二次函數(shù)中的三角形問題一

1、適用學(xué)科適用區(qū)域知識點學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)綜合（動點）問題三角形存在問題（一）初中數(shù)學(xué)適用年級初中三年級全國新課標(biāo)課時時長（分鐘）120 分鐘1、三角形的性質(zhì)和判定2、求作等腰三角形，直角三角形的方法一、知識與技能1、掌握各類三角形的判定以及性質(zhì)；2、會用“兩圓一線”、“兩線一圓”求作等腰三角形和直角三角形；學(xué)習(xí)必備歡迎下載二、過程與方法1、首先要明確各種三角形的性質(zhì)以及判定；2、理解等腰三角形的特征，明確腰相等，可以任意兩腰相等；3、理解直角三角形的特征，明確有一個角是直角，可以是任意的內(nèi)角；4、先研究三角形的性質(zhì)，再將三角形放到二次函數(shù)圖像中進(jìn)行綜合運用。5、充分運用數(shù)學(xué)結(jié)合、

2、轉(zhuǎn)化、方程等數(shù)學(xué)思想來幫助解題。三、情感、態(tài)度與價值觀1、培養(yǎng)學(xué)生的處理圖像綜合運用的能力；學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、讓學(xué)生養(yǎng)成從特殊到一般，從簡單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)方法；3、形成對圖形的處理能力，形成解題技巧，樹立對解決此類問題的信心。學(xué)習(xí)重點是否存在一點使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出點的坐標(biāo)學(xué)習(xí)難點是否存在一點使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出點的坐標(biāo)學(xué)習(xí)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式：學(xué)習(xí)必備歡迎下載1、列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式對于應(yīng)用題要注意以下

3、步驟：(1) 審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系 (即函數(shù)關(guān)系 )(2) 設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確(3) 列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句， 將此語句抽象為含變量的等式， 這就是二次函數(shù)(4) 按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。(5) 檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案(6) 寫出答案學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、常見題目類型(1) 幾何類 ( 三角形、四邊形、圓等 )一般問題是求圖形的面積，首先可以根據(jù)特殊圖形的面積公式來求解，這時關(guān)鍵是表示出公式里各個部分的代數(shù)式；其

4、次，如果不是特殊的圖形，可以通過特殊圖形的面積相加減來表示；最后，還可以通過構(gòu)造特殊圖形來進(jìn)行表示求解；總之，要根據(jù)題目給的條件實際運用。(2) 橋梁問題這類題型是出現(xiàn)較多的類型，首先應(yīng)該建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將橋梁的拱形轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來進(jìn)行求解，強(qiáng)調(diào)的是特殊點的表示與運用。(3) 銷售問題學(xué)習(xí)必備歡迎下載這類題型會在考試中頻繁出現(xiàn)，解題的方法就是：圍繞總利潤 =（售價 - 進(jìn)價）×數(shù)量這個公式去進(jìn)行，難度大一點的就是會涉及提價跟降價兩種情況， 關(guān)鍵是要根據(jù)題意分別表示出降價或者提價后商品的售價、數(shù)量（進(jìn)價一般不變） ，然后再通過公式將各個部分組合在一起就可以了。二次函數(shù)的應(yīng)用：1、

5、應(yīng)用類型一、利用二次函數(shù)求實際問題中的最大（?。┲担哼@類問題常見有面積、利潤銷售量的最大（?。┲?，一般這類問題的解題方法是：先表示出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題來求解即可。2、 應(yīng)用類型二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題:這類型的題目關(guān)鍵是要求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式求出頂點坐標(biāo)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載3、 應(yīng)用類型三、利用二次函數(shù)求跳水、投籃、網(wǎng)球等實際問題；這類型的題目關(guān)鍵是要求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式求出頂點坐標(biāo)。二、知識講解考點/易錯點 1三角形的性質(zhì)和判定：1、等腰三角形性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等，三線合一（中線、高線、角平分線）。學(xué)習(xí)必備歡迎下載判定：兩腰相等，

