中考復(fù)習(xí)特殊三角形(含答案)-

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載特殊三角形考點(diǎn)鏈接1 等腰（等邊）三角形的判定定理與性質(zhì)定理2 直角三角形的判定與性質(zhì)3 勾股定理的應(yīng)用典例精析【例題 1】判斷題：（正確的畫“” ，錯(cuò)誤的畫“×” ）（ 1）若三角形中最大的內(nèi)角是60°，那么這個(gè)三角形是等邊三角形；（）（ 2）等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形；（）（ 3）等腰三角形兩腰上的高相等； （ ）（ 4）等邊三角形的三條高相等； （ ）（ 5）等腰三角形的角平分線垂直且平分對(duì)邊；（ ）（ 6）頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等 （ ）評(píng)析：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定（ 1）三角形有一角為 60°

2、時(shí)，另兩角和是 120°，若其中之一小于60°，必有另一個(gè)大于60°，與最大角為60°相矛盾（2）等腰三角形一腰上的中線不一定等于腰長(zhǎng)的一半 （ 3）（ 4）應(yīng)用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)，通過(guò)三角形面積的不同表示方法可證明 （ 5）當(dāng)?shù)妊切窝偷撞幌嗟葧r(shí)，底角的平分線不垂直平分對(duì)邊（ 6） ?和等腰三角形底邊平行的直線截得的等腰三角形與原三角形頂角相等，但不全等答案：（ 1）（ 2）×（ 3）（ 4）（ 5）×（ 6）×評(píng)析：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，等腰三角形的“三線合一”在等邊三角形中就都成

3、立，這是因?yàn)樵诘冗吶切沃校總€(gè)頂點(diǎn)都可以視作等腰三角形的頂點(diǎn)【例題 2】（1）已知： a、b、c 為 ABC三邊，且滿足 a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，試判斷 ABC的形狀2（ 2）如圖， ABC中， CDAB，垂中為 D 點(diǎn)，且 CD=AD·BD，求證： ABC?為直角三學(xué)習(xí)必備歡迎下載角形解題思路：由三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷三角形是否是直角三角形，或用于構(gòu)造直角三角形證明兩直線垂直，一般與勾股定理和代數(shù)式、方程相結(jié)合，綜合運(yùn)用特別是由一個(gè)等式求三角形的三邊長(zhǎng)時(shí)，往往把等式化為A 2+B 2+C2=0 的形式，再由A=0 ，B=0 ，C=0 ，求得三角形三邊的

4、長(zhǎng)，再用于計(jì)算或判斷（ 1）解： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，222， a -6a+9+b -8b+16+c -10c+25=0（ a-3）2+（b-4） 2+（ c-5） 2=0， a-3=0， b-4=0， c-5=0 ，222 a=3，b=4 ， c=5， a +b =c ，（ 2）證明： CD AB ， AD 2+DC 2=AC 2， DB 2+DC 2=BC 2 AC 2+BC 2=AD 2+DB 2+2DC 2， DC 2=AD·DB ，2222 22 AC +BC =AD +DB +2AD·DB= （ AD+DB ） =AB 評(píng)析：（ 1）對(duì)

5、于原等式關(guān)鍵處是化為 A2+B2+C2=0 的形式，對(duì)常數(shù)項(xiàng)拆項(xiàng)的依據(jù)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方 （ 2）本題的解答在于反復(fù)應(yīng)用勾股定理及其逆定理， ?先分別在Rt ACD和Rt BCD中使用勾股定理，再依據(jù)已知條件，進(jìn)而求得AC2+BC 2=AB2， ?利用勾股定理的逆定理判定ABC為直角三角形【例題 3】（北京）如圖，一根長(zhǎng)2a 的木棍（ AB），斜靠在與地面（ OM）垂直的墻（ ON）上，設(shè)木棍的中點(diǎn)為 P，若木棍 A 端沿墻下滑，且 B 端沿地面向右滑行（ 1）請(qǐng)判斷木棍滑動(dòng)的過(guò)程中， 點(diǎn) P 到點(diǎn) O的距離是否變化，并簡(jiǎn)述理由（ 2）在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，AOB的面積

