隨機變量的相互獨立性

1、2021/3/10授課：xxx13.3隨機變量的獨立性2021/3/10授課：xxx2 隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念兩事件兩事件a,b獨立的定義是：獨立的定義是：若若p(ab)=p(a)p(b)則稱事件則稱事件a,b獨立獨立 . 設(shè)設(shè) x,y是兩個是兩個隨機變量隨機變量，若對任意的，若對任意的x,y,有有)()(),(yypxxpyyxxp 則稱則稱x,y相互獨立相互獨立 .兩隨機變量獨立的定義是：兩隨機變量獨立的定義是：2021/3/10授課：xxx3 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(x,y)的分布函數(shù)的分布函數(shù)為為f(x, y), x和和y

2、的邊緣分布函數(shù)分別為的邊緣分布函數(shù)分別為fx(x), fy(y),若若 x,y ,有有 f(x,y)=fx(x)fy(y)則稱則稱隨機變量隨機變量x和和y相互獨立相互獨立 定義定義: 其意義其意義:事件事件xx與與yy相互獨立相互獨立 用分布函數(shù)表示用分布函數(shù)表示,即即 它表明，兩個隨機變量相互獨立時，它們的它表明，兩個隨機變量相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積 .2021/3/10授課：xxx4離散型離散型: x與與y相互獨立相互獨立 即即pij=pi. p.j (i,j=1,2,)連續(xù)型連續(xù)型: x與與y相互獨立相互獨立 若若(x

3、,y)服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布,則則x與與y相互獨立相互獨立 =0 f(x,y)=fx(x)fy(y)px=xi,y=yj=px=xi py=yj2021/3/10授課：xxx5例例1 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(x,y)的分布律為的分布律為:y x1 2 312 311819161若若x與與y相互獨立相互獨立,求求 , 之值之值 2021/3/10授課：xxx6解解: =px=2,y=2=px=2py=2)91)(31( =px=2,y=3=px=2py=3)181)(31( 又由又由1 ijijp31 解得解得:91,92 2021/3/10授課：xxx7例例2 設(shè)設(shè)x與與y是兩

4、個相互獨立的隨機變量是兩個相互獨立的隨機變量,x在在(0,0.2)上服從均勻分布上服從均勻分布,y的概率密度的概率密度為為:求求 pyx解解:由題意可知由題意可知 其它其它 , 00 ,5)(5yeyfyy 其其它它 , 02 . 00 , 502 . 01)(xxfx2021/3/10授課：xxx8 其它其它, 00, 2 . 00 , 255yxeypyx 2 . 000525xydyedx=0.3697f(x,y)=fx(x)fy(y)o x y0.2ddxdyyxfd ),(2021/3/10授課：xxx9證明證明:例例3 3設(shè)設(shè):(x ,y ):(x ,y ) n n求證求證: x:

5、 x與與y y獨立獨立 =0=0ryxeyxfyyxx,121),(2222212121212)()(2)()1 (21221),(2221212021/3/10授課：xxx10rxexfxx212112)(121)(由ryeyfyy22222)(221)( “” 把=0代入22222121)()(212121),(yxeyxf)()(2121222221212)(22)(1yfxfeeyxyx于是: x與y獨立2021/3/10授課：xxx11“” x x和和y y相互獨立相互獨立 (x,y)(x,y) r r2 2. .有有 f(x,y)= ff(x,y)= fx x(x)f(x)fy y

6、(y)(y) 對比兩邊對比兩邊 =0=0212212121121特別特別, ,取取 代入上式有代入上式有 即即: :21,yx)()(),(2121yxfff2021/3/10授課：xxx12 例例4 設(shè)設(shè)(x,y)的概率密度為的概率密度為其它, 00, 0,),()(yxxeyxfyx問問x和和y是否獨立？是否獨立？解：解：0)()(dyxexfyxx0)()(dxxeyfyxy,xxe,yex0 即：即：其它, 00,)(xxexfxx其它, 00,)(yeyfyy對一切對一切x, y, 均有：均有：故故x,y 獨立獨立)()(),(yfxfyxfyxy 02021/3/10授課：xxx1