6、兩底角相等，三線合一（中線、高線、角平分線）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性質(zhì)：滿足勾股定理的三邊關(guān)系，斜邊上的中線等于斜邊的一半。判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性質(zhì)：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)，兩底角相等且等于45°。判定：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)的三角形是等腰直角三角形4、等邊三角形性質(zhì)：三邊相等，三個角相等且等于60°，三線合一，具有等腰三角形的一切性質(zhì)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載判定：三邊相等，三個角相等，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形?？键c/易錯點 2學(xué)習(xí)必備歡迎下載求作等腰三角形、直角三角形的方

7、法：圖一 兩圓一線圖解圖二 兩線一圓圖解總結(jié)：（1）通過“兩圓一線”可以找到所有滿足條件的等腰三角形，要求的點（不與 A、B 點重合）即在兩圓上以及兩圓的公共弦上（2）通過“兩線一圓”可以找到所有滿足條件的直角三角形，要求的點（不與 A、B 點重合）即在圓上以及在兩條與直徑 AB垂直的直線上。學(xué)習(xí)必備歡迎下載考點/易錯點 3等腰三角形、直角三角形可能的情況：(1)當(dāng)所求三角形是等腰三角形時，可以是三角形任意兩邊相等， 即：AB=AC 、AB=BC 、AC=BC 如圖；ABC(2)當(dāng)所求三角形是直角三角形時，可以是三角形任意的內(nèi)角為直角,即：A=90 °、B=90 °、C=9

8、0 °，如圖所示；A學(xué)習(xí)必備歡迎下載BC考點/易錯點 4二次函數(shù)中三角形的存在性問題解題思路：（1）先分類，羅列線段的長度，如果是等腰三角形則分別令三邊兩兩相等去求解；如果是直角三角形則分別令每個內(nèi)角等腰 90°去分類討論；（2）再畫圖；（3）后計算。學(xué)習(xí)必備歡迎下載三、例題精析【例題 1】【題干】（揚州）已知拋物線y=ax 2 +bx+c經(jīng)過 A（-1 ，0 ）、B（3 ，0）、C（0，3）三點，直線 l 是學(xué)習(xí)必備歡迎下載拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點 P 是直線 l 上的一個動點，當(dāng) PAC 的周長最小時，求點P 的坐標(biāo)；（3）在直線 l 上是否

9、存在點M ，使MAC 為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】 (1)y=-x 2+2x+3 ；(2) P（1，2）；(3) M （1 ，）（1，-）（1，1）（1，0 ）學(xué)習(xí)必備歡迎下載【解析】 解：（1）將 A（-1 ，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax 2 +bx+c中，得：，解得：拋物線的解析式： y=-x 2+2x+3 （2 ）連接 BC，直線 BC 與直線 l 的交點為 P；點A、B 關(guān)于直線 l 對稱，PA=PB ，BC=PC+PB=PC+PA設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+b（k 0 ），將 B（ 3，0），C（

10、0，3）代入上式，得：，解得：直線 BC 的函數(shù)關(guān)系式 y=-x+3；學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) x=1 時， y=2 ，即 P 的坐標(biāo)（ 1，2）（3 ）拋物線的對稱軸為： x=-=1 ，設(shè) M （1，m ），已知 A（-1 ，0）、C（0，3 ），則：MA 2 =m 2 +4 ，MC 2= （3-m ）2 +1=m 2-6m+10，AC2=10 ；若 MA=MC ，則 MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2 -6m+10 ，得： m=1 ；若 MA=AC ，則 MA 2=AC 2，得：m 2+4=10 ，得： m= ±；若 MC=AC ，則 MC 2=AC 2，得：m 2 -6m+1

