相似知識(shí)總結(jié)(學(xué)生)

1、相似知識(shí)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一：放縮與相似形1、圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng)。2、把形狀相同的兩個(gè)圖形說(shuō)成是相似的圖形，或者就說(shuō)是相似性。注意：、相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無(wú)關(guān)。、相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。、我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的、若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例全等形1. 相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例。注意：當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，他們的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度的比值是1.知識(shí)點(diǎn)二：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)

2、（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、b的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是a：bm：n（或）2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。說(shuō)明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:bb:d時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。8、比例線段：對(duì)于

3、四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。（注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）（2）比例性質(zhì)1、基本性質(zhì):（兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）2、反比性質(zhì)： (把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)3、更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：4、合比性質(zhì)：（分子加（減）分母,分母不變）注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立如：5、等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.）如果，那么注意：(1)、此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法” ，這種

4、方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法；(2)、應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零；(3)、可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立知識(shí)點(diǎn)三：黃金分割1） 定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。其中0.618。2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點(diǎn)C使C是線段AB的黃金分割點(diǎn).作法：、過(guò)點(diǎn)B作BDAB，使；、連結(jié)AD，在DA上截取DE=DB；、在AB上截取AC=AE，則點(diǎn)C就是所求作的線段

5、AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為：（只要求記?。?）矩形中，如果寬與長(zhǎng)的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形。知識(shí)點(diǎn)四：平行線分線段成比例定理(一)平行線分線段成比例定理1、平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比. A B D E C F 例、 已知， 可得。2、推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. （1） 是“A”字型（2） 是“8”字型 經(jīng)常考，關(guān)鍵在于找圖(1)：DEBC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.圖(2)：DEBC可得：.3、推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成

6、比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊. (即利用比例式證平行線)4、定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例. 5、平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線,如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另一條直線上截得的線段也相等。 CEDBA三角形一邊平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論 如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.1平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的

7、直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.用符號(hào)語(yǔ)言表示：ADBECF,.2平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號(hào)語(yǔ)言表示：. 重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.知識(shí)點(diǎn)三：相似三角形1、 相似三角形1） 定義：如果兩個(gè)三角形中，三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個(gè)全等三角形一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不

8、一定相似。補(bǔ)充：對(duì)于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；2） 性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例。3） 相似比：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。如ABC與DEF相似，記作ABC DEF。相似比為k。4）判定：、定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。、三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似(此定理用的最多)判定定理2：如果一

9、個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似直角三角形相似判定定理:、斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。 補(bǔ)充一：直角三角形中的相似問(wèn)題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD， AC²=AD·

10、;AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的計(jì)算和證明中有廣泛的應(yīng)用）.補(bǔ)充二：三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。 推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。 推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。 推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。 推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì)、相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.、相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、周長(zhǎng)的比都等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比).、相似三角形對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比

11、的平方.2、 相似的應(yīng)用：位似1） 定義：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。需注意：、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)。、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。、位似比就是相似比。2）性質(zhì)：、位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。、位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比（相似比）。、每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位

12、似中心共線，不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行。相似測(cè)試1一、填空題。1、已知線段a, b, c, d滿足其中a=2cm , b=4cm ,c=5cm,則d= .2、若 。3、邊長(zhǎng)為12cm的等邊三角形按2:1的比例縮小后的三角形是邊長(zhǎng)為_(kāi)的_三角形.4、已知ABCDEF, AB6 , DE 8 , 則_.5、點(diǎn)P是ABC中AB邊上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線 (不與直線AB重合)截ABC,使截得三角形與ABC相似,滿足這樣條件的直線最多_條.6、 電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí),站在舞臺(tái)上的黃金分割點(diǎn)處最自然得體,若舞臺(tái)AB長(zhǎng)為20m,試計(jì)算主持人應(yīng)走到離A點(diǎn)至少_m處.(結(jié)果精確到0.1m)7、 一個(gè)4米高

13、的電線桿的影長(zhǎng)是6米,它臨近的一個(gè)建筑物的影長(zhǎng)是36米.則這個(gè)建筑的高度是_.8、如圖,若DEBC,FDAB,ADAC23 ,AB9,BC6,則四邊形BEDF的周長(zhǎng)為圖2 。二、選擇題。1、若果,則下列比例式中不正確的是( ) A. B. C. D. 2、已知:如圖2,在ABC中,ADE=C,則下列等式成立的是( ) A. B. C. D.3、已知正五邊形ABCDE與正五邊形的面積比為1:2，則它們的相似比為（ ） A. 1:2 B. 2:1 C. D.4、如圖,兩個(gè)位似圖形ABO和，若OA:3:1,則正確的是( )A.AB:3:1 B.:AB:C.OA:=2:1 D.A5、在比例尺是1:38

