王矜奉固體物理習(xí)題

1、晶體的結(jié)構(gòu)習(xí) 題1 以剛性原子球堆積模型，計(jì)算以下各結(jié)構(gòu)的致密度分別為：（1）簡立方，; （2）體心立方, （3）面心立方， （4）六角密積，（5）金剛石結(jié)構(gòu)，解答設(shè)想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個(gè)晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為結(jié)構(gòu)的致密度， 設(shè) n為一個(gè)晶胞中的剛性原子球數(shù),r表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體積，則致密度=（1） 對(duì)簡立方晶體，任一個(gè)原子有6個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1.2所示，中心在1，2，3，4處的原子球?qū)⒁来蜗嗲?，因?yàn)?面1.2 簡立方晶胞晶胞內(nèi)包含1個(gè)原子，所以 = （2）對(duì)體心立方晶體，任一個(gè)原子有8個(gè)最近鄰，若原子剛性球堆積，如圖1.3所

2、示，體心位置O的原子8個(gè)角頂位置的原子球相切，因?yàn)榫О臻g對(duì)角線的長度為晶胞內(nèi)包含2個(gè)原子，所以= 圖1.3 體心立方晶胞（3）對(duì)面心立方晶體，任一個(gè)原子有12個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1.4所示，中心位于角頂?shù)脑优c相鄰的3個(gè)面心原子球相切，因?yàn)椋?個(gè)晶胞內(nèi)包含4個(gè)原子，所以=. 圖1.4面心立方晶胞（4）對(duì)六角密積結(jié)構(gòu)，任一個(gè)原子有12個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1。5所示，中心在1的原子與中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子與中心在6，7，8的原子相切， 圖 1.5 六角晶胞 圖 1.6 正四面體晶胞內(nèi)的原子O與中心在1，3，4，5，7，8處的原子相切，即O點(diǎn)與中心在

3、5，7，8處的原子分布在正四面體的四個(gè)頂上，因?yàn)樗拿骟w的高 h=晶胞體積 V= ,一個(gè)晶胞內(nèi)包含兩個(gè)原子，所以 =.（5）對(duì)金剛石結(jié)構(gòu)，任一個(gè)原子有4個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1.7所示，中心在空間對(duì)角線四分之一處的O原子與中心在1，2，3，4處的原子相切，因?yàn)?晶胞體積 , 圖1.7金剛石結(jié)構(gòu)一個(gè)晶胞內(nèi)包含8個(gè)原子，所以 =.2在立方晶胞中，畫出（102），（021），（1），和（2）晶面。 解答 圖1.8中虛線標(biāo)出的面即是所求的晶面。3如圖1.9所示，在六角晶系中，晶面指數(shù)常用（）表示，它們代表一個(gè)晶面在基矢的截距分別為在C軸上的截距為 證明：求出 O 和A 四個(gè)面的面指數(shù)。 圖1

4、.9六角晶胞對(duì)稱畫法 解答設(shè) d是晶面族（）的面間距， n是晶面族的單位法矢量，晶面族（）中最靠近原點(diǎn)的晶面在 軸上的截距分別為 所以有=,=,=.因?yàn)樗浴Ｓ缮鲜降玫?.即由圖可得到： 晶面的面指數(shù)為(111) 面的面指數(shù)為(110)晶面的面指數(shù)為(100)晶面的面指數(shù)為(0001)4設(shè)某一晶面族的面間距為 d , 三個(gè)基矢 的末端分別落在離原點(diǎn)的距離為,的晶面上，試用反證法證明：是互質(zhì)的。解答設(shè)該晶面族的單位法量為 由已知條件可得假定 不是互質(zhì)數(shù)，且公約數(shù) 即是互質(zhì)的整數(shù)，則有今取離原點(diǎn)最近的晶面上的一個(gè)格點(diǎn)，該格點(diǎn)的位置矢量為由于 心定是整數(shù)，而且于是得到由上式可得上式左端是整數(shù)，右端是

5、分?jǐn)?shù)，顯然是不成立的。矛盾的產(chǎn)生是 p為不等于1的整數(shù)的假定。也就是說，p只能等于1，即 一定是互質(zhì)數(shù)。5證明在立方晶體中，晶列與晶面（）正交，并求晶面() 與晶面()的夾角。 解答設(shè)d 是為晶面族（）的面間距 ，n為法向單位矢量，根據(jù)晶面族的定義，晶面族（）將 a,b, c分別截為 等份，即an=acos(a,n)=hd,bn=bcos(b,n)=kd,cn=ccos(c,n)=ld于是有 n=i+j+k=(hi+kj+lk)其中,i ,j,k 分別為平行于a,b,c 三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，而晶列 的方向矢量為R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)由（1），（2）兩式得n=R即n