11、0=10，得： m 1 =0 ，m 2 =6 ；當(dāng) m=6 時， M 、A 、C 三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；學(xué)習(xí)必備歡迎下載綜上可知，符合條件的M 點，且坐標(biāo)為M （1 ，）（1，- ）（1，1 ）（1 ，0）【例題 2】【題干】（攀枝花）如圖，拋物線y=ax 2+bx+c經(jīng)過點 A（-3 ，0），B（1，0），C（0，-3 ）（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）若點 P 為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè) PAC 的面積為 S，求 S 的最大值并求出此時點 P 的坐標(biāo)；（ 3）設(shè)拋物線的頂點為 D ，DEx 軸于點 E，在 y 軸上是否存在點 M ，使得ADM 是直角三角形？若存在

12、，請直接寫出點 M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由學(xué)習(xí)必備歡迎下載【答案】 (1) y=x 2+2x-3 ；(2) P 的坐標(biāo)為（ - ，- ）；(3) （0，）或（0 ，-）或（0，-1 ）或（0，-3 ）【解析】解：（1）由于拋物線 y=ax 2+bx+c經(jīng)過 A（-3 ，0），B（1 ，0），可設(shè)拋物線的解析式為：y=a （x+3 ）（x-1 ），將 C 點坐標(biāo)（ 0 ，-3 ）代入，得：a（0+3 ）（0-1 ）=-3 ，解得a=1 ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載則 y= （x+3 ）（x-1 ）=x 2+2x-3 ，所以拋物線的解析式為： y=x 2+2x-3 ；（2）過點 P作 x 軸的垂線，交

13、 AC于點 N設(shè)直線 AC的解析式為 y=kx+m，由題意，得，解得直線 AC 的解析式為： y=-x-3 設(shè) P 點坐標(biāo)為（ x，x2 +2x-3 ），則點 N 的坐標(biāo)為（ x，-x-3 ）， PN=PE-NE=- （x2 +2x-3 ）+ （-x-3 ）=-x 2-3x S PAC=S PAN+S PCN，S=PN ?OA= ×3 （-x 2-3x ）=-（x+ ）2+ ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)x=-時， S 有最大值，此時點P 的坐標(biāo)為（ - ，- ）；（3）在 y 軸上是存在點 M ，能夠使得ADM 是直角三角形理由如下：y=x 2 +2x-3=y=（x+1 ）2-4 ，頂點 D

14、 的坐標(biāo)為（ -1 ，-4 ），A （-3 ，0），AD 2= （-1+3 ）2 + （-4-0 ）2=20 設(shè)點 M 的坐標(biāo)為（ 0，t ），分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng) A 為直角頂點時，如圖3 ，由勾股定理，得 AM 2+AD 2=DM 2 ，即（ 0+3 ）2+ （t-0 ）2+20= （0+1 ）2 + （t+4 ）2，學(xué)習(xí)必備歡迎下載解得 t= ，所以點 M 的坐標(biāo)為（ 0，）；當(dāng) D 為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得DM 2+AD 2 =AM 2 ，即（ 0+1 ）2+ （t+4 ）2 +20= （0+3 ）2+ （t-0 ）2，解得 t=-，所以點 M 的坐標(biāo)為（ 0，- ）；當(dāng)

15、 M 為直角頂點時，如圖3，由勾股定理，得AM 2 +DM 2 =AD 2 ，即（ 0+3 ）2+ （t-0 ）2+ （0+1 ）2 + （t+4 ）2=20 ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載解得 t=-1或-3 ，所以點 M 的坐標(biāo)為（ 0，-1 ）或（ 0，-3 ）；綜上可知，在 y 軸上存在點 M ，能夠使得ADM 是直角三角形，此時點M 的坐標(biāo)為（0，）或（ 0，- ）或（ 0，-1 ）或（ 0，-3 ）【例題 3】【題干】（東營）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點 A（0，2 ），點 C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax 2 -ax-2 經(jīng)過點 B（1

16、）求點 B 的坐標(biāo)；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點 P（點 B 除外），使ACP 仍然是以 AC 為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】 (1) 點 B 的坐標(biāo)為（ 3 ，1）；(2) y=x 2-x-2 ；(3) P1（-1 ，-1 ），P2 （-2 ，1）.【解析】 解：（1）過點 B 作 BDx 軸，垂足為 D，學(xué)習(xí)必備歡迎下載BCD+ ACO=90 °，AC0+ OAC=90 °，BCD= CAO ，又BDC= COA=90 °，CB=AC ，BDCCOA ，BD=OC=1

