最新高中數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)精品教案1.32二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用選修23

1、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用一、求某項(xiàng)的系數(shù)：【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展開(kāi)式中，x5的系數(shù)是多少？（407）（2）求（1+x-x2）6展開(kāi)式中含x5的項(xiàng)（）二、證明組合數(shù)等式：練習(xí)（12345）來(lái)源:例2  計(jì)算：1.9975（精確到0.001）師：按生戊所談的方法，大家在自己的筆記本上計(jì)算一下例3：（1996年全國(guó)高考有這樣一道應(yīng)用題）某地現(xiàn)有耕地10 000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10如果人口年增長(zhǎng)率為1，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？例3  如果今天是星期一，那么對(duì)于任意自然數(shù)n，經(jīng)過(guò)23n+

2、37n5天后的那一天是星期幾？生庚：先將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即本題實(shí)際上尋求對(duì)于任意自然數(shù)n，23n+3+7n5被7除的余數(shù)受近似計(jì)算題目啟發(fā)，23n+3=8n+1=（71）n+1，這樣可以運(yùn)用數(shù)，7n也是7的倍數(shù)，最后余數(shù)是1加上5，是6了師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诠P記本上完成此題的解答（教師請(qǐng)一名同學(xué)板演）解：由于23n+37n5=8n+17n5=（71）n+17n+5則  23n+37n5被7除所得余數(shù)為6所以對(duì)于任意自然數(shù)n，經(jīng)過(guò)23n+37n5后的一天是星期日師：請(qǐng)每位同學(xué)在筆記本上完成這樣一個(gè)習(xí)題：7777-1能被19整除嗎？（教師在教室內(nèi)巡視，3分鐘后找學(xué)生到黑板板演）解：7777

3、-1=（76+1）77由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除師：請(qǐng)生辛談?wù)勊鯓酉氲竭@個(gè)解法的？生辛：這是個(gè)冪的計(jì)算問(wèn)題，可以用二項(xiàng)式定理解決如果把7777改成（1958）77，顯然展開(kāi)式中最后一項(xiàng)5877仍然不易判斷是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76與77只差1，故欲證7777-1被19整除，只需證（76+1）77被76整除得到了以上的解法師：二項(xiàng)式定理解決的是乘方運(yùn)算問(wèn)題，因此冪的問(wèn)題可以考慮二項(xiàng)式定理下面我們解一些綜合運(yùn)用的習(xí)題例4  求證：3n2n-1（n2）（nn，且n2）師：仍然由

4、同學(xué)先談?wù)勛约旱南敕ㄉ桑何矣X(jué)得這道題仍可以用二項(xiàng)式定理解，為了把左式與右式發(fā)生聯(lián)系，將3換成21注意到：  2n+n·2n-1=2n-1（2n）=2n-1（n+2）；  n2，右式至少三項(xiàng)；這樣，可以得到3n2n-1（n2）（nn，且n2）生癸：根據(jù)題設(shè)條件有nn，且n2用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)當(dāng)可以證明師：由于觀察習(xí)題時(shí)思維起點(diǎn)不同，得到了習(xí)題不同解法，生×同學(xué)從乘方運(yùn)算這點(diǎn)考慮，想到二項(xiàng)式定理，生×同學(xué)從題設(shè)條件nn考慮，想到數(shù)學(xué)歸納法大家要養(yǎng)成習(xí)慣，每遇一題，從不同角度觀察思考，得到更多解法，使我們思考問(wèn)題更全面用二項(xiàng)式定理證明，生×同

5、學(xué)已經(jīng)講清楚了證明過(guò)程，大家課下在筆記本上整理好，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們?cè)诠P記本上完成數(shù)學(xué)歸納法的證明（教師請(qǐng)一名同學(xué)板演）證明：當(dāng)n=2時(shí)，左式=32=9，右式=22-1（22）=2×4=8，顯然98故不等式成立假設(shè)n=k（kn且k2）時(shí)，不等式成立，即3k2k-1（k2），則當(dāng)n=k1時(shí)，由于  左式=3k+1=3·3k3·2k-1（k2）=3k·2k-13·2k右式=2(k+1)-1（k1）2=2k（k3）=k·2k3·2k，則  左式-右式=（3k·2k-13·2k）-（k·2

6、k3·2k）來(lái)源:=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-10所以  左式有式故當(dāng)n=k1時(shí)，不等式也成立由，不等式對(duì)n2，nn都成立師：為了培養(yǎng)綜合能力，同學(xué)們?cè)诠P記本再演算一道習(xí)題：設(shè)nn且n1，求證：（證明過(guò)程中可以運(yùn)用公式：對(duì)n個(gè)正數(shù)a1，a2，an，總有（教師在教室巡視，過(guò)2分鐘找一名同學(xué)到黑板板演第（1）小題，再過(guò)3分鐘找另一名同學(xué)板演第（2）小題）來(lái)源:來(lái)源:師：哪位同學(xué)談一談此題應(yīng)怎樣分析？生寅：第（1）小題左式與右式?jīng)]有直接聯(lián)系，應(yīng)把它們分別轉(zhuǎn)化，列前n項(xiàng)的和，由求和公式也能得到2n-1因此得到證明第（2）小題左式與右式也

7、沒(méi)有直接聯(lián)系根據(jù)題目給出的公式要師：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)想有關(guān)知識(shí)和思考方法是分析問(wèn)題的一種重要方法，要在解題實(shí)踐中掌握本節(jié)課討論了二項(xiàng)式定理主要應(yīng)用，包括組合數(shù)的計(jì)算、近似計(jì)算、整除和求余數(shù)的計(jì)算以及與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用當(dāng)然，二項(xiàng)式定理的運(yùn)用不止這些，凡是涉及到乘方運(yùn)算（指數(shù)是自然數(shù)或轉(zhuǎn)化為自然數(shù)）都可能用到二項(xiàng)式定理認(rèn)真分析習(xí)題的結(jié)構(gòu)，類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是重要的找到解題途徑的思考方法，希望引起同學(xué)們的重視作業(yè)1課本習(xí)題：p253習(xí)題三十一：6，7，10；2課本習(xí)題：p256復(fù)習(xí)參考題九：15（2）3補(bǔ)充題：來(lái)源:課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1開(kāi)始練習(xí)起著承上啟下的作用這三題既復(fù)習(xí)了二項(xiàng)式定理及其性質(zhì)，又考查了數(shù)學(xué)基本思想，如等價(jià)變換、未知轉(zhuǎn)化已知，取特殊值，利于本節(jié)課進(jìn)行，又培養(yǎng)了學(xué)生預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣2只有學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口才能真正把知識(shí)學(xué)到手，才能培養(yǎng)思維能力、計(jì)算能力、表達(dá)能力、分