6、最大？簡(jiǎn)述理由，并學(xué)習(xí)必備歡迎下載求出面積的最大值解題思路：（1）木棍在滑動(dòng)過(guò)程中，OP始終是 Rt AOB斜邊中線，故為斜邊AB?的一半，而 AB的長(zhǎng)為定長(zhǎng)， 所以 OP不變（ 2）木棍在滑動(dòng)的過(guò)程中，斜邊上的高在發(fā)生變化，因?yàn)?AB 為定值，當(dāng)高最大時(shí)，AOB的面積為最大，所以當(dāng)OP AB（即 OA=OB） ?時(shí)， ? AOB面積最大解：（ 1）不變理由：在直角三角形中，因?yàn)樾边匒B?的長(zhǎng)不變， ?由性質(zhì)有斜邊中線OP長(zhǎng)不變（ 2）當(dāng) AOB的斜邊 AB上的高 h 等于中線OP時(shí)， AOB的面積最大，如圖，若h 與OP不相等，則總有h<OP，故根據(jù)三角形面積公式，有h 與 OP相等時(shí)

7、， AOB的面積最大112此時(shí)， S AOB =2AB·h= ×2a·a=a2所以 AOB 的面積最大值為a2評(píng)析：（ 1）在變化過(guò)程中，要抓住不變量，建立起所求量與不變量的關(guān)系（2）要求面積的最大值轉(zhuǎn)化為三角形底不變，高是變量，即找出高的變化的最大值即得探究實(shí)踐【問(wèn)題 1】已知 ABC的兩邊 AB、AC長(zhǎng)是關(guān)于 x 的一元二次方程x2-（ 2k+3）x+k 2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為 5（ 1）k 為何值時(shí)， ABC是以 BC為斜邊的直角三角形；（ 2）k 為何值時(shí)， ABC是等腰三角形，并求 ABC的周長(zhǎng)解題思路：（ 1）用根與系數(shù)的關(guān)系、

8、勾股定理建立方程求解， ?再用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系檢驗(yàn) （ 2）用求根公式和等腰三角形的性質(zhì)求解解：（ 1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理，可列方程組：ACAB2k 3ACABk 23k 2AC2AB252 ,222·AB AC +AB =（AC+AB ） -2AC 25=（ 2k+3 ） 2-2（ k2+3k+2 ），學(xué)習(xí)必備歡迎下載 k1=-5 ， k2=2當(dāng) k=-5 時(shí)，方程的兩根為負(fù)值，不合題意，舍去 k=2， ABC是以 BC為斜邊的直角三角形（ 2） =（ 2k+3） 2-4（ k2+3k+2 ）=1>0 ，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，AC AB當(dāng) AB

9、=BC 或 AC=BC 時(shí)，將 x=5 代入方程 x2-（ 2k+3） x+k 2+3k+2=0 ， k=3 ，k=4 k=3 時(shí)，方程為x2-9x+20=0 ， x1=4，x2=5 ABC 的周長(zhǎng)為142k=4 時(shí)，方程為x -11x+30=0 ， x1=5， x2=6 ABC 的周長(zhǎng)為16評(píng)析：這是一道綜合題，涉及知識(shí)較多，一元二次方程的解法，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，根的判別式，勾股定理，因?yàn)闆](méi)指明等腰三角形的底和腰，不要漏解另外，求解以后要檢驗(yàn)，如三角形的邊不能為負(fù)值，那么方程的解為負(fù)值即不合題意舍去，再如，求出的三邊是否滿足三角形三邊之間的關(guān)系定理，不滿足的也要舍去【問(wèn)題2】如下左圖

10、，圖是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長(zhǎng)分別為 a 和 b，斜邊的長(zhǎng)為 c圖是以 c 為直角邊的等腰直角三角形， ?請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形（ 1）畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫出它是什么圖形；（ 2）用這個(gè)圖形證明勾股定理；（ 3）假設(shè)圖中的直角三角形有若干個(gè)，你能運(yùn)用（1） ?中所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫出拼后的示意圖（無(wú)需證明）解題思路：由所給出的三個(gè)圖形拼成直角梯形，抓住面積來(lái)證明勾股定理解：（ 1）如上右圖是所拼的圖形，它是直角梯形（ 2） S 梯形 = 1 （ a+b）（a+b） = 1 （ a+b） 2，22學(xué)習(xí)必備