17、 ，CD=OA=2，點B 的坐標(biāo)為（ 3，1）；（ 2）拋物線 y=ax 2 -ax-2 過點 B（3， 1）， 1=9a-3a-2 ，解得： a= ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載拋物線的解析式為 y=x 2 -x-2 ；（ 3）假設(shè)存在點 P，使得ACP 是等腰直角三角形，若以 AC 為直角邊，點 C 為直角頂點，則延長 BC 至點 P1 使得 P1C=BC ，得到等腰直角三角形ACP1 ，過點 P1 作 P1M x 軸，如圖（ 1 ），CP1=BC ，MCP 1= BCD ，P1 MC= BDC=90 °，MP 1 CDBC ，CM=CD=2，P1 M=BD=1，P1（-1 ，-1 ），經(jīng)檢

18、驗點 P1 在拋物線y=x 2-x-2 上；學(xué)習(xí)必備歡迎下載若以 AC 為直角邊，點 A 為直角頂點，則過點A 作 AP2CA，且使得 AP2=AC ，得到等腰直角三角形ACP2 ，過點 P2 作 P2 N y 軸，如圖（ 2），同理可證AP2N CAO ，NP 2 =OA=2 ，AN=OC=1，P2（-2 ，1 ），經(jīng)檢驗 P2 （-2 ，1）也在拋物線 y=x 2-x-2 上；若以 AC 為直角邊，點 A 為直角頂點，則過點A 作 AP3CA，且使得 AP3=AC ，得到等腰直角三角形ACP3 ，過點 P3 作 P3H y 軸，如圖（ 3），同理可證AP3H CAO ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載HP

19、3 =OA=2 ，AH=OC=1，P3（2，3 ），經(jīng)檢驗 P3 （2 ，3）不在拋物線 y=x 2 -x-2 上；故符合條件的點有P1 （-1 ，-1 ），P2 （-2 ，1 ）兩點四、課堂運用【基礎(chǔ)】1. （曲靖模擬） 如圖，已知二次函數(shù) y=ax 2-4x+c 的圖象與坐標(biāo)軸交于點 A（ -1 ，0）和點 C（0 ，-5 ）（1）求該二次函數(shù)的解析式和它與 x 軸的另一個交點 B 的坐標(biāo)（2）在上面所求二次函數(shù)的對稱軸上存在一點P（2，-2 ），連接 OP，找出 x 軸上所有點 M 的坐標(biāo)，學(xué)習(xí)必備歡迎下載使得OPM 是等腰三角形【答案】 (1) y=x 2-4x-5 ， B（5 ，0）

20、；(2) M 的坐標(biāo)是（ 4，0 ）、（2，0）、（-2 ，0）、（2 ，0 ）.【解析】解：（1）根據(jù)題意，得，解得，學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=x 2 -4x-5 ，當(dāng) y=0 時， x2 -4x-5=0 ，解得： x1 =5 ，x2 =-1 ，點A 的坐標(biāo)是（ -1 ，0），B（5，0），答：該二次函數(shù)的解析式是y=x 2-4x-5 ，和它與 x 軸的另一個交點B 的坐標(biāo)是（ 5，0 ）（2）令 y=0 ，得二次函數(shù) y=x 2 -4x-5 的圖象與 x 軸的另一個交點坐標(biāo)B（5 ，0），由于 P（ 2，-2 ），符合條件的坐標(biāo)有共有4 個，學(xué)習(xí)必備歡迎下載分別是 M 1（4