14、00的長(zhǎng)沙交通游覽圖上,長(zhǎng)約7cm的一段路程,它的實(shí)際長(zhǎng)度約為( ) A.0.266km B.2.66km C.26.6km D.266000km6、下列判斷正確的是( )A.不全等的三角形一定不是相似三角形B.不相似的三角形一定不是全等三角形C.相似三角形一定不是全等三角形D.全等三角形不一定是相似三角形7、如圖, D、E是AB的三等分點(diǎn), DFEGBC , 圖中三部分的面積分別為S1,S2,S 3,則S1:S2:S3( )A.1:2:3 B.1:2:4 C.1:3:5 D.2:3:48、在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下,小明的影子比小強(qiáng)的影子長(zhǎng),那么在同一路燈下( ) A.小明的影子比小強(qiáng)的影子長(zhǎng) B.

15、小明的影子比小強(qiáng)的影子短C.小明的影子和小強(qiáng)的影子一樣長(zhǎng) D.無(wú)法判斷誰(shuí)的影子長(zhǎng)9、把ABC的各邊都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，得到,下面結(jié)論不正確的是( )A.、 ABC B、ABC和的各邊、各角對(duì)應(yīng)相等C、ABC和的相似比為1:2D、ABC和的相似比為1:310、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中與DEF相似的三角形共有（ ） A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)三、解答題。1、如圖,在ABC中,C=90°,DEAB于E,DFBC于F.求證: DEHBCA 2、如圖, 平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是DC中點(diǎn), 連AE并延長(zhǎng)與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若10 , 求四邊形ABCE的面積。四、

16、提高題。已知如圖,平行四邊形ABCD中,AE:EB1:2 .(1)、求AE:DC的值.(2)、AEF與CDF相似嗎?若相似,請(qǐng)說(shuō)明理由,并求出相似比.(3)、如果6cm2,求相似測(cè)試21、從下面這些三角形中，選出相似的三角形 2、已知：如圖，ABCD中，求與的周長(zhǎng)的比，如果，求 3、如圖，已知，求證：4、下列命題中哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的？（1）所有的直角三角形都相似；（2）所有的等腰三角形都相似；（3）所有的等腰直角三角形都相似；（4）所有的等邊三角形都相似。 5、如圖，D點(diǎn)是的邊AC上的一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)畫(huà)線段DE，使點(diǎn)E在的邊上，并且點(diǎn)D、點(diǎn)E和的一個(gè)頂點(diǎn)組成的小三角形與相似盡可能多地畫(huà)出滿

17、足條件的圖形，并說(shuō)明線段DE的畫(huà)法6、如圖，一人拿著一支刻有厘米分畫(huà)的小尺，站在距電線桿約30米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個(gè)分畫(huà)恰好遮住電線桿，已知手臂長(zhǎng)約60厘米，求電線桿的高7、如圖，小明為了測(cè)量一高樓MN的高，在離N點(diǎn)20m的A處放了一個(gè)平面鏡，小明沿NA后退到C點(diǎn)，正好從鏡中看到樓頂M點(diǎn)，若m，小明的眼睛離地面的高度為1.6m，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算一下樓房的高度（精確到0.1m）8、格點(diǎn)圖中的兩個(gè)三角形是否是相似三角形，說(shuō)明理由9、根據(jù)下列各組條件，判定和是否相似，并說(shuō)明理由：（1）、 （2）、（3）、10、如圖，下列每個(gè)圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們

18、用字母表示出來(lái)，并簡(jiǎn)要說(shuō)明識(shí)別的根據(jù) 11、 已知：如圖，在中，是角平分線，試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說(shuō)明12、已知的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13，與其相似的的最大邊長(zhǎng)為26，求的面積S13、在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿的高度，然后回來(lái)交流各自的測(cè)量方法小芳的測(cè)量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在離旗桿27米的C處（如圖），然后沿BC方向走到D處，這時(shí)目測(cè)旗桿頂部A與竹竿頂部E恰好在同一直線上，又測(cè)得C、D兩點(diǎn)的距離為3米，小芳的目高為1.5米，這樣便可知道旗桿的高你認(rèn)為這種測(cè)量方法是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由14、如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使，然后再選點(diǎn)E，使，確定BC與AE的交點(diǎn)為