11、歡迎下載又 S 梯形 = 1 ab×2+ 1 c2=ab+ 1 c2，222 1 （ a+b） 2=ab+ 1 c2，整理得 a2+b2 =c222（ 3）拼出能證明勾股定理的圖形 （圖略）評(píng)析：這是考察學(xué)生綜合能力的一個(gè)題目，證明勾股定理的方法很多，而本題給出了三個(gè)直角三角形，分析直角三角形的邊，用面積關(guān)系得出勾股定理的一種證明方法中考演練一、填空題1等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm 和 5cm，則它的周長(zhǎng)為_(kāi)cm2（山西）在ABC中，如圖1， AB=AC， E 是 AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E 為圓心， EB為半徑畫弧交 BC于點(diǎn) D，連接 ED 并延長(zhǎng)到點(diǎn) F，使 DF=DE，連接 FC，

12、若 B=70°，則 F=_度(1)(2)(3)3等腰三角形的兩外角之比為5： 2，則該等腰三角形的底角為_(kāi)二、選擇題1如圖2， ABC中， AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，且BD=BC=AD，則 A 的度數(shù)為（）A 30°B36°C45°D70°2下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A等邊三角形的各邊相等，各角相等B等邊三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形C等邊三角形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形D等邊三角形有一個(gè)內(nèi)切圓和一個(gè)外接圓3如圖3，在ABD中，D=90°， C 為 AD上一點(diǎn)，則x 可能是（）A 10°B 20°C 30°D 40

13、76;學(xué)習(xí)必備歡迎下載三、解答題1如圖，已知，在Rt ABC中， ACB=90°， AC=BC，D 是 AB 中點(diǎn)， E、F?分別在 AC、BC1上，且 ED FD，求證： S 四邊形 EDFC =S ABC 22如圖， ABC中， ACB=90°， AC=BC， AE 是 BC邊上的中線，過(guò) C 作 CF AE，垂足為F，過(guò) B 作 BDBC交 CF的延長(zhǎng)線于 D（ 1）求證： AE=CD：（ 2）若 AC=12cm，求 BD的長(zhǎng)實(shí)戰(zhàn)模擬一、填空題1底角為15°，腰長(zhǎng)為a 的等腰三角形的面積是_2 ?等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，?則這個(gè)等腰三角形的頂角度

14、數(shù)為_(kāi) 3如圖， D 為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)， DB=DA，BP=AB， DBP= DBC，?則 BPD的度數(shù)是 _二、選擇題1（ 宿遷）如圖 6 的三角形中，若 AB=AC，?則能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）學(xué)習(xí)必備歡迎下載A （ 1）（ 2）（ 3）B （ 1）（ 2）（ 4）C （ 2）（3）（ 4） D（1）（ 3）（4）2如圖，等邊 ABC中， BD=CE， AD與 BE 相交于點(diǎn) P，則 APE的度數(shù)是（）A45° B 55° C 60° D 75°3三角形兩邊的長(zhǎng)為6 和 8，第三邊長(zhǎng)為方程x2-16x+60=0 的一個(gè)實(shí)數(shù)根，

15、則該三角形的面積是（）A 24 B 24或8 5C48 D85三、解答題1（蘭州）如圖所示，在ABC中， D、E 分別是 AC、AB上的點(diǎn)， BD與 CE相交于 O點(diǎn)，給出下列四個(gè)條件：EBO= DCO； BEO=CDO； BE=CD； OB=OC（ 1）上述四個(gè)條件中， 哪兩個(gè)條件可以判定 ABC是等腰三角形（ ?用序號(hào)數(shù)寫出所有情況）（ 2）選擇（ 1）中的一種情況，證明 ABC是等腰三角形學(xué)習(xí)必備歡迎下載2（吉林）如圖，在Rt ABC和 Rt DEF中， ABC=90°， AB=4，BC=6， DEF=90°， DF=EF=4（ 1）移動(dòng) DEF，使邊 DE與 AB 重合（如圖） 再將 DEF 沿 AB?所在直線向左平移，使點(diǎn) F 落在 AC 上（如圖），求 BE的長(zhǎng)（ 2）將圖中的 DEF繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 使點(diǎn) F 落在 BC上，連接 AF（如圖）請(qǐng)找