21、，0）M 2（2，0）M 3（-2 ，0） M 4（2，0），答： x 軸上所有點 M 的坐標(biāo)是（ 4 ，0）、（2，0）、（-2 ，0 ）、（2，0），使得OPM 是等腰三角形學(xué)習(xí)必備歡迎下載2. （德宏州）已知二次函數(shù) y=x 2+bx+c 圖象的對稱軸是直線 x=2 ，且過點 A（0 ，3 ）（1）求 b 、c 的值；（2）求出該二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點 B、C 的坐標(biāo)；（3）如果某個一次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點 O 和該二次函數(shù)圖象的頂點 M 問在這個一次函數(shù)圖象上是否存在點 P，使得PBC 是直角三角形？若存在，請求出點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】 (1) b=-4 ，

22、c=3；(2) B（3，0），C（1，0）；(3) P 的坐標(biāo)是（， - ）或（ 2，-1 ）或（ 3，- ）或（ 1，- ）.【解析】解：（1）二次函數(shù) y=x 2+bx+c圖象的對稱軸是直線x=2 ，且過點 A（0，3 ），代入得： - =2 ，3=c ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載解得： b=-4 ，c=3 ，答： b=-4 ，c=3 （ 2）把 b=-4 ，c=3 代入得： y=x 2 -4x+3 ，當(dāng) y=0 時， x2 -4x+3=0 ，解得： x1 =3 ，x2 =1 ，B（3，0），C（1，0），答：二次函數(shù)圖象與x 軸的交點 B、C 的坐標(biāo)分別是（ 3，0），（1，0）（3）存在：理由是

23、： y=x 2-4x+3 ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載= （x-2 ）2 -1 ，頂點坐標(biāo)是（ 2， -1 ），設(shè)一次函數(shù)的解析式是 y=kx+b ，把（ 0，0），（2，-1 ）代入得：，解得：，y=- x ，設(shè) P 點的坐標(biāo)是（ x，-x ），取 BC 的中點 M ，以 M 為圓心，以 BM 為半徑畫弧交直線于Q、H ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載則 Q、H 符合條件，由勾股定理得；（x-2 ）2 +(- x- 0) 2=1 2 ，解得： x1 =-x ，x2 =2 ，Q（， - ），H （2，-1 ）；過 B 作 BFX 軸交直線于 F，把 x=3 代入 y=-x 得： y=- ，F(xiàn)（3，- ），過 C 作

24、CEX 軸交直線于 E，同法可求： E（1，- ），學(xué)習(xí)必備歡迎下載P 的坐標(biāo)是（， -）或（ 2，-1 ）或（ 3，- ）或（ 1，-）.答：存在， P 的坐標(biāo)是（， - ）或（ 2 ，-1 ）或（ 3 ，- ）或（ 1，- ）3.（淮安）如圖已知二次函數(shù)y=-x 2+bx+3 的圖象與（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式和點B 的坐標(biāo)；（2）在 x 軸的正半軸上是否存在點P使得PAB是以x 軸的一個交點為A（ 4，0），與 y 軸交于點 BAB 為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P 的學(xué)習(xí)必備歡迎下載坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】 y=-x 2+x+3 ，B（0，3）；(2) P 的坐標(biāo)為（， 0

25、 ）.【解析】解：（1）把點 A（4，0）代入二次函數(shù)有：0=-16+4b+3得： b=所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=-x 2+x+3 學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) x=0 時， y=3點B 的坐標(biāo)為（ 0，3）（2）如圖：作 AB 的垂直平分線交x 軸于點 P，連接 BP，則： BP=AP ，設(shè) BP=AP=x ，則 OP=4-x ，在直角OBP 中， BP2 =OB 2 +OP 2即： x2 =3 2+ （4-x ）2解得： x=OP=4-=所以點 P 的坐標(biāo)為：（， 0）學(xué)習(xí)必備歡迎下載綜上可得點 P 的坐標(biāo)為（， 0 ）【鞏固】1. （貴陽）如圖，經(jīng)過點A （ 0 ， -6 ）的拋物線y=x 2