6、與R 平行，因此晶列與晶面（）正交。對(duì)于立方晶系，晶面() 與晶面() 的夾角，就是晶列 R=a+b+c與晶列R=a+b+c的夾角，設(shè)晶面 ()與晶面 () 的夾角為 由RR= =得 6如圖1.10所示，B,C 兩點(diǎn)是面心立方晶胞上的兩面心。（1） 求 ABC 面的密勒指數(shù)；（2） 求 AC 晶列的指數(shù)，并求相應(yīng)原胞坐標(biāo)系中的指數(shù)。 圖1.10 面心立方晶胞解答（1） 矢量與矢量的叉乘即是 ABC 面的法矢量= 因?yàn)閷?duì)立方晶系，晶列與晶面族（）正交，所以ABC 面的密勒指數(shù)為(31).（2）可見 與晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指數(shù)為11.由固體物理教程（13）式可得面心

7、立言結(jié)構(gòu)晶胞基矢與原胞基矢的關(guān)系晶列 (a+b-2c) 可化為 (a+b-2c)=-2()由上式可知，AC晶列在原胞坐標(biāo)系中的指數(shù)為117試證面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。 解答 設(shè)與晶軸a,b,c 平行的單位矢量分別為i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取為 由倒格矢公式,可得其倒格矢為設(shè)與晶軸a,b,c 平行的單位矢量分別為i,j,k ,體心立方正格子的原胞基矢可取為以上三式與面心立方的倒格基矢相比較，兩者只相差一常數(shù)公因子， 這說明面心立方的倒格子是體心立方。將體心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式 則得其倒格子基矢為 可見體心立方的倒格子是面心立方。8六角晶胞的

8、基矢 求其倒格基矢。解答晶胞體積為 其倒格矢為 9證明以下結(jié)構(gòu)晶面族的面間距：（1） 立方晶系:（2） 正交晶系: （3） 六角晶系:（4） 簡單單斜:.解答（1）設(shè)沿立方晶系軸a,b,c的單位矢量分別為i,j,k,則正格子基矢為 圖1.11立方晶胞倒格子晶矢為 與晶面族(hkl)正交的倒格為由晶面間距 與倒格矢的關(guān)系式得，（2）對(duì)于正交晶系，晶胞基矢相互垂直，但晶格常數(shù)設(shè)沿晶軸 的單位矢量分別為i,j,k 則正格子基矢為 圖1.12正交晶胞倒倒格子基矢為與晶面族 (hkl) 正交的倒格為由晶面間距 與倒格矢的關(guān)系式得（2） 對(duì)于六角晶系，晶面族 (hkl) 的面間距 圖 1.13 六角晶胞也

9、即由圖1.13可得六角晶胞的體積倒格基矢的模倒格基矢的點(diǎn)積其中利用了矢量混合的循環(huán)關(guān)系及關(guān)系式因?yàn)?矢量平行于 c 所以將以上諸式代入（1）式得即= （4）單斜晶系晶胞基矢長度及晶胞基矢間的夾角分別滿足 和 , 晶胞體積 由abc得其倒格子基矢長度 a及bc倒格基矢間的點(diǎn)積 = =因?yàn)槭噶科叫杏赽所以將以上諸式代入 得到 =即 10求晶格常數(shù)為 的面心立方和體立方晶體晶面族 的面間距解答面心立方正格子的原胞基矢為a由 可得其倒格基矢為 倒格矢 根據(jù)固體物理教程（1。16）式 得面心立方晶體面族 的面間距 =體心立方正格子原胞基矢可取為其倒格子基矢為 則晶面族的面間距為 11試找出體心立方和面心

10、立方結(jié)構(gòu)中，格點(diǎn)最密的面和最密的線。解答由上題可知，體心立方晶系原胞坐標(biāo)系中的晶面族 的面間距 可以看出，面間距最大的晶面族就是，將該晶面指數(shù)代入固體物理教程（1.32）式，得到該晶面族對(duì)應(yīng)的密勒指數(shù)為 面間距最大的晶面上的格點(diǎn)最密，所以密勒指數(shù) 晶面族是格點(diǎn)最密的面，格點(diǎn)最密的線一定分布在格點(diǎn)最密的面上，由圖1.14虛線標(biāo)出的(110)晶面容易算出，最密的線上格點(diǎn)的周期為 圖 1.14 體心立方晶胞 由上題還知，面心立方晶系原胞坐標(biāo)系中的晶面族 的面間距可以看出，面間距最大的晶面族是。由本章第15題可知，對(duì)于面心立方晶體，晶面指數(shù) 與晶面指數(shù)(hkl)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 將晶面指數(shù) 代入上式，得到

11、該晶面族對(duì)應(yīng)的密勒指數(shù)也為.面間距最大晶面上的格點(diǎn)最密，所以密勒指數(shù)晶面族是格點(diǎn)最密的面,格點(diǎn)最密的線一定分布在格點(diǎn)最密的面上,由圖1.15虛線標(biāo)出的(111) 晶面上的格點(diǎn)容易算出,最密的線上格點(diǎn)的周期為 圖1.15面心立方晶胞12證明晶面 及 屬于同一晶帶的條件 解答設(shè)原胞坐標(biāo)系中的倒格子基矢為 則晶面，及 的倒格矢分別為當(dāng)三個(gè)晶面共晶帶時(shí),它們的交線相互平行,這些交線都垂直于倒格矢即 位于同一平面上,于是有利用正倒格子的關(guān)系得式中為倒格原胞體積,于是得到代入(1)式,得013.晶面 的交線與晶列平行,證明解答與晶面垂直的倒格矢分別為晶面的交線應(yīng)同時(shí)與和垂直,即與平行,而式中 為倒格原胞體

