全國數(shù)學(xué)建模大賽B題

1、2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽

2、規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。）賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2014

3、高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：創(chuàng)意平板折疊桌摘要折疊與伸展也已成為家具設(shè)計行業(yè)普遍應(yīng)用的一個基本設(shè)計理念，占用空間面積小而且家具的功能又更加多樣化自然會受到人們的歡迎，著看創(chuàng)意桌子把一整塊板分成若干木條，組合在一起，也可以變成很有創(chuàng)意的桌子，就像是變魔術(shù)一樣，真的是創(chuàng)意無法想象。這樣的一個有創(chuàng)意的家具給我們的生活帶來了無限的樂趣，問題一：問題二：運用幾何模型，對折疊桌平鋪和完全展開后兩個狀態(tài)進行分

4、析，得到各個變量之間的幾何關(guān)系，因為折疊桌的設(shè)計要考慮產(chǎn)品的穩(wěn)固性、加工方便、用材最少等方面的因素，但產(chǎn)品穩(wěn)固性的權(quán)重選大于其它方面，所以優(yōu)先滿足產(chǎn)品的穩(wěn)固性最好的情況，在已知折疊桌高度和圓形桌面直徑的條件下，經(jīng)過實際分析得到，當折疊桌完全展開后，四個最外側(cè)著地的桌腿構(gòu)成的正方形與桌面圓形外切時，穩(wěn)固性最大，由此可以通過幾何關(guān)系求得最外側(cè)桌腿的長度，進而得到平板的最有尺寸的長度，再通過考慮對折疊桌進行受力分析，得到鋼筋的位置，距離桌腳的距離，通過和語言進行編程，得到每根桌腿到中心的距離和每根桌腿的開槽長度，問題二得以解決，結(jié)果見表1 。問題三：關(guān)鍵字：幾何模型 一、問題重述某公司生產(chǎn)一種可折疊

5、的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板（如圖1-2所示）。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度（見圖3）。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動態(tài)變化過程。試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：1. 給定長方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。試建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)（例如

6、，桌腿木條開槽的長度等）和桌腳邊緣線（圖4中紅色曲線）的數(shù)學(xué)描述。2. 折疊桌的設(shè)計應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。3. 公司計劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。你們團隊的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的

7、模型給出幾個你們自己設(shè)計的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計加工參數(shù)，畫出至少8張動態(tài)變化過程的示意圖。二、問題分析針對問題一：針對問題二：建立幾何模型，得到折疊桌的高度、圓形桌面的直徑、長方形平板的尺寸、鋼筋的位置和開槽長度之間的幾何關(guān)系，將折疊桌的穩(wěn)固性好、加工方便、用材最小轉(zhuǎn)化為幾何意義，并作為目標函數(shù)，空間圖形中的幾何關(guān)系作為約束條件，建立求解折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)的數(shù)學(xué)模型。在滿足幾何關(guān)系的情況下，折疊桌的體積越小、開槽長度越大，則用材最少；桌腿的橫截面積越大、與豎直方向的夾角越小（即與地面越垂直）折疊桌的穩(wěn)固性越好，承力越大；桌子的設(shè)計越簡單加工越方便。并在此理解基礎(chǔ)上對折疊桌進

8、行受力分析。對于給定的具體桌高和桌面直徑，運用和語言進行求解，得到折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)的確定值。針對問題三，建立合適的數(shù)學(xué)模型，使得設(shè)計的軟件可根據(jù)設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，得到所需平板材料的形狀尺寸和最優(yōu)設(shè)計參數(shù)，并在問題一的基礎(chǔ)上，將桌面的形狀設(shè)計為菱形和橢圓兩個形狀，在給出相應(yīng)的設(shè)計加工參數(shù)的情況下，用做出動態(tài)變化過程的示意圖。三、模型假設(shè)1、2、假設(shè)桌面圓形邊緣的小矩形的長度為5cm3、假設(shè)只考慮折疊桌的四分之一部分進行討論與分析（折疊桌為完全對稱圖形）4、假設(shè)折疊桌的厚度保值不變四、符號說明符號描述平板的長平板的寬平板的高折疊桌完全展開后的桌高

