全國(guó)數(shù)學(xué)建模大賽B題

1、2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽

2、規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開(kāi)展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書(shū)籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從a/b/c/d中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無(wú)需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫(xiě)錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。）賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2014

3、高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：創(chuàng)意平板折疊桌摘要折疊與伸展也已成為家具設(shè)計(jì)行業(yè)普遍應(yīng)用的一個(gè)基本設(shè)計(jì)理念，占用空間面積小而且家具的功能又更加多樣化自然會(huì)受到人們的歡迎，著看創(chuàng)意桌子把一整塊板分成若干木條，組合在一起，也可以變成很有創(chuàng)意的桌子，就像是變魔術(shù)一樣，真的是創(chuàng)意無(wú)法想象。這樣的一個(gè)有創(chuàng)意的家具給我們的生活帶來(lái)了無(wú)限的樂(lè)趣，問(wèn)題一：?jiǎn)栴}二：運(yùn)用幾何模型，對(duì)折疊桌平鋪和完全展開(kāi)后兩個(gè)狀態(tài)進(jìn)行分

4、析，得到各個(gè)變量之間的幾何關(guān)系，因?yàn)檎郫B桌的設(shè)計(jì)要考慮產(chǎn)品的穩(wěn)固性、加工方便、用材最少等方面的因素，但產(chǎn)品穩(wěn)固性的權(quán)重選大于其它方面，所以優(yōu)先滿足產(chǎn)品的穩(wěn)固性最好的情況，在已知折疊桌高度和圓形桌面直徑的條件下，經(jīng)過(guò)實(shí)際分析得到，當(dāng)折疊桌完全展開(kāi)后，四個(gè)最外側(cè)著地的桌腿構(gòu)成的正方形與桌面圓形外切時(shí)，穩(wěn)固性最大，由此可以通過(guò)幾何關(guān)系求得最外側(cè)桌腿的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到平板的最有尺寸的長(zhǎng)度，再通過(guò)考慮對(duì)折疊桌進(jìn)行受力分析，得到鋼筋的位置，距離桌腳的距離，通過(guò)和語(yǔ)言進(jìn)行編程，得到每根桌腿到中心的距離和每根桌腿的開(kāi)槽長(zhǎng)度，問(wèn)題二得以解決，結(jié)果見(jiàn)表1 。問(wèn)題三：關(guān)鍵字：幾何模型 一、問(wèn)題重述某公司生產(chǎn)一種可折疊

5、的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板（如圖1-2所示）。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度（見(jiàn)圖3）。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問(wèn)題：1. 給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。試建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如

6、，桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度等）和桌腳邊緣線（圖4中紅色曲線）的數(shù)學(xué)描述。2. 折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等。對(duì)于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。3. 公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。你們團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的

7、模型給出幾個(gè)你們自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫(huà)出至少8張動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖。二、問(wèn)題分析針對(duì)問(wèn)題一：針對(duì)問(wèn)題二：建立幾何模型，得到折疊桌的高度、圓形桌面的直徑、長(zhǎng)方形平板的尺寸、鋼筋的位置和開(kāi)槽長(zhǎng)度之間的幾何關(guān)系，將折疊桌的穩(wěn)固性好、加工方便、用材最小轉(zhuǎn)化為幾何意義，并作為目標(biāo)函數(shù)，空間圖形中的幾何關(guān)系作為約束條件，建立求解折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的數(shù)學(xué)模型。在滿足幾何關(guān)系的情況下，折疊桌的體積越小、開(kāi)槽長(zhǎng)度越大，則用材最少；桌腿的橫截面積越大、與豎直方向的夾角越小（即與地面越垂直）折疊桌的穩(wěn)固性越好，承力越大；桌子的設(shè)計(jì)越簡(jiǎn)單加工越方便。并在此理解基礎(chǔ)上對(duì)折疊桌進(jìn)

8、行受力分析。對(duì)于給定的具體桌高和桌面直徑，運(yùn)用和語(yǔ)言進(jìn)行求解，得到折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的確定值。針對(duì)問(wèn)題三，建立合適的數(shù)學(xué)模型，使得設(shè)計(jì)的軟件可根據(jù)設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，得到所需平板材料的形狀尺寸和最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，并在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，將桌面的形狀設(shè)計(jì)為菱形和橢圓兩個(gè)形狀，在給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)的情況下，用做出動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖。三、模型假設(shè)1、2、假設(shè)桌面圓形邊緣的小矩形的長(zhǎng)度為5cm3、假設(shè)只考慮折疊桌的四分之一部分進(jìn)行討論與分析（折疊桌為完全對(duì)稱圖形）4、假設(shè)折疊桌的厚度保值不變四、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)描述平板的長(zhǎng)平板的寬平板的高折疊桌完全展開(kāi)后的桌高