12、積 , 為正格原胞基矢已知晶面的交線與晶列平行,即和平行,因此 可取為.14今有正格矢其中; 及均為整數(shù),試證 可選作基矢的充分條件是解答解法一:固體物理原胞的選取方法有無數(shù)種,但它們有一個(gè)無同的特點(diǎn),即它們的體積都相等,是晶體的最小重復(fù)單元。因此 可選作基矢的充分條件是，由基矢 構(gòu)成的原胞體積一定等于由基矢 構(gòu)成的原胞體積，即將代入得將上式代入（1）得解法二：設(shè)，當(dāng)為基矢時(shí)，應(yīng)取整數(shù)值，將代入 得由此得方程組解方程得由于的表示式中的三分子的行列式的值均為整數(shù)，為整數(shù)，因此 可選作基矢的充分條件是15對(duì)于面心立方晶體，已知晶面族的密勒指數(shù)為，求對(duì)應(yīng)的原胞坐標(biāo)中的面指數(shù) 若已知求對(duì)應(yīng)的密勒指數(shù)。

13、解答由固體物理教程（1。3）式和（1。4）兩式得面心立方晶體原胞坐標(biāo)系中的倒格基矢 與晶胞坐標(biāo)系中的倒格基矢的關(guān)系為也即與晶面族 垂直的倒格矢與晶面族 正交，因此，若已知晶面族的密勒指數(shù)(hkl)則原胞坐標(biāo)系中的面指數(shù) 其中 p是的公約數(shù)同樣與晶面族 (hkl) 正交，因此，若已知晶面族的面指數(shù) 則晶胞坐標(biāo)系中的面指數(shù)(hkl)其中 是 的公約數(shù)。16證明不存在5度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。解答如下面所示，A,B 是同一晶列上 O 格點(diǎn)的兩個(gè)最近鄰格點(diǎn)，如果繞通過 O 點(diǎn)并垂直于紙面的轉(zhuǎn)軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，則 A 格點(diǎn)轉(zhuǎn)到 點(diǎn)，若此時(shí)晶格自身重合，點(diǎn)處原來必定有一格點(diǎn)，如果再繞通過 O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，

14、則晶格又恢復(fù)到未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)，但逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，B 格點(diǎn)轉(zhuǎn)到 處，說明 處原來必定有一格點(diǎn)，可以把格點(diǎn)看成分布在一族相互平行的晶列上，由圖可知，晶列與AB晶列平行平行的晶列具有相同的周期，若設(shè)該周期為則有 圖1.16晶格的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性其中m為整數(shù)，由余弦的取值范圍可得于是可得因?yàn)槟鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別等于順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以晶格對(duì)稱轉(zhuǎn)動(dòng)所允許的獨(dú)立轉(zhuǎn)角為上面的轉(zhuǎn)角可統(tǒng)一寫成稱n為轉(zhuǎn)軸的度數(shù)，由此可知，晶格的周期性不允許有度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸17利用轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作，證明六角晶系介電常數(shù)矩陣為解答由固體物理教程（1。21）式可知，若 A是一旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作，則晶體的介電常數(shù) 滿足 對(duì)六角晶系，繞 x（即 a）軸旋 和繞z

15、（即 c）軸旋 都是對(duì)稱操作，坐標(biāo)變換矩陣分別為假設(shè)六角晶系的介電常數(shù)為則由 得可見即。將上式代入 得由上式可得于是得到六角晶系的介電常數(shù)18試證三角晶系的倒格子也屬三角晶系，解答對(duì)于三角晶系，其三個(gè)基矢量的大小相等。且它們相互間的夾角也相等。即利用正倒格子的關(guān)系，得設(shè) 與 的交角為 , 與的交角為,與的交角為 則有由（1）和（2）式得由 和 可得可見倒格基矢 與 的交角，與的交角,與的交角都相等，這表明三個(gè)倒格基矢的長度不僅相等，且它們之間的夾角也相等，所以三角晶系的倒格子也屬于三角晶系.19討論六角密積結(jié)構(gòu)，X光衍射消光的條件.解答圖1.17示出了六角密積結(jié)構(gòu)的一個(gè)晶胞，一個(gè)晶胞包含兩個(gè)原

