基本不等式很全面

1、基本不等式【知識(shí)框架】1、基本不等式原始形式（1）若，則 （2）若，則2、基本不等式一般形式（均值不等式）若，則3、基本不等式的兩個(gè)重要變形（1）若，則（2）若，則總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，它們的和有最小值； 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，它們的積有最小值；特別說(shuō)明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常用結(jié)論（1）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）（2）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）（3）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）（4）若，則（5）若，則特別說(shuō)明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”6、柯西不等式 （1）若，則（2）若，則有：（3）設(shè)是兩組實(shí)數(shù)，則有【題型歸

2、納】題型一：利用基本不等式證明不等式題目1、設(shè)均為正數(shù)，證明不等式:題目2、已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：題目3、已知，求證：題目4、已知，且，求證：題目5、已知，且，求證：題目6、（新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）設(shè)均為正數(shù),且,證明:(); ().題型二：利用不等式求函數(shù)值域題目1、求下列函數(shù)的值域（1） （2）（3） （4）題型三：利用不等式求最值 （一）（湊項(xiàng)） 1、已知，求函數(shù)的最小值；變式1：已知，求函數(shù)的最小值；變式2：已知，求函數(shù)的最大值；變式3：已知，求函數(shù)的最大值；練習(xí)：1、已知，求函數(shù)的最小值； 題目2、已知，求函數(shù)的最大值；題型四：利用不等式求最值 （二）（湊系數(shù)）題目1、當(dāng)時(shí)，求的

3、最大值；變式1：當(dāng)時(shí)，求的最大值；變式2：設(shè)，求函數(shù)的最大值。題目2、若，求的最大值；變式：若，求的最大值；題目3、求函數(shù)的最大值；變式：求函數(shù)的最大值；題型五：巧用“1”的代換求最值問(wèn)題題目1、已知，求的最小值；變式1：已知，求的最小值；變式2：已知，求的最小值；變式3：已知，且，求的最小值。變式4：已知，且，求的最小值；變式5：（1）若且，求的最小值；（2）若且，求的最小值；變式6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)，使得，求的最小值；變式7：若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是（ ）() a. b. c5 d6變式8：設(shè)若的最小值為 （ ）a b1 c4 d8變式9：已知，

4、且，則的最小值為 變式10：已知，求的最小值.變式11：求的最小值變式12：已知，求函數(shù)的最小值變式13：設(shè)正實(shí)數(shù) 滿足的最小值為 變式14：【2013天津理】設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = 時(shí), 取得最小值.變式15：設(shè) 滿足，則的最小值為 變式16：已知且，則的最小值是 .題型六：分離換元法求最值（了解）題目1、求函數(shù)的值域；變式：求函數(shù)的值域；題目2、求函數(shù)的最大值；變式：求函數(shù)的最大值；題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用題目1、已知，求的最小值題目2、已知，求的最小值；變式1：（2010四川）如果，求關(guān)于的表達(dá)式的最小值；變式2：（2012湖北武漢診斷）已知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的

5、圖像恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，求的最小值；變式3：【2017天津】若，則的最小值為 題目3、已知，求最小值；變式1：已知，滿足，求范圍；變式2：已知，求最大值；（提示：通分或三角換元）變式3：已知，求最大值；題目4、（2013年山東（理）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足,則當(dāng)取得最大值時(shí),的最大值為（ ）（）a b c d變式：設(shè)是正數(shù)，滿足，求的最小值；題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍題目1、已知，且恒成立，求正實(shí)數(shù)的最小值；2、已知且恒成立，如果，求的最大值；（參考：4）變式：已知滿則，若恒成立，求的取值范圍；題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式 若，則2、二維形式的柯西不等式的變式3、二維形式的柯西不等式的向量形式4、三維柯西不等式若，則有：5、一般維柯西不等式設(shè)是兩組實(shí)數(shù)，則有:【題型歸納】題型一：利用柯西不等式一般形式求最值題目1、設(shè)，若，則的最小值為時(shí)， 析： 最小值為此時(shí) ，題目2、設(shè)，求的最小值，并求此時(shí)之值。：題目3、設(shè)，求之最小值為 ，此時(shí) （析：）題目4、已知?jiǎng)t的最小值是 ()題