26、+bx+c與 x 軸相交于B（ -2 ， 0 ）， C 兩點（ 1 ）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點D 的坐標(biāo)；（ 2 ）將（ 1 ）中求得的拋物線向左平移1 個單位長度，再向上平移m （ m 0 ）個單位長度得到新拋物線y 1 ，若新拋物線y 1 的頂點P 在ABC 內(nèi)，求m 的取值范圍；（ 3 ）在（ 2 ）的結(jié)論下，新拋物線y1 上是否存在點Q ，使得QAB 是以 AB 為底邊的等腰三角形？請分析所有可能出現(xiàn)的情況，學(xué)習(xí)必備歡迎下載并直接寫出相對應(yīng)的m 的取值范圍【答案】 (1) （2 ，-8 ）；(2) 3 m 8 ；(3) 3m ; m=.【解析】解：（1）將 A（0，-6 ），B（-

27、2 ，0）代入 y=x 2+bx+c ，得：，解得：，y=x 2-2x-6 ，頂點坐標(biāo)為（ 2，-8 ）；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）將（ 1 ）中求得的拋物線向左平移 1 個單位長度，再向上平移 m （m 0 ）個單位長度得到新拋物線 y 1= （x-2+1 ）2 -8+m ，P（1，-8+m ），在拋物線 y=x 2 -2x-6 中易得 C（6，0），直線 AC 為 y2=x-6 ，當(dāng) x=1 時， y2 =-5 ，-5 -8+m 0，解得： 3m 8；（3）A（0，-6 ），B（-2 ，0），學(xué)習(xí)必備歡迎下載線段 AB 的中點坐標(biāo)為（ -1 ，-3 ），直線 AB 的解析式為 y=-3x-6

28、 ，過AB 的中點且與 AB 垂直的直線的解析式為：y=x-，直線 y=x-與 y= （x-1 ）2 -8+m有交點，聯(lián)立方程，求的判別式為：=64-12 （6m-29 ）0解得： m 當(dāng) 3 m 時，存在兩個Q 點，可作出兩個等腰三角形；當(dāng) m= 時，存在一個點Q，可作出一個等腰三角形；當(dāng) m 8 時， Q 點不存在，不能作出等腰三角形學(xué)習(xí)必備歡迎下載2. （賀州）二次函數(shù)圖象的頂點在原點O ，經(jīng)過點 A （ 1 ，）；點 F（ 0 ， 1 ）在 y 軸上直線y=-1與 y 軸交于點H 學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 1）求二次函數(shù)的解析式；（ 2）點 P 是（ 1 ）中圖象上的點，過點P 作 x 軸的

29、垂線與直線y=-1 交于點 M ，求證： FM平分 OFP ；（ 3）當(dāng)FPM 是等邊三角形時，求P 點的坐標(biāo)【答案】 (1) y=x 2 ；(2) 見解析； (3) P 的坐標(biāo)為（ 2 ，3）或（ -2 ，3 ）【解析】（1）解：二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，學(xué)習(xí)必備歡迎下載設(shè)二次函數(shù)的解析式為 y=ax 2 ，將點 A（1，）代入 y=ax 2 得： a= ，二次函數(shù)的解析式為 y=x 2；（2）證明：點 P 在拋物線 y=x 2 上，可設(shè)點 P 的坐標(biāo)為（ x，x2），過點 P 作 PBy 軸于點 B，則 BF=x 2 -1 ，PB=x ，RtBPF 中，PF=x 2 +1 ，PM 直線

30、y=-1 ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載PM=x 2 +1 ，PF=PM ，PFM= PMF ，又PM y 軸，MFH= PMF ，PFM= MFH ，F(xiàn)M 平分OFP；（3）解：當(dāng)FPM 是等邊三角形時， PMF=60 °，F(xiàn)MH=30 °，學(xué)習(xí)必備歡迎下載在 RtMFH 中， MF=2FH=2 ×2=4 ，PF=PM=FM ，x2+1=4 ，解得： x= ±2，x2= ×12=3 ，滿足條件的點 P 的坐標(biāo)為（ 2 ，3）或（ -2 ，3 ）學(xué)習(xí)必備歡迎下載【拔高】1. （江寧區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點 A（-1，0）、B（0，2），將線段