16、子，它們的位置矢量分別是 圖 1.17 六角密積晶胞因?yàn)槭敲芊e結(jié)構(gòu)，所以原子散射因子 .將上述結(jié)果代入幾何因子 得(hkl)晶面族引起的衍射光的總強(qiáng)度由上式知，只有當(dāng)奇數(shù)，時(shí)，才出現(xiàn)衍射消光.現(xiàn)將 h,k,l 的取值范圍討論如下：(a) 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，若l 為偶數(shù)，則 nl也為偶數(shù),為保證=奇數(shù),成立，須有 奇數(shù)，由此知 奇數(shù)奇數(shù).但由于 h,k 為整數(shù)，上式左端是偶數(shù)，右端是奇數(shù)，顯然是不成立的，矛盾的產(chǎn)生是l 為偶數(shù)的條件導(dǎo)致的，所以 l不能為偶數(shù)，而只能為奇數(shù)，因而偶數(shù)即 整數(shù)整 (b) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由奇數(shù)得 奇數(shù)奇數(shù)上式左端是偶數(shù)，右端是奇數(shù)，顯然也不成立，矛盾的產(chǎn)生是n為偶數(shù)的條

17、件導(dǎo)致的，所以 n不能為偶數(shù)，由上述討論可知，衍射消光條件為 奇數(shù) 奇數(shù)整數(shù)(=整數(shù))20用波長為 的X光對(duì)鉭金屬粉末作衍射分析，測(cè)得布拉格角大小為序的五條衍射線，見表1-1序號(hào)1234519.61128.13635.15641.15647.769已知鉭金屬為體心結(jié)構(gòu)，求（1） 衍射晶面族的晶面指數(shù)；（2） 晶格常數(shù)解答（1） 對(duì)于立方晶體，晶面族 （hkl） 的面間距布拉格反射公式相應(yīng)化為可見 與衍射面指數(shù)的平方和的開根成正比，由已知條件可知對(duì)于體心立方晶系，衍射面指數(shù)的和n（h+k+l） 為偶數(shù)出現(xiàn)衍射極大，因此，對(duì)應(yīng)衍射角由小到大排列的衍射晶面族是（110），（200），（121），（2

18、20），（310），而從各衍射角的正弦之比與衍射面指數(shù)的平方和的開根之比可以看出，二者比值是十分接近的，存在的小小偏差，可能是測(cè)量誤差所致，因此，對(duì)應(yīng)布拉格角大小為序的五條衍射線的衍射晶面族是（110），（200），（121），（220），（310）。（2）將代入得到鉭金屬的晶格常數(shù) 21鐵在 時(shí)，得到最小三個(gè)衍射角分別為 當(dāng)在 時(shí)，最小三個(gè)衍射角分別變成 已知在上述溫度范圍，鐵金屬為立方結(jié)構(gòu)。（1）試分析在和下，鐵各屬于何種立方結(jié)構(gòu)？（2） 在 下，鐵的密度為求其晶格常數(shù)。解答（1）對(duì)于立方晶體，晶面族（hkl）的面間距為布拉格反射公式 相應(yīng)化為可見 與 成正比對(duì)于體心立方元素晶體，衍射面指

19、數(shù)和 n（h+k+l） 為奇數(shù)時(shí)，衍射消光；衍射面指數(shù)和 n（h+k+l） 為偶數(shù)時(shí)，衍射極大，因此，對(duì)應(yīng)最小的三個(gè)衍射面指數(shù)依次為（110），（200），（211）.這三個(gè)衍射角的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比為鐵在 時(shí)，最小的三個(gè)衍射角的正弦值之比 =可見，鐵在 時(shí)最小的三個(gè)衍射角的正弦值之比，與體心立方元素晶體最小的三個(gè)衍射面指數(shù)的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比極其接近（存在偏差一般是實(shí)驗(yàn)誤差所致）。由此可以推斷，鐵在 時(shí)為體心立方結(jié)構(gòu)。對(duì)于面心立方元素晶體，衍射面指數(shù) nh,nk,nl 全為奇數(shù)或全為偶數(shù)時(shí)，衍射極大，對(duì)應(yīng)聞小三個(gè)衍射角的衍射面指數(shù)依次為 (111),(200),(220)

20、 這三個(gè)衍射角的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比為鐵在 時(shí)最小的三個(gè)衍射角的正弦值之比sin=0.137733:0.159020:.224668=1:1.15455:1.63118可見，鐵在 時(shí)最小的三個(gè)衍射角的正弦值之比，與面心立方元素晶體最小的三個(gè)衍射角的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比極其接近，由此可以推斷，鐵在 時(shí)為面立方結(jié)構(gòu) （2）鐵在時(shí)為體立心結(jié)構(gòu)，一個(gè)晶胞內(nèi)有兩個(gè)原子，設(shè)原子的質(zhì)量為m，晶格常數(shù)為，則質(zhì)密度晶格常數(shù)則為一個(gè)鐵原子的質(zhì)量 最后得鐵在時(shí)的晶格常數(shù)22對(duì)面心立方晶體，密勒指數(shù)為 的晶面族是否出現(xiàn)一級(jí)衍射斑點(diǎn)，從光的干射說明之。解答由本章第10題可知，對(duì)于面心立方晶體，晶面族 的

