復(fù)變函數(shù)習(xí)題總匯與參考答案稻谷書苑

1、復(fù)變函數(shù)習(xí)題總匯與參考答案第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)一、單項選擇題1、若z1=（a, b）,z2=(c, d),則z1·z2=（c）a （ac+bd, a） b (ac-bd, b)c （ac-bd, ac+bd） d (ac+bd, bc-ad)2、若r>0，則n（，r）= z：（d）a |z|<r b 0<|z|<rc r<|z|<+ d |z|>r3、若z=x+iy, 則y=(d)a b c d4、若a= ，則 |a|=（c）a 3 b 0 c 1 d 2二、填空題1、若z=x+iy, w=z2=u+iv, 則v=（ 2xy ）2、復(fù)平面上

2、滿足rez=4的點集為（ z=x+iy|x=4 ）3、（ 設(shè)e為點集，若它是開集，且是連通的，則e ）稱為區(qū)域。4、設(shè)z0=x0+iy0, zn=xn+iyn(n=1,2,)，則zn以zo為極限的充分必要條件是 xn=x0，且 yn=y0。三、計算題1、求復(fù)數(shù)-1-i的實部、虛部、模與主輻角。解：re(-1-i)=-1 im(-1-i)=-1|-1-i|=2、寫出復(fù)數(shù)-i的三角式。解：3、寫出復(fù)數(shù) 的代數(shù)式。解：4、求根式 的值。解：四、證明題1、證明若 ，則a2+b2=1。證明：而 3、證明：證明：第2章 解析函數(shù)一、單項選擇題1若f(z)= x2-y2+2xyi,則2、若f(z)=u(x,

3、 y)+iv(x,y), 則柯西黎曼條件為（d）a bc d3、若f(z)=z+1, 則f(z)在復(fù)平面上（c）a 僅在點z=0解析 b 無處解析c 處處解析 d 在z=0不解析且在z0解析4、若f（z）在復(fù)平面解析，g(z)在復(fù)平面上連續(xù)，則f(z)+g(z)在復(fù)平面上（c）a解析 b 可導(dǎo)c連續(xù) d 不連續(xù)二、填空題1、若f(z)在點a不解析，則稱a為f(z)的奇點。2、若f(z)在點z=1的鄰域可導(dǎo)，則f(z)在點z=1解析。3、若f(z)=z2+2z+1，則 4、若 ，則 不存在。三、計算題：1、設(shè)f(z)=zre(z), 求解： =2、設(shè)f(z)=excosy+iexsiny,求解：

4、f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosy v=exsinyf(z)=u+ivf(z)在復(fù)平面解析，且 =excosy+iexsiny3、設(shè)f(z)=u+iv在區(qū)域g內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足u=x3-3xy2，f(i)=0,試求f(z)。解：依c-r條件有vy=ux=3x2-3y2則v（x1y）=3x2y-y3+c(c為常數(shù))故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic =z3+ic，為使f(i)=0, 當x=0,y=1時，f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0c=1 f(z)=z3+i4、設(shè)f(z)=u+iv

5、在區(qū)域g內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足u=2(x-1)y,f(2)=-i,試求f(z)。解：依c-r條件有vy=ux=2yv= =y2+(x) vx=(x)=v=y2-x2+2x+c(c為常數(shù))f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)為使f(z)=-i,當x=2 y=0時,f(2)=ci=-i c=-1f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1) =-(z-1)2i四、證明題1、試在復(fù)平面討論f(z)=iz的解析性。解：令f(z)=u+iv z=x+iy則iz=i(x+iy)=-y+ixu=-y v=x于是ux=0 uy=-1vx=1 vy=0ux、uy、vx在復(fù)平面內(nèi)處處連接又ux

6、=vy uy=-vx。f(z)=iz在復(fù)平面解析。2、試證：若函數(shù)f(z)在區(qū)域g內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足條件（z）=0，zg，則f(z)在g內(nèi)為常數(shù)。證：設(shè)f(z)=u+iv,z=x+iy,zgf(z)在g內(nèi)解析，ux=vy, uy=-vx又（z）=0, （z）=ux+ivxux=0 vx=0uy=-vx=0 ux=vy=0u為實常數(shù)c1，v也為實常數(shù)c2，f(z)=c1+ic2=z0f(z)在g內(nèi)為常數(shù)。復(fù)變函數(shù)課程作業(yè)參考解答2第3章 初等函數(shù)一、單項選擇題1. z = ( a ) 是根式函數(shù)的支點. (a) 0 (b) 1 (c) (d) i2. z = ( d ) 是函數(shù)的支點. (a)

7、 i (b) 2i (c) -1 (d) 03. ei =( b ). (a) e-1+e (b) cos1+isin1 (c) sin1 (d) cos14. sin1= ( a ) (a) (b) (c) (d) 二、填空題1. cosi = 2. = e(cos1+isin1)3. lni =4. ln(1+i) = k為整數(shù).三、計算題1. 設(shè)z=x+iy，計算.解: = = 2. 設(shè)z = x+iy, 計算. 解: z = x+iy 3. 求方程的解.解: lnz = 由對數(shù)函數(shù)的定義有: z= 所給方程的解為z = i4. 求方程的解.解: =根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義有:z=n2+i 或