9、五、模型的建立與求解5.1問題一：5.1.1模型的建立與求解5.1.2模型評價5.2問題二：問題中要求使產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，所以在滿足幾何關(guān)系的情況下，折疊桌的體積越小、開槽長度越大，則用材最少；桌腿的橫截面積越大、與豎直方向的夾角越小（即與地面越垂直）折疊桌的穩(wěn)固性越好，當外側(cè)四個桌腿形成的正方形與桌面圓形外切時，承力越大；桌子的設(shè)計越簡單加工越方便。并在此理解基礎(chǔ)上對折疊桌進行受力分析。對于給定的具體桌高和桌面直徑，運用和語言進行求解，得到折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)的確定值。5.2.1模型的建立與求解1、符號說明：桌面直徑、平板的寬：最外側(cè)桌腿的長度：最外側(cè)桌腿與水平桌面方向的

10、夾角：平鋪時鋼筋位置距桌腳的水平距離：任意桌腿的開槽長度：任意桌腿長度：完全展開時鋼筋到桌腿頂端的距離折疊桌的立體圖如下：圖2.1：折疊桌的立體圖平鋪時的平面圖如下：圖2.2：桌子長方形平鋪圖 其中，表示鋼筋位置；表示任意一根桌腿的位置；表示鋼筋位置到水平桌面左側(cè)的距離；表示桌腿開槽長度；表示桌腿的長度；表示任意桌腿的開槽左端到連接桌面圓的距離；則完全折疊后側(cè)面的平面圖如下：圖2.3：桌子折疊后橫截面 其中，表示水平桌面橫截面；表示最外側(cè)桌腿記；表示水平桌面與最外側(cè)桌腿的夾角；表示鋼筋位置，表示地面；表示桌子中心線位置；表示任意一根桌腿的位置；、表示最外側(cè)桌腿與桌面連接處到桌面中心線的距離；則

11、。 考慮到產(chǎn)品穩(wěn)固性好，則最外側(cè)四個桌腿夠成正方形，且與桌面圓形相外切，此時有,，則 其中，表示桌面直徑；表示桌子折疊后的高度；表示桌子的厚度；表桌子水平放置時的長度；由和可知，任意桌腿的開槽左端到連接桌面圓的距離為：以及鋼筋位置到平鋪桌面左側(cè)的距離為：由勾股定理有：且由幾何關(guān)系有：即而其中，表示桌面圓半徑的微小變化量；表示桌面圓半徑以2.5cm為間隔的累加。從而任意桌腿的長度為最外側(cè)桌腿的受力分析：圖2.4：最外側(cè)桌腿的受力分析其中，表示水平桌面與最外側(cè)桌腿的夾角；點表示最外側(cè)桌腿的中點；表示鋼筋位置到桌腳的距離；，表示桌面對桌腿的作用力；表示地面對桌腿的支持力；表示鋼筋對桌腿的作用力；表示

12、桌腿的重力；則對點由力矩的平衡方程，有： (1)對點由力矩的平衡方程，有： (2)對最外側(cè)桌腿由平衡條件，可得： (3)將式（3）帶入式（2）中可得： (4) 由式（1）和式（4）對比（以等式左側(cè)為例，右側(cè)相同）可得：即因此，鋼筋位置點為最外側(cè)桌腿的中點，即點與點重合。2、當桌高桌面直徑時的具體求解：解得當平板長163.8238cm，高3cm，由c語言程序得鋼管的位置距離桌腳的距離 時滿足最優(yōu)設(shè)計參數(shù)的要求，此時根據(jù)的不同求得每根桌腿的開槽長度分別為：2.500014.142119.525623.452126.575329.154831.324933.16620.00007.650612.36

13、2116.315319.772222.830425.540227.933234.731136.055537.165238.078938.810439.370039.764940.000030.031731.852233.407834.708635.762736.576537.154537.5000表2.1：1/4桌面圓邊緣各桌腿上的開槽長度5.2.2模型評價在模型的求解過程中，對于題目中的要求折疊桌的設(shè)計應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。結(jié)合生活中的實際情況優(yōu)先考慮了產(chǎn)品穩(wěn)固性好的因素，沒有對加工方便和用材最少做出很好的詮釋，會對結(jié)果造成一定的誤差。平板的高沒有約束條件，故假設(shè)與問題一中