21、面間距由本章第15題可知，對(duì)于面心立方晶體，晶面指數(shù) 與晶面指數(shù)（hkl）的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 將上式代入前式得 因?yàn)榱⒎骄得芾罩笖?shù)晶面族的面間距 所以對(duì)于立方晶系，兩套晶面指數(shù)對(duì)應(yīng)的晶面族的面間距的關(guān)系為將上式代入兩套坐標(biāo)中的布拉格反射公式 得到 將密勒指數(shù)代入（1）式，得 由上式可知，這說明，對(duì)于密勒指數(shù) 的晶面族，衍射極大的最小級(jí)數(shù)是2，或者說，對(duì)于密勒指數(shù)的晶面族，它的一級(jí)衍射是消光的，對(duì)于密勒指數(shù)的晶面族，它一級(jí)衍射產(chǎn)生的原因可從光的干涉來解釋。圖1.18示出了晶面族的1級(jí)衍射情況，1與3晶面的面間距為 對(duì)于該晶面族的1級(jí)衍射，有 對(duì)照衍射示意圖1。18上式恰好是1與3晶面產(chǎn)生的光程差，也

22、就是說1與3晶面產(chǎn)生的光程差為1個(gè)波長，由此推論，1與3晶面的反射光的相位差為， 它們的確是相互加強(qiáng)的，但實(shí)際（對(duì)于非復(fù)式格子）的面間距為 即1與3晶面中間實(shí)際還有1個(gè)原子層，在這種情況下，相鄰原子層的反射光的相位差為 衍射光是相互抵消的，這就是密勒指 圖1.18面的一級(jí)衍射數(shù)的晶面族一級(jí)衍射產(chǎn)生消光的原因.23設(shè)有一面心立方結(jié)構(gòu)的晶體，晶格常數(shù)為.在轉(zhuǎn)動(dòng)單晶衍射中，已知與轉(zhuǎn)軸垂直的晶面的密勒指數(shù)為 求證 其中p是一整數(shù)，是第m個(gè)衍射圓錐母線與晶面的夾角。參見圖1.19所示反射球， 圖1.19反射球解答轉(zhuǎn)動(dòng)單晶衍射法，晶體正格子轉(zhuǎn)動(dòng)，倒格子也轉(zhuǎn)動(dòng)，倒格點(diǎn)可以看成分布在與轉(zhuǎn)軸垂直的，等間距的一個(gè)

23、個(gè)倒格晶面上，由于倒格晶面旋轉(zhuǎn)，落在反射面球面上的倒格點(diǎn)的跡線形成一個(gè)個(gè)圓，反射球心到跡線上任一點(diǎn)的邊線即是 衍射極大的方向反射球心到任一跡線連線構(gòu)成一個(gè)個(gè)圓錐面。設(shè)本題晶體一與轉(zhuǎn)軸垂直的倒格面面指數(shù)為() 則倒格面的面間距 其中正格矢 與倒格面 垂直，即與轉(zhuǎn)軸平行，由圖1。19得 其中 是 的光的波矢，即反射球的半徑，現(xiàn)在已知與轉(zhuǎn)軸垂直的晶面的密勒指數(shù)為（hkl） 由題5可知，晶列 R與轉(zhuǎn)軸平行，利用面心立方結(jié)構(gòu)晶胞基矢與原胞基矢的關(guān)系 可得 =pR其中 p 是公約數(shù)，由立方晶體的 可得 24在 20 時(shí)銅粉末樣品的一級(jí)衍射角是 47.75 在 1000 時(shí)是46.60 ， 求銅的線脹系數(shù)。

24、解答設(shè)銅的衍射面指數(shù)為 （hkl） 在 20 時(shí)的面間距為 在 1000時(shí)的面間距為 則由布拉格反射公式得22由以上兩式得銅的線膨脹系數(shù) 25若 X 射線沿簡立方晶胞的 OZ 軸負(fù)方向入射，求證：當(dāng)或 時(shí)一級(jí)衍射線在YZ平面內(nèi)，其中 是衍射光線與 OZ 軸的夾角。解答（1） 解法一 由布拉格反射公式和立方晶系晶面族（hkl）的面間距 得到 將已知條件代入上式得 .由已知條件可畫出 X光入射波矢 k與反射矢k 的關(guān)系圖，由圖1.20中和幾何關(guān)系 圖1.20 k與反射波矢k的關(guān)系圖可知 .于是有 利用 得到 .由上式可知 于是 k- k=K=其中 和 分別是x 軸和y軸方向的單位矢量，于是 k=

25、k+由于 k 在YZ 平面內(nèi)，所以一級(jí)衍射線也在YZ 平面內(nèi)。（2） 解法二設(shè)分別是平行于 a，b，c 軸的單位矢量，衍射波矢 k 與 a，b，c 軸的夾角分別為則有k= k= .由1級(jí)衍射條件得k- k=K=.于是由以上三式解得.由 得到 將上式與已知條件比較得到 h=0. 于是 上式說明一級(jí)衍射線在 YZ平面內(nèi)26一維原子鏈?zhǔn)怯葾,B 兩種原子構(gòu)成，設(shè) A,B原子散射因子分別為 和 入射X射線垂直于原子鏈，證明（1）衍射極大條件是, a是晶格常數(shù) ,是衍射束與原子鏈的夾角.（2）當(dāng) n 為奇數(shù)，衍射強(qiáng)度比例于（3）討論 情況 解答（1） 如圖1.12所示，設(shè)原子是等間距的，衍射光束與原子鏈

