線性代數(shù)二次型及標準形ppt課件

1、 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 稱為二次型稱為二次型. .的的二二次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)個個變變量量含含有有定定義義nxxxn, 121; , 稱稱為為是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)時時當當faij復(fù)二次型復(fù)二次型. , 稱稱為為是是實實數(shù)數(shù)時時當當faij實二次型實二次型只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型2222211nnykykykf 稱為二次型的標準形（或法式）稱為二次型的標準形（或法式）例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都為都為二次型；二次型； 23222132144,xxxxxxf 為二次型

2、的標準形為二次型的標準形. . 323121321,xxxxxxxxxf 222121212,xxxxxxf 22122121xxxxxx 2121ijjiijxxa 2212212121,xxxxxxxxf )()(212211xxxxxx 212121xxxxxx 21211111xxxx和號表示和號表示矩陣表示矩陣表示 21xxx令令 AxxxxfT 21,則則 1111A其中其中 312322213214542,xxxxxxxxf 323121321,xxxxxxxxxf 1 1用和號表示用和號表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222

3、211121222 , 對二次型對二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 則則于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 一般地一般地2 2用矩陣表示用矩陣表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxax

4、axaxaxaxxx22112222121121211121),(., 為為對對稱稱矩矩陣陣其其中中則則二二次次型型可可記記作作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA記記 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二次型與對稱矩陣之間存在次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)一一對

5、應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系; 的的矩矩陣陣叫叫做做二二次次型型對對稱稱矩矩陣陣fA; 的的二二次次型型叫叫做做對對稱稱矩矩陣陣Af. 的的秩秩的的秩秩叫叫做做二二次次型型對對稱稱矩矩陣陣fA解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩陣陣寫寫出出二二次次型型xxxxxxxf 例例 2221212122,xxxxxxf 22221)(xxx 22211,xyxxy 令令。所作的變量替換為。所作的變量替換為式變?yōu)槭阶優(yōu)閯t則2221)1(yy 2121222111011yyxxyxyyx即即Cyx 記為

6、記為 yyACyCyAxxxxfTTTT 1001,21?；蚍Q非退化的線性變換或稱非退化的線性變換線性變換，線性變換，則稱線性變換為可逆的則稱線性變換為可逆的若若, 0 C正正交交變變換換。為為正正交交矩矩陣陣時時，則則稱稱為為若若C。矩陣形式為矩陣形式為的一個線性替換，的一個線性替換，到變量到變量稱為由變量稱為由變量CyxxxyyCyx 2121, nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,設(shè)設(shè)對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形可逆的線性變換，將二次型化為

7、標準形),(cCij 記記記作記作則上述可逆線性變換可則上述可逆線性變換可 Cyx AxxfT 有有將將其其代代入入, AxxfT . yACCyTT CyACyT BACCACCBACCBTTTTT )(,則則令令合合同同。與與則則稱稱使使，階階可可逆逆方方陣陣階階方方陣陣，如如果果存存在在為為設(shè)設(shè)定定義義BABACCCnnBAT ,說明說明2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使變變成成標標準準形形經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換要要使使二二次次型型, 2 Cyxf. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成為為對對角角矩矩陣陣也也就就是是要要使使ACCT; ,1 A

8、CCBAfCyx. T 變變?yōu)闉榈牡木鼐仃囮囉捎傻淦渲戎炔徊蛔冏兒蠛蠖未涡托徒?jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換有有型型把此結(jié)論應(yīng)用于二次把此結(jié)論應(yīng)用于二次即即使使總有正交矩陣總有正交矩陣陣陣由于對任意的實對稱矩由于對任意的實對稱矩,.,1 APPAPPPAT 化化為為標標準準形形使使正正交交變變換換總總有有任任給給二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij, 21, ,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中ijnaAf 一、正交變換法一、正交變換法用正交變換化二次型為標準形的具體步驟用正交變換化二次型為標準形的具體步驟;,. 1AAxxfT求

9、求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的標標準準形形則則得得作作正正交交變變換換 解解例例2 2.22 2222 , 434232413121化為標準形化為標準形把二次型把二次型求一個正交變換求一個正交變換xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩陣為二次型的矩陣為,0111101111011110 A它它的的特特征征多多項項式式為為

10、1 1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值.111111111111 EA有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上三三把二把二計算特征多項式計算特征多項式,:,1111111111111)1( EA有有四行分別減去第一行四行分別減去第一行三三把二把二,1000212022101111)1( EA1221)1(2 .)1( )3()32()1(322 . 1, 34321 的的特特征征值值為為于于是是A, 0)3(,31 xEA解解方方程程時時當當 2 2求特征向量求特征向量 3111131111311113)3(EA 3111131111311111 42200

11、22002201111 4400000001101111 0000110010101201 0000110010101001,11111 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1111211 p單位化即得單位化即得, 0)(,1432 xEA解方程解方程時時當當 1111111111111111)(EA 0000000000001111,1111,1100,0011232 可得正交的基礎(chǔ)解系可得正交的基礎(chǔ)解系 0000000000001111 000000000000111104321 xxxx單位化即得單位化即得 21212121,212100,002121432ppp于于是是正正交交變變換換為為 yyyy

12、xxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且且有有3 3將特征向量正交化單位化將特征向量正交化單位化解解1 1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成標準形化成標準形通過正交變換通過正交變換將二次型將二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例3 3從而得特征值從而得特征值.18, 9321 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系代入代入將將, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)

13、解解系系代代入入將將, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3將特征向量正交化將特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22 ,2223233 得正交向量組得正交向量組.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4將正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P于是所求正交變換為于是所求正交變換為,

14、45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有1.實二次型的化簡問題，在理論和實際中實二次型的化簡問題，在理論和實際中經(jīng)常遇到，通過經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩陣化為對角矩陣陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請，而這是已經(jīng)解決了的問題，請同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法2.實二次型的化簡，并不局限于使用正交實二次型的化簡，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運算更快的可逆變換下一節(jié)，我們將介紹另一種算更快的可逆變換下一節(jié)，我們將介紹另一種方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法化為標準型，并指出化為標準型，并指出 表示何種二次表示何種二次 1,321 xxxf曲面曲面. 323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 求一正交變換，將二次型求一正交變換，將二次型,333351315 A二二次次型型的的矩矩陣陣為為解解)