14、的高相同，這樣也會造成一定的誤差。5.3問題三：建立數(shù)學(xué)模型，對桌面形狀分別為橢圓和菱形的設(shè)計進行作圖。5.3.1模型的建立與求解軟件設(shè)計的數(shù)學(xué)模型：創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計：橢圓的設(shè)計參數(shù)：折疊后桌面高=，橢圓的長軸長，短軸長，厚度，鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置。由問題二的模型可求得最優(yōu)平板長用編程得到橢圓動態(tài)變化過程的示意圖：菱形的設(shè)計參數(shù)：折疊后桌面高=，菱形桌面對角線厚度，鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置。由問題二模型可求得最優(yōu)平板長用編程得到菱形動態(tài)變化過程的示意圖：5.3.2模型評價為了簡化模型求解，將鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，鋼筋的任意性會使模型的建立完整性不足，但

15、是最終結(jié)果還是比較準確的，用編寫出來的動態(tài)圖能很好的體現(xiàn)折疊桌折疊過程中在三維空間的立體變化，是結(jié)果更加直觀和準確。六、模型評價模型優(yōu)點：模型缺點：模型改進：對桌子的合理性進行考慮，例如，保證人在坐著的時候，木條盡量不要阻擋人伸腿。七、參考文獻編號 作者，書名，出版地：出版社，出版年。編號 作者，論文名，雜志名，卷期號：起止頁碼，出版年。編號 作者，資源標題，網(wǎng)址，訪問時間（年月日）。八、附錄程序1：運行結(jié)果：程序2：運行結(jié)果：程序3：運行結(jié)果：程序4：運行結(jié)果：程序5：運行結(jié)果：程序6：運行結(jié)果：程序7：運行結(jié)果：程序8：運行結(jié)果：程序9：#include<stdio.h>#in

16、clude<math.h>#define n 16#define r 40.07804885void main()int i,d=80,h=70;float a=0;double x=163.823802,m,cd,h0;double son,s0n,x0n,ln,l0n;printf("n 1/4圓上各點到直徑的距離:n"); for(i=0;i<n;i+,a+=2.5)soi=sqrt(pow(r,2)-pow(a-40,2);printf("tt so%d=%fn",i+1,soi);printf("n-nn"

17、);cd=(x-5)/2;m=cd/2;printf("鋼筋到桌腳的距離: m = %lfnn",m);h0=(cd-m)*(h/cd);printf("1/4桌腿開槽長度:n");for(i=0;i<n;i+)s0i=soi-2.5-(cd-m)*sqrt(1-pow(h/cd,2);x0i=sqrt(pow(h0,2)+pow(s0i,2);li=(x-2*soi)/2;l0i=x0i-(li-m);printf("tt l0%d=%lfn",i+1,l0i);printf("n+nn");printf(

18、"任一側(cè)1/4桌腿每根桌腿的長度:n");for(i=0;i<n;i+)printf("tt l%d=%lfn",i+1,li);運行結(jié)果：2014全國數(shù)學(xué)建模大賽b題部分答案解題思路與程序代碼% 創(chuàng)意平板折疊桌 clc; clear; bl0=120;  % 板長 bk0=50;  % 板寬 bh0=3;  % 平板厚 tk0=2.5; % 木條寬 zg0=53; % 

19、桌子高度 l1=bl0/2; % 板半長 m1=bk0/2; % 板半寬 h1=zg0-bh0; % 桌面底部距地面高度 d0=7.8062%6; % 最外側(cè)木條留出的桌面邊沿長度 d1=d0/2; % 最外側(cè)木條留出的桌面邊沿半長度 f0=(l1-d1)/2; % 鋼筋初始位置（到木板底邊距離） r0=25%sqrt(m12+d12) % 桌面外半徑 % 目標1 = 求最外側(cè)木條折疊角度a0 % 目標2 = 求第n 根木條開槽位置（f0->fn）% 其中fn 表示第n 根木條槽尾到木板底邊距離1. 求最外側(cè)木條旋轉(zhuǎn)角度a0  &