7、3 若若(x,y)的概率密度為的概率密度為其它,y, yx,)y, x(f01002情況又怎樣？情況又怎樣？解：解：),1 (22)(1xdyxfxxyyydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面積不為由于存在面積不為0的區(qū)域，的區(qū)域，)()(),(yfxfyxfyx故故x和和y不獨立不獨立 .2021/3/10授課：xxx14例例5 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時時30分在某地會面分在某地會面.如果甲來到的時間在如果甲來到的時間在12:15到到12:45之間是均勻之間是均勻分布分布. 乙獨立地到達乙獨立地到達,而且到達時間在而且到達時間在12:00到到13:00之間是均勻分布

8、之間是均勻分布. 試求先到的人等待另一試求先到的人等待另一人到達的時間不超過人到達的時間不超過5分鐘的概率分鐘的概率. 又甲先到的又甲先到的概率是多少？概率是多少？解解: 設(shè)設(shè)x為甲到達時刻為甲到達時刻,y為乙到達時刻為乙到達時刻以以12時為起點時為起點,以分為單位以分為單位,依題意依題意,xu(15,45), yu(0,60)2021/3/10授課：xxx15其它, 04515,301)(xxfx所求為所求為p( |x-y | 5) 及及p(xy)其它, 0600,601)(xyfy解解: 設(shè)設(shè)x為甲到達時刻，為甲到達時刻， y為乙到達時刻為乙到達時刻以以12時為起點，以分為單位，依題意，時

9、為起點，以分為單位，依題意，xu(15,45), yu(0,60)其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由獨立性由獨立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到達的時間不超過到達的時間不超過5分鐘分鐘的概率的概率2021/3/10授課：xxx16解一：解一： 45155x5xdxdy18001p(| x-y| 5) xy015451060405yx5yx=p( -5 x -y 5)=1/6=1/2xy01545106040yx p(xy) 45156018001xdxdy2021/3/10授課：xxx17解二：解二：5| yx |dxdy18001p(x

10、 y)p(| x-y| 5) xy015451060405yx5yxxy01545106040yx 2021/3/10授課：xxx18類似的問題如：類似的問題如： 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨立地到達，并且每艘船在一晝夜間到各自獨立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的達是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小時，乙船需小時，乙船需停泊停泊2小時，而該碼頭只能停泊一艘船，試求小時，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率其中一艘船要等待碼頭空出的概率.2021/3/10授課：xxx19 在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機

11、在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等可能的是等可能的. 若收到兩個互相獨立的這種信號若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間隔小于的時間間隔小于0.5秒，則信號將產(chǎn)生互相干秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾擾. 求發(fā)生兩信號互相干擾的概率求發(fā)生兩信號互相干擾的概率.2021/3/10授課：xxx20類似于二維隨機變量的理解類似于二維隨機變量的理解定義定義: 將將n個隨機變量個隨機變量 x1,x2,xn 構(gòu)成一構(gòu)成一個個n維向量維向量(x1,x2,xn)稱為稱為n維隨機變量維隨機變量(x1,x2,xn)的分布函數(shù)的分布函數(shù): f(x1, x2, , xn)=px1x1, x2x2, , xnxn以上所述關(guān)

12、于二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合概率密度及獨立性等概念，容易推廣到n維隨機變量中去。2021/3/10授課：xxx21離散型離散型:px1=x1j1, x2=x2j2, , xn=xnjn=pj1j2jn連續(xù)型連續(xù)型:f(x1, x2, , xn)nxxnxdududuuuufn212121),(. 2021/3/10授課：xxx22設(shè)設(shè)f(x1, x2, , xn)為為n維維(x1,x2,xn)的的分布函數(shù)分布函數(shù), ),(,),(),(2121nxxxxfxfxfn若若對對的的分分布布函函數(shù)數(shù)依依次次為為,21nxxx,21有有任任意意實實數(shù)數(shù)nxxx),()()(2121nxxxxfxfxfnf(x1, x2, , xn)=.,21是是相相互互獨獨立立則則稱稱nxxx2021/3/10授課：xxx23定理定理1 若連續(xù)型隨機向量（若連續(xù)型隨機向量（x1, ,xn）的）的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f(x1, ,xn)可表示為可表示為n個函數(shù)個函數(shù)g1, ,gn之積，其中之積，其中g(shù)i只依賴于只依賴于xi，即，即 f(x1, ,xn)= g1(x1)