9、五、模型的建立與求解5.1問(wèn)題一：5.1.1模型的建立與求解5.1.2模型評(píng)價(jià)5.2問(wèn)題二：?jiǎn)栴}中要求使產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，所以在滿足幾何關(guān)系的情況下，折疊桌的體積越小、開(kāi)槽長(zhǎng)度越大，則用材最少；桌腿的橫截面積越大、與豎直方向的夾角越小（即與地面越垂直）折疊桌的穩(wěn)固性越好，當(dāng)外側(cè)四個(gè)桌腿形成的正方形與桌面圓形外切時(shí)，承力越大；桌子的設(shè)計(jì)越簡(jiǎn)單加工越方便。并在此理解基礎(chǔ)上對(duì)折疊桌進(jìn)行受力分析。對(duì)于給定的具體桌高和桌面直徑，運(yùn)用和語(yǔ)言進(jìn)行求解，得到折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的確定值。5.2.1模型的建立與求解1、符號(hào)說(shuō)明：桌面直徑、平板的寬：最外側(cè)桌腿的長(zhǎng)度：最外側(cè)桌腿與水平桌面方向的

10、夾角：平鋪時(shí)鋼筋位置距桌腳的水平距離：任意桌腿的開(kāi)槽長(zhǎng)度：任意桌腿長(zhǎng)度：完全展開(kāi)時(shí)鋼筋到桌腿頂端的距離折疊桌的立體圖如下：圖2.1：折疊桌的立體圖平鋪時(shí)的平面圖如下：圖2.2：桌子長(zhǎng)方形平鋪圖 其中，表示鋼筋位置；表示任意一根桌腿的位置；表示鋼筋位置到水平桌面左側(cè)的距離；表示桌腿開(kāi)槽長(zhǎng)度；表示桌腿的長(zhǎng)度；表示任意桌腿的開(kāi)槽左端到連接桌面圓的距離；則完全折疊后側(cè)面的平面圖如下：圖2.3：桌子折疊后橫截面 其中，表示水平桌面橫截面；表示最外側(cè)桌腿記；表示水平桌面與最外側(cè)桌腿的夾角；表示鋼筋位置，表示地面；表示桌子中心線位置；表示任意一根桌腿的位置；、表示最外側(cè)桌腿與桌面連接處到桌面中心線的距離；則

11、。 考慮到產(chǎn)品穩(wěn)固性好，則最外側(cè)四個(gè)桌腿夠成正方形，且與桌面圓形相外切，此時(shí)有,，則 其中，表示桌面直徑；表示桌子折疊后的高度；表示桌子的厚度；表桌子水平放置時(shí)的長(zhǎng)度；由和可知，任意桌腿的開(kāi)槽左端到連接桌面圓的距離為：以及鋼筋位置到平鋪?zhàn)烂孀髠?cè)的距離為：由勾股定理有：且由幾何關(guān)系有：即而其中，表示桌面圓半徑的微小變化量；表示桌面圓半徑以2.5cm為間隔的累加。從而任意桌腿的長(zhǎng)度為最外側(cè)桌腿的受力分析：圖2.4：最外側(cè)桌腿的受力分析其中，表示水平桌面與最外側(cè)桌腿的夾角；點(diǎn)表示最外側(cè)桌腿的中點(diǎn)；表示鋼筋位置到桌腳的距離；，表示桌面對(duì)桌腿的作用力；表示地面對(duì)桌腿的支持力；表示鋼筋對(duì)桌腿的作用力；表示

12、桌腿的重力；則對(duì)點(diǎn)由力矩的平衡方程，有： (1)對(duì)點(diǎn)由力矩的平衡方程，有： (2)對(duì)最外側(cè)桌腿由平衡條件，可得： (3)將式（3）帶入式（2）中可得： (4) 由式（1）和式（4）對(duì)比（以等式左側(cè)為例，右側(cè)相同）可得：即因此，鋼筋位置點(diǎn)為最外側(cè)桌腿的中點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合。2、當(dāng)桌高桌面直徑時(shí)的具體求解：解得當(dāng)平板長(zhǎng)163.8238cm，高3cm，由c語(yǔ)言程序得鋼管的位置距離桌腳的距離 時(shí)滿足最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)的要求，此時(shí)根據(jù)的不同求得每根桌腿的開(kāi)槽長(zhǎng)度分別為：2.500014.142119.525623.452126.575329.154831.324933.16620.00007.650612.36

13、2116.315319.772222.830425.540227.933234.731136.055537.165238.078938.810439.370039.764940.000030.031731.852233.407834.708635.762736.576537.154537.5000表2.1：1/4桌面圓邊緣各桌腿上的開(kāi)槽長(zhǎng)度5.2.2模型評(píng)價(jià)在模型的求解過(guò)程中，對(duì)于題目中的要求折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。結(jié)合生活中的實(shí)際情況優(yōu)先考慮了產(chǎn)品穩(wěn)固性好的因素，沒(méi)有對(duì)加工方便和用材最少做出很好的詮釋，會(huì)對(duì)結(jié)果造成一定的誤差。平板的高沒(méi)有約束條件，故假設(shè)與問(wèn)題一中