31、AB 繞點 A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90°至AC（1）點 C的坐標(biāo)為 _；學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）若二次函數(shù) y=x2-ax-2 的圖象經(jīng)過點 C求二次函數(shù) y=x2-ax-2 的關(guān)系式；當(dāng) -1x4 時，直接寫出函數(shù)值y 對應(yīng)的取值范圍；在此二次函數(shù)的圖象上是否存在點 P（點 C 除外），使ABP是以 AB 為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由學(xué)習(xí)必備歡迎下載【答案】 (1) （-3 ，1 ）；(2) y=x 2 +x-2 ； y8；【解析】解：（1）過點 C 作 CDx 軸于點 D，旋轉(zhuǎn)角為 90 °，BAO+ CAD=180 &#

32、176;-90 °=90 °，又BAO+ ABO=90 °，CAD= ABO ，在ABO 和CAD 中，學(xué)習(xí)必備歡迎下載ABO CAD （AAS ），AD=BO=2，CD=AO=1，OD=AO+AD=1+2=3，點C 的坐標(biāo)為（ -3 ，1）；（2）二次函數(shù) y=x 2-ax-2 的圖象經(jīng)過點 C（-3 ，1 ），學(xué)習(xí)必備歡迎下載×（-3 ）2 -（-3 ）a-2=1 ，解得 a=- ，故二次函數(shù)的關(guān)系式為y=x 2 +x-2 ；y=x 2 +x-2= （x+ ）2- ，當(dāng)-1 x4 時， x=-時取得最小值 y=-，x=4 時，取得最大值y= （4+

33、）2 - =8 ，所以，函數(shù)值 y 的取值范圍為： -y8；（ i ） 當(dāng) A 為直角頂點時，延長CA 至點 P1，使 AP1 =AC=AB ，則ABP1 是以 AB 為直學(xué)習(xí)必備歡迎下載角邊的等腰直角三角形，過點P1 作 P1Ex 軸，AP1 =AC ，EAP1= DAC ，P1 EA= CDA=90 °，EP1A DCA ，AE=AD=2 ，EP1=CD=1 ，可求得 P1 的坐標(biāo)為（ 1，-1 ），經(jīng)檢驗點 P1 在二次函數(shù)的圖象上；（ ii） 當(dāng) B 點為直角頂點時，過點 B 作直線 LBA ，在直線 L 上分別取 BP2=BP 3 =AB ，得到以 AB 為直角邊的等腰直角

34、 ABP2 和等腰直角ABP3，作 P2Fy 軸，同理可證BP2FABO ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載則 P2F=BO=2 ，BF=OA=1 ，可得點 P2 的坐標(biāo)為（ 2，1），經(jīng)檢驗 P2 點在二次函數(shù)的圖象上，同理可得點 P3 的坐標(biāo)為（ -2 ，3），經(jīng)檢驗 P3 點不在二次函數(shù)的圖象上綜上所述：二次函數(shù)的圖象上存在點P1（1，-1 ），P2（2 ，1 ）兩點，使得ABP1 和ABP2是以 AB 為直角邊的等腰直角三角形學(xué)習(xí)必備歡迎下載2. （重慶）如圖，已知拋物線y=-x2 +2x+3 與 x 軸交于 A ， B 兩點（點 A 在點 B 的左邊），與 y 軸交于點 C，連接 BC（ 1）求 A ， B， C 三點的坐標(biāo)；（ 2）若點 P 為線段 BC 上一點（不與B，C 重合），PM y 軸，且 PM 交拋物線于點M ，交 x軸于點 N ，當(dāng)BCM 的面積最大時，求 BPN 的周長；（ 3）在（ 2 ）的條件下，當(dāng) BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在一點Q ，使得CNQ 為直角三角形，求點Q 的坐標(biāo)學(xué)習(xí)必備歡迎