26、的夾角為.當(dāng)入射 X光垂直于原子鏈時(shí)， A原子或 B原子散射波 圖 1.21 X 光衍射的光程差為.當(dāng) 時(shí)，各 A原子（或B原子）的散射波的相位差為0,散射波相互加強(qiáng),形成很強(qiáng)的衍射光.（2） 一個(gè)原胞內(nèi)包含A,B兩個(gè)原子能，取A 原子的坐標(biāo)為(000)B原子的坐標(biāo)為().衍射光的強(qiáng)度 I從上式可知，取 h為1，當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)，衍射光的強(qiáng)度正比于,（3） 若,當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)，衍射光的強(qiáng)度為0.這時(shí)，A原子與 B原子的散射波的相位差為,相位相反,互相抵消,即對(duì)應(yīng)消光現(xiàn)象.當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí),衍射光的強(qiáng)度最強(qiáng), I27證明當(dāng)電子的幾率分布函數(shù)(r)與方向無關(guān)時(shí)，原子散射因子是一實(shí)數(shù)。 解答由固體物理教

27、程（1。37）式得，原子散射因子當(dāng)電子的幾率分布函數(shù)(r)與方向無關(guān)時(shí)，設(shè) (r)= sr基中取 s的方向?yàn)榍蜃鴺?biāo)的極軸方向，于是 作變量變換 得到 上式積分是一個(gè)實(shí)數(shù)。第2章晶體的結(jié)合習(xí) 題1. 有一晶體,平衡時(shí)體積為 ， 原子間相互作用勢(shì)為.如果相距為 r的兩原子互作用勢(shì)為 證明(1) 體積彈性模量為 K=(2) 求出體心立方結(jié)構(gòu)惰性分子的體積彈性模量.解答設(shè)晶體共含有 N個(gè)原子,則總能量為U(r)=.由于晶體表面層的原子數(shù)目與晶體內(nèi)原子數(shù)目相比小得多,因此可忽略它們之間的基異,于是上式簡化為 U=設(shè)最近鄰原子間的距離為R則有R再令 AA得到 U=平衡時(shí)R=R,則由已知條件U(R) = 得

28、 由平衡條件 得 .由(1),(2)兩式可解得 利用體積彈性模量公式參見固體物理教程(2.14)式 K=得K= = = 由于 因此 于是 K= (1) 由固體物理教程(2.18)式可知,一對(duì)惰性氣體分子的互作用能為 若令 ,則N 個(gè)惰性氣體分子的互作用勢(shì)能可表示為 .由平衡條件 可得 R進(jìn)一步得 代入K=并取 m=6，n=12，V得 K=.對(duì)體心立方晶體有 A于是2. 一維原子鏈,正負(fù)離子間距為,試證:馬德隆常數(shù)為1n2.解答 相距的兩個(gè)離子間的互作用勢(shì)能可表示成 設(shè)最近鄰原子間的距離為R 則有 ,則總的離子間的互作用勢(shì)能 U=.基中 為離子晶格的馬德隆常數(shù),式中+;- 號(hào)分別對(duì)應(yīng)于與參考離子

29、相異和相同的離子.任選一正離子作為參考離子,在求和中對(duì)負(fù)離子到正號(hào),對(duì)正離子取負(fù)號(hào),考慮到對(duì)一維離子兩邊的離子是正負(fù)對(duì)稱分布的,則有利用正面的展開式 1n(1+)并令 得=1n(1+1)=1n2.于是,一維離子鏈的馬德常數(shù)為1n23. 計(jì)算面心立方面簡單格子的和 (1) 只計(jì)最近鄰;(2) 計(jì)算到次近鄰;(3) 計(jì)算到次近鄰.解答圖2.26示出了面心立方簡單格子的一個(gè)晶胞.角頂O原子周圍有8個(gè)這樣的晶胞,標(biāo)號(hào)為1的原子是原子O 的最近鄰標(biāo)號(hào)為2的原子是O 原子的最近鄰,標(biāo)號(hào)為3的原子是O 原子的次次近鄰.由此得到,面心立方簡單格子任一原子有12個(gè)最近鄰,6個(gè)次近鄰及24個(gè)次次近鄰.以最近鄰距離

30、度量,其距離分別為: 由 圖2.6 面心立方晶胞得(1) 只計(jì)最近鄰時(shí)， .(2) 計(jì)算到次近鄰時(shí) (3) 計(jì)算到次次近鄰時(shí) 由以上可以看出,由于 中的冪指數(shù)較大,收斂得很快,而 中的冪指數(shù)較小,因此 收斂得較慢,通常所采用的面心立方簡單格子的 和 的數(shù)值分別是14.45與12.13. 4. 用埃夫琴方法計(jì)算二維正方離子(正負(fù)兩種)格子的馬德隆常數(shù).解答馬德隆常數(shù)的定義式為 ,式中+、-號(hào)分別對(duì)應(yīng)于與參考離子相異和相同的離子,二維正方離子(正負(fù)兩種)格子,實(shí)際是一個(gè)面心正方格子,圖 2.7示出了一個(gè)埃夫琴晶胞.設(shè)參考離子O為正離子,位于邊棱中點(diǎn)的離子為負(fù)離子,它們對(duì)晶胞的貢獻(xiàn)為4*(1/2).