14、的高相同，這樣也會(huì)造成一定的誤差。5.3問(wèn)題三：建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)桌面形狀分別為橢圓和菱形的設(shè)計(jì)進(jìn)行作圖。5.3.1模型的建立與求解軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型：創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)：橢圓的設(shè)計(jì)參數(shù)：折疊后桌面高=，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，厚度，鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置。由問(wèn)題二的模型可求得最優(yōu)平板長(zhǎng)用編程得到橢圓動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖：菱形的設(shè)計(jì)參數(shù)：折疊后桌面高=，菱形桌面對(duì)角線厚度，鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置。由問(wèn)題二模型可求得最優(yōu)平板長(zhǎng)用編程得到菱形動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖：5.3.2模型評(píng)價(jià)為了簡(jiǎn)化模型求解，將鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，鋼筋的任意性會(huì)使模型的建立完整性不足，但

15、是最終結(jié)果還是比較準(zhǔn)確的，用編寫(xiě)出來(lái)的動(dòng)態(tài)圖能很好的體現(xiàn)折疊桌折疊過(guò)程中在三維空間的立體變化，是結(jié)果更加直觀和準(zhǔn)確。六、模型評(píng)價(jià)模型優(yōu)點(diǎn)：模型缺點(diǎn)：模型改進(jìn)：對(duì)桌子的合理性進(jìn)行考慮，例如，保證人在坐著的時(shí)候，木條盡量不要阻擋人伸腿。七、參考文獻(xiàn)編號(hào) 作者，書(shū)名，出版地：出版社，出版年。編號(hào) 作者，論文名，雜志名，卷期號(hào)：起止頁(yè)碼，出版年。編號(hào) 作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問(wèn)時(shí)間（年月日）。八、附錄程序1：運(yùn)行結(jié)果：程序2：運(yùn)行結(jié)果：程序3：運(yùn)行結(jié)果：程序4：運(yùn)行結(jié)果：程序5：運(yùn)行結(jié)果：程序6：運(yùn)行結(jié)果：程序7：運(yùn)行結(jié)果：程序8：運(yùn)行結(jié)果：程序9：#include<stdio.h>#in

16、clude<math.h>#define n 16#define r 40.07804885void main()int i,d=80,h=70;float a=0;double x=163.823802,m,cd,h0;double son,s0n,x0n,ln,l0n;printf("n 1/4圓上各點(diǎn)到直徑的距離:n"); for(i=0;i<n;i+,a+=2.5)soi=sqrt(pow(r,2)-pow(a-40,2);printf("tt so%d=%fn",i+1,soi);printf("n-nn"

17、);cd=(x-5)/2;m=cd/2;printf("鋼筋到桌腳的距離: m = %lfnn",m);h0=(cd-m)*(h/cd);printf("1/4桌腿開(kāi)槽長(zhǎng)度:n");for(i=0;i<n;i+)s0i=soi-2.5-(cd-m)*sqrt(1-pow(h/cd,2);x0i=sqrt(pow(h0,2)+pow(s0i,2);li=(x-2*soi)/2;l0i=x0i-(li-m);printf("tt l0%d=%lfn",i+1,l0i);printf("n+nn");printf(

18、"任一側(cè)1/4桌腿每根桌腿的長(zhǎng)度:n");for(i=0;i<n;i+)printf("tt l%d=%lfn",i+1,li);運(yùn)行結(jié)果：2014全國(guó)數(shù)學(xué)建模大賽b題部分答案解題思路與程序代碼% 創(chuàng)意平板折疊桌 clc; clear; bl0=120;  % 板長(zhǎng) bk0=50;  % 板寬 bh0=3;  % 平板厚 tk0=2.5; % 木條寬 zg0=53; % 

19、桌子高度 l1=bl0/2; % 板半長(zhǎng) m1=bk0/2; % 板半寬 h1=zg0-bh0; % 桌面底部距地面高度 d0=7.8062%6; % 最外側(cè)木條留出的桌面邊沿長(zhǎng)度 d1=d0/2; % 最外側(cè)木條留出的桌面邊沿半長(zhǎng)度 f0=(l1-d1)/2; % 鋼筋初始位置（到木板底邊距離） r0=25%sqrt(m12+d12) % 桌面外半徑 % 目標(biāo)1 = 求最外側(cè)木條折疊角度a0 % 目標(biāo)2 = 求第n 根木條開(kāi)槽位置（f0->fn）% 其中fn 表示第n 根木條槽尾到木板底邊距離1. 求最外側(cè)木條旋轉(zhuǎn)角度a0  &