8、z=n(1+)四、證明題1. 試證: . 證明：根據(jù)正弦函數(shù)及余弦正數(shù)定義有： sin2z=2sinz·cosz2. 證明: . 證明: 令a= b=sinx+sin2x+sinnx = 第4章 解析函數(shù)的積分理論一、單項選擇題1. ( d ) , c為起點在0 , 終點在1+i的直線段. (a) 0 (b) 1 (c) 2i (d) 2(1+i)2. . (a) 0 (b) 10 (c) i (d) 3. (a) i (b) 10 (c) 10i (d) 04. =( a ). (a) (b) (c) (d) 二、填空題1. 若與沿曲線c可積，則.2. 設(shè)l為曲線c的長度, 若f(

9、z)沿c可積, 且在c上滿足,則.3. 4. 三、計算題1.計算積分,其中c為自0到2+i的直線段. 解: c的方程為: 其次由得 = =2. 計算積分. 解: = 作區(qū)域d:積分途徑在d內(nèi)被積函數(shù)的奇點z=2與z=3均不在d內(nèi),所以被積函數(shù)在d內(nèi)解析.由定理4.2得:=03. 計算積分. 解: 奇點z=1和z=-1不在區(qū)域d,內(nèi) 的三個根也不在d內(nèi) 由定理4.2 得 =04. 計算積分, . 解: 由定理4.6得 四、證明題1. 計算積分，并由此證明. 證明：在圓域 |z|1內(nèi)解析 = 另一方面,在圓|z|= =(實部和虛部為0) = = = = =0 而為偶函數(shù)0= = 復(fù)變函數(shù)課程作業(yè)參

10、考解答3第5章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示一、單項選擇題1. 冪級數(shù)的收斂半徑等于( b ) ( a ) 0 (b) 1 ( c ) 2 (d) 32. 點z=-1是f(z)=r ( b )級零點. ( a ) 1 (b)2 (c)3 (d)53. 級數(shù)的收斂圓為( d ). (a) | z-1|< 3 (b) |z|<3 (c) |z-1| >1 (d) |z| <14. 設(shè)f(z)在點a解析, 點b是f(z)的奇點中離點a最近的奇點,于是,使f(z)=成立的收斂圓的半徑等于( c ). (a) a+b+1 (b) b-a+1(c) |a-b| (d) |a+b|二、填空題

11、1.級數(shù)1+z+的收斂圓r=+即整個復(fù)平面2.若f(z)= (k為常數(shù)),則z=m(m=0, )為f(z)的 1 級零點. 3.冪有數(shù)的收斂半徑等于 0 . 4.z=0是f(z)=ez-1的 1 級零點. 三、計算題 1.將函數(shù)f(z)=在點z=0展開冪級數(shù). 解: f(z)= =- 2.將函數(shù)f(z)=(1-z)-2在點z=0展開成冪級數(shù). 解：而(1-z)-1= = 3將函數(shù)f(z)=(z+2)-1在點z=1展開成冪級數(shù). 解：f(z)=(z+2)-1= = 4將函數(shù)f(z)=ez在點z=1展開成冪級數(shù). 解： f(z)=ez f(n)=ez 四、證明題 1證明:1-ei2z=-2isin

12、zeiz 證：eiz=cosz+isinze-iz=cos-isinz eiz-e-iz=2isinz -2isinz=-( eiz-e-iz) = eiz-e-iz -2isinz eiz=( e-iz- eiz) eiz =e0- e2iz=1- e2iz2試用解析函數(shù)的唯一性定理證明等式: cos2z= cos2z-sin2z 證f1(z)=cos2z,則f1(z)復(fù)平面g解析設(shè)f2(z)coszsin2，則f2(z)也在整個復(fù)平面g解析取e=k為實數(shù)軸,則e在g內(nèi)有聚點.當e為實數(shù)時,知cos2z=cos2z-sin2z,即f1(z)= f2(z)由解析函數(shù)唯一性定理,由以上三條知f1

13、(z)= f2(z) 成立即cos2z= cos2z-sin2z 第6章 解析函數(shù)的羅朗級數(shù)表示 一、單項選擇題 1函數(shù)f(z)=在點z=2的去心鄰域( d ) 內(nèi)可展成羅朗級數(shù). (a) 0< (b) 0< (c) 1< (d) 0< 2設(shè)點為f(z)的孤立奇點，若=c，則點為f(z)的( c ). (a) 本性奇點 (b) 極點 (c) 可去奇點 (d) 解析點 3若點為函數(shù)f(z)的孤立奇點，則點為f(z)的極點的充分必要條件是( d ). (a) f(z)=c() (b) f(z)= (c) f(z)=c() (d) f(z)= 4若點為函數(shù)f(z)的孤立奇點，

14、則點為f(z)的本性奇點的充要條件是（ b ）. (a) f(z)= c() (b) f(z)不存在 (c) f(z)=c() (d) f(z)= 二、填空題 1設(shè)為函數(shù)f(z)在點的羅朗級數(shù),稱為該級數(shù)的主要部分. 2.設(shè)點為函數(shù)f(z)的奇點,若f(z)在點的某個 某個去心鄰域內(nèi)解析,則稱點為f(z)的孤立奇點. 3.若f(z)=，則點z=0為f(z)的 0 級極點. 不是極點,若f(z)= 則z=0為f(z)的一個極點. 4.若f(z)=(sin)-1,則點z0為f(z)非孤立 奇點. 三、計算題1將函數(shù)f(z)=(z-2)-1在點z=0的去心鄰域展成羅朗級數(shù).解: f(z)=- =- 2將函數(shù)f(z)在點的去心鄰域展成羅朗級數(shù). 解: f(z)= 3試求函數(shù)f(z)=z-3·sinz3的有限奇點,并判定奇點的類別. 解: 解析,無奇點,f(z)的有限