2'-： I 廠荷“Er 二J 2dx22 d2-.丁亠 u- iii 二 E'j dxx ： -a<a-aIIIII(4分)d2rdx2竽(uo -E)'- I =0dx22Edx22 J(Uo-E)ii一2=0(2)求通解:-2令巻(u°-E) k2_ 2E=_ I f e：x 2?II = Bsi nkx 、)?II 二Ge" Ge：(3 )利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件有限性當(dāng) XT 皿時(shí),即 I T 0 , A = 0 , .即 I = Ah(4分)當(dāng) X r 時(shí)

6、，''III "0C1= 0 ,' III 二 C2e X ； 連續(xù)性VI=屮“ 1x=IId屮Id*I<Ae* = Bsi n(ka + 6)dxx=dxX。嚴(yán)=Bkcos(-ka + &)IIdxx m 二 5川d 屮 iiidxx =ax -a(1 )*( 2)得:x -aBsi n(ka+3) =C2e-療(3)Bkcos(ka+芳)=-Ce(4)k tg(-ka 丄心)：ot(5)(3) + ( 4)得:k tg(ka 、)=a(6)由( 5)得:ni=0, _1,由（6）得:ka 、= n2專-tg 二a=0,-1,兩式相加:m=ji

7、2m = n1n2 = 0,_1；實(shí)際上只有兩組獨(dú)立的解，分別對應(yīng):當(dāng)：=0時(shí),ktgka = _一« ;d =當(dāng) 2時(shí),ctgka 二;這就是束縛態(tài)能級所滿足的方程。2.(4分)對于氫原子定態(tài)波函數(shù)一 nlm二尺1（）丫向（亠'），有H?L2界LZnlmEn= 1(1 1)mft2單nlmE，其中2n 2a°(2 分)題中給定的'（r,3 ；：）已按' nlm展開了,且有 C211 二1 , C 21 J = ' 3顯然C 21121-1=4，即.（r,二：）末歸一化。經(jīng)歸一化C 2112 _ 14 ,C 21 A(1 分)當(dāng)氫原子處于狀態(tài)

8、'（門，：）時(shí),E2能量的可能取值為相應(yīng)幾率為平均值為角動(dòng)量平方的可能取值為相應(yīng)幾率為平均值為角動(dòng)量z分量的可能取值為相應(yīng)幾率為平均值為8a°1,2E 二 e2 邑8aoL2LzLz=2 2,（3 分）（3 分）（3 分）3.在均勻電場中，平面轉(zhuǎn)子體系的哈密頓算符為H? zD ； cos :21Lz2I，乩的本征值和本征函數(shù)分別為2 一2(o) m（0）m21（3 分）/ H?不顯含時(shí)間，屬于定態(tài)微擾,D（4分）2(0) : (0) : (0)由上式可見，對于能級Em的2個(gè)簡并態(tài) m和一 -m , H'的所有矩陣元均為 0,即m,m_m, -m=H m, _m = 0

9、（2 分）本題可按非簡并態(tài)微擾論處理，精確到二級修正的能量值為m22D2；2I=+(3 分)2I(4m2 -1) 2。4.這個(gè)一個(gè)兩電子體系，屬于費(fèi)米子系統(tǒng)。在不考慮電子之間庫侖相互作用的情況下,' s(ri,r2).2心("(2)亠 n(ri)J(r2)】A(ri, r2)-'m(ri yJ n(2) t n(ri尸 m(D)1(2 分)其中'- m(r)、 n(r)分別為諧振子第 m、n個(gè)能量本征函數(shù)。(i )當(dāng)m = n時(shí)，由這兩電子組成的體系波函數(shù)為A二m (rik m(r2) A(Siz,s2z)；(3 分)(2)當(dāng)m = n時(shí)，由這兩電子組成的體系波函數(shù)為：-A-s( ri, r2 ) A(siz,s2z)單重態(tài)S)(Siz, S2z)：-A=HfA(ri,r2H7S