31、對(duì)參考離子庫侖能的貢獻(xiàn)為 圖2.7二維正方離子晶格 頂角上的離子為正離子,它們對(duì)晶胞的貢獻(xiàn)為4*(1/4), 對(duì)參考離子庫侖能的貢獻(xiàn)為 因此通過一個(gè)埃夫琴晶胞算出的馬德隆常數(shù)為 再選取個(gè)埃夫琴晶胞作為考慮對(duì)象,這時(shí)離子O 的最的鄰,次近鄰均在所考慮的范圍內(nèi),它們對(duì)庫侖能的貢獻(xiàn)為 而邊棱上的離子對(duì)庫侖能的貢獻(xiàn)為 頂角上的離子對(duì)為庫侖能的貢獻(xiàn)為 這時(shí)算出的馬德隆常數(shù)為 圖 2.8 4個(gè)埃夫琴晶胞同理對(duì)個(gè)埃夫琴晶胞進(jìn)行計(jì)算,所得結(jié)果為對(duì) 個(gè)埃夫琴晶胞進(jìn)行計(jì)算,所得結(jié)果為 當(dāng)選取 n個(gè)埃夫琴晶胞來計(jì)算二維正方離子(正負(fù)兩種)格子的馬德隆常數(shù),其計(jì)算公式(參見劉策軍,二維NaC1 晶體馬德隆常數(shù)計(jì)算,大

32、學(xué)物理，Vo1.14,No.12,1995.)為 其中 5. 用埃夫琴方法計(jì)算CsCl 型離子晶體的馬德隆常數(shù)(1) 只計(jì)最近鄰(2) 取八個(gè)晶胞解答(1) 圖2.29是CsCl晶胸結(jié)構(gòu),即只計(jì)及最近鄰的最小埃夫琴晶胞,圖2.29是將Cs雙在體心位置的結(jié)構(gòu),圖2.9(a)是將 Cl取在體心位置的結(jié)構(gòu),容易求得在只計(jì)及最近鄰情況下,馬德隆常數(shù)為1. 圖2.29 （a）Cs 取為體心的CsC1晶胞,(b) C1取為體心的CsC1晶胞(2)圖2.10是由8個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞,8個(gè)最近鄰在埃夫琴晶胞內(nèi),每個(gè)離子對(duì)晶胞的貢獻(xiàn)為1,它們與參考離子異號(hào),所以這8個(gè)離子對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)為8埃夫琴

33、晶胞6個(gè)面上的離子與參考離子同號(hào),它們對(duì)埃夫琴晶胞的貢獻(xiàn)是,它們與參考離子的距離為它們對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)為- 圖 2.10 8個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的一個(gè)埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的12個(gè)離子,與參考離子同號(hào),它們對(duì)埃夫琴晶胞的貢獻(xiàn)是它們與參考離子的距離為它們對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)為-埃夫琴晶胞角頂上的 8個(gè)離子,與參考離子同號(hào),它們對(duì)埃夫琴晶胞的貢獻(xiàn)是它們與參考離子的距離為2R它們對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn)為 -,由8個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞計(jì)算的馬德隆常數(shù) 為了進(jìn)一步找到馬德常數(shù)的規(guī)律,我們以計(jì)算了由27個(gè)CsCl 晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù),結(jié)果發(fā)現(xiàn),由27個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞的馬德

34、隆常數(shù)是0.439665.馬德隆常數(shù)的不收斂,說明CsCl晶胞的結(jié)構(gòu)的馬德隆常數(shù)不能用傳統(tǒng)的埃夫琴方法計(jì)算.為了找出合理的計(jì)算方法,必須首先找出采用單個(gè)埃夫琴晶胞時(shí)馬德隆常數(shù)不收斂的原因.為了便于計(jì)算,通常取參考離子處于埃夫琴晶胞的中心.如果以Cs 作參考離子,由于埃夫琴晶胞是電中性的要求,則邊長為(p是大于或等于1的整數(shù))的埃夫琴晶胞是由(2p)個(gè)CsCl晶胞所構(gòu)成,埃夫琴晶胞最外層的離子與參考離子同號(hào),而邊長為(2p+1)的埃夫琴晶胞是由(2p+1) 個(gè) CsCl晶胞所構(gòu)成,但埃夫琴晶胞的最外層離子與參考離子異號(hào),如果以C1 作參考離子也有同樣的規(guī)律,設(shè)參考離子處于坐標(biāo)原點(diǎn)O ,沿與晶胞垂

