高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何2空間向量的運算三學(xué)案北師大版選修21

1、2 空間向量的運算（三）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算方法及運算規(guī)律.2.掌握兩個向量的數(shù)量積的主要用途，能運用數(shù)量積求向量夾角和判斷向量的共線與垂直.知識點一空間向量數(shù)量積的概念思考1如圖所示，在空間四邊形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45°，oab60°，類比平面向量有關(guān)運算，如何求向量與的數(shù)量積？并總結(jié)求兩個向量數(shù)量積的方法. 思考2在等邊abc中，與的夾角是多少？梳理(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫作a，b的數(shù)量積，記作a·b.(2)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(a)

2、83;b_交換律a·b_分配律a·(bc)_知識點二空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)若a，b是非零向量，則ab_若a與b同向，則a·b_；若反向，則a·b_.特別地，a·a_或|a|若為a，b的夾角，則cos _|a·b|a|·|b|類型一空間向量數(shù)量積的運算命題角度1空間向量數(shù)量積的基本運算例1(1)下列命題是否正確？正確的請給出證明，不正確的給予說明.p2·q2(p·q)2；|pq|·|pq|p2q2|；若a與(a·b)·c(a·c)·b均不

3、為0，則它們垂直.(2)設(shè)a，b120°，|a|3，|b|4，求：a·b；(3a2b)·(a2b).反思與感悟(1)如果已知a，b的模及a與b的夾角，則可直接代入數(shù)量積的公式計算.(2)如果欲求的是關(guān)于a與b的多項式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運算律將多項式展開，再利用a·a|a|2及數(shù)量積公式進(jìn)行計算.跟蹤訓(xùn)練1已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a3b|等于()a. b. c. d.4命題角度2利用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的運算問題例2已知在長方體abcd1c1d1中，abaa12，ad4，e為側(cè)面ab1的中心，f為

4、a1d1的中點.試計算：(1)·；(2)·；(3)·.反思與感悟兩向量的數(shù)量積，其運算結(jié)果是數(shù)量，而不是向量.零向量與任意向量的數(shù)量積為0.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.跟蹤訓(xùn)練2已知正四面體oabc的棱長為1，求：(1)( )·()；(2)|.類型二利用數(shù)量積求夾角或模命題角度1利用數(shù)量積求夾角例3已知bb1平面abc，且abc是b90°的等腰直角三角形，abb1a1、bb1c1c的對角線都分別相互垂直且相等，若aba，求異面直線ba1與ac所成的角.反思與感悟利用向量求異面直線夾角的方法 跟蹤訓(xùn)練3已知po、pa分別是平面的垂線、斜線，ao是p

5、a在平面內(nèi)的投影，l，且loa.求證：lpa.命題角度2利用數(shù)量積求模(或距離)例4如圖所示，在平行六面體abcdb1c1d1中，ab1，ad2，aa13，bad90°，baa1daa160°，求ac1的長. 反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|求解即可.跟蹤訓(xùn)練4如圖，已知線段ab平面，bc，cdbc，df平面，且dcf30°，d與a在的同側(cè)，若abbccd2，求a，d兩點間的距離. 類型三利用

6、空間向量的數(shù)量積解決垂直問題例5如圖，在空間四邊形oabc中，oboc，abac，求證：oabc. 反思與感悟(1)證明線線垂直的方法證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直.(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數(shù)量積是否為0.跟蹤訓(xùn)練5已知向量a，b滿足：|a|2，|b|，且a與2ba互相垂直，則a與b的夾角為_.1.已知a，b，c是兩兩垂直的單位向量，則|a2b3c|等于()a.14 b.c.4 d.22.在長方體abcda1b1c1d1中，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是(

7、)a.· b.·c.· d.·3.在正方體abcda1b1c1d1中，有下列命題：()232；·()0；與的夾角為60°.其中真命題的個數(shù)為()a.1 b.2c.3 d.04.已知a，b為兩個非零空間向量，若|a|2，|b|，a·b，則a，b_.5.已知正四面體abcd的棱長為2，e，f分別為bc，ad的中點，則ef的長為_.1.空間向量運算的兩種方法(1)利用定義：利用a·b|a|b|cosa，b，并結(jié)合運算律進(jìn)行計算.(2)利用圖形：計算兩個數(shù)量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點，利用圖形尋找夾角，再代入數(shù)量積

8、公式進(jìn)行運算.2.在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.(3)代入a·b|a|b|cosa，b求解.提醒：完成作業(yè)第二章§2(三)答案精析§2空間向量的運算(三)問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1，···|cos，|·cos，8×4×cos 135°8×6×cos 120°2416.求兩個向量的數(shù)量積需先確定這兩個向量的模和夾角，當(dāng)夾角和長度不確定時，可用已知夾

9、角和長度的向量來表示該向量，再代入計算.思考2120°.梳理(2)(a·b)b·aa·ba·c知識點二a·b0|a|·|b|a|·|b|a|2題型探究例1(1)解此命題不正確.p2·q2|p|2·|q|2，而(p·q)2(|p|·|q|·cosp，q)2|p|2·|q|2·cos2p，q，當(dāng)且僅當(dāng)pq時，p2·q2(p·q)2.此命題不正確.|p2q2|(pq)·(pq)|pq|·|pq|·|co

10、spq，pq|，當(dāng)且僅當(dāng)(pq)(pq)時，|p2q2|pq|·|pq|.此命題正確.a·(a·b)·c(a·c)·ba·(a·b)·ca·(a·c)·b(a·b)(a·c)(a·b)(a·c)0，且a與(a·b)·c(a·c)·b均為非零向量，a與(a·b)·c(a·c)·b垂直.(2)解a·b|a|b|cosa，b，a·b3×

11、;4×cos 120°6.(3a2b)·(a2b)3|a|24a·b4|b|23|a|24|a|b|cos 120°4|b|2，(3a2b)·(a2b)3×94×3×4×()4×1627246461.跟蹤訓(xùn)練1c例2解如圖，設(shè)a，b，c，則|a|c|2，|b|4，a·bb·cc·a0.(1)·b·(ca)b|b|24216.(2)··(ac)|c|2|a|222220.(3)··(abc)

12、3;|a|2|b|22.跟蹤訓(xùn)練2解(1)()·()()·()()·( 2)121×1×cos 60°2×1×1×cos 60°1×1×cos 60°122×1×1×cos 60°1.(2)| .例3解如圖所示，·()·()····.abbc，bb1ab，bb1bc，·0，·0，·0且·a2.·a2.又·|&

13、#183;|cos，cos，.又，0°，180°，120°，又異面直線所成的角是銳角或直角，異面直線ba1與ac所成的角為60°.跟蹤訓(xùn)練3證明如圖，取直線l的方向向量a，同時取向量，.因為loa，所以a·0.因為po，且l，所以lpo，因此a·0.又因為a·a·()a·a·0， 所以lpa.例4解因為，所以2()22222(···).因為bad90°，baa1daa160°，所以，90°，60°，所以21492(1×3×cos 60°2×3×cos 60°)23.因為2|2，所以|223，|，即ac1.跟蹤訓(xùn)練4解，|2()2|2|2|22·2·2·122(2·2·cos 90°2&#