35、直的方向(分別取為x,y,z圖2.11示出了z軸)看去,與參考郭同號(hào)的離子都分布在距O點(diǎn)的層面上,其中 是大于等于 1的整數(shù),與 O點(diǎn)離子異號(hào)的離子都分布在距O 點(diǎn)(-0.5)的層面上,圖 2.11(a) 示出了同號(hào)離子層,圖2.11(b)示出了異號(hào)離子層. 圖2.11 離子層示意圖(a)表示同號(hào)離子層, O離子所在層與 O離子所在層相距(b)表示異號(hào)離子層, O離子所在層和O 離子所在層相距(-0.5)當(dāng) CsCl埃夫琴晶胞邊長很大時(shí),晶胞最外層的任一個(gè)離子對(duì)參考離子的庫侖能都變得很小,但它們對(duì)參考離子總的庫侖能不能忽略.對(duì)于由(2p)個(gè)CsCl晶胞所構(gòu)成的埃夫琴晶胞來說,最外層有6*(2p

36、)個(gè)與參考離子同號(hào)的離子,它們與參考離子的距離為(1/2)(),它們與參考離子的庫侖能為量級(jí),這是一個(gè)相對(duì)大的正值.對(duì)于由(2p+1)個(gè)CsCl 晶胞所構(gòu)成的埃夫琴晶胞來說,離外層有6*(2p+1)個(gè)與參考離子異號(hào)的離子,它們與參考離子的庫侖能為量級(jí),這是一個(gè)絕對(duì)值相對(duì)大的負(fù)值,因此,由(2p) 個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算的庫侖能,與由(2p+1)個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算的庫侖能會(huì)有較大的差異.即每一情況計(jì)算的庫侖能都不能代表CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能.因此這兩種情況所計(jì)算的馬德隆常數(shù)也必定有較大的差異,由1個(gè)CsCl晶胞、8個(gè)CsCl 晶胞和27個(gè)CsCl晶胞構(gòu)

37、成的埃夫琴晶胞的計(jì)算可知, CsCl埃夫琴晶胞體積不大時(shí),這種現(xiàn)象已經(jīng)存在.為了克服埃夫琴方法在計(jì)算馬德隆常數(shù)時(shí)的局限性,可采取以下方法,令由 (2p)個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞計(jì)算的庫侖能為，由(2p+1)個(gè)CsCl晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算的庫侖能為，則CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能可近似取作 (1)因子1/2 的引入是考慮除了(2p+1) 個(gè)CsCl 晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞最外層離子外,其他離子間的庫侖能都累計(jì)了兩偏,計(jì)算 和 時(shí)要選取體積足夠大的埃夫琴晶胞,此時(shí)埃夫琴晶胞最外層離子數(shù)與晶胞內(nèi)的離子數(shù)相比是個(gè)很小的數(shù),相應(yīng)的馬德隆常數(shù)應(yīng)為 (2)其中：是由(2p)個(gè)CsC1晶胞構(gòu)成

38、的埃夫琴晶胞計(jì)算的值; 由 (2p+1) 個(gè)CsC1晶胞構(gòu)成的埃夫琴晶胞所計(jì)算成本的值. 為簡化計(jì)算,特選取晶胞邊長為計(jì)算單位,由于所以 (3) 其中 是某一離子到參點(diǎn)的距離與的比值. 考慮到對(duì)稱性,對(duì)選定的埃夫琴晶胞,把晶胞的離子看成分布在一個(gè)個(gè)以參考離子為對(duì)稱心的正六面體的六個(gè)面上,體積不同的正六面六個(gè)面上的離子分別計(jì)算.由(2p)個(gè)CsC1晶胞構(gòu)成埃夫琴晶胞時(shí),由分析整理可得 (4)由(2p+1)個(gè) CsC1 晶胸構(gòu)成埃夫琴晶胞時(shí), (5)其中：(6) 表示與 O點(diǎn)距離為的6個(gè)面上所有的離子對(duì)馬德隆常數(shù)的面貢獻(xiàn),因?yàn)檫@些離子與參考離子同號(hào),故到負(fù)號(hào).、 是離子在平面 上的坐標(biāo), 代表 6

39、個(gè)面上等價(jià)離子的個(gè)數(shù),其取值規(guī)則為:(1) 在角上(如E點(diǎn)),即=i 且 = i. 時(shí), =8；(2) 在棱與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(如 F點(diǎn))，=i 且= 0或 =0且= 0時(shí), =6(3) 在棱上的其他點(diǎn)(如H、I點(diǎn))即不滿足上述條件,且=i或= i.時(shí), =12(4) 在點(diǎn),即=0且= 0時(shí), =6(5) 在除 點(diǎn)外的面上的點(diǎn)(如J點(diǎn)),即不滿足上述條件時(shí)，=24. (7)代表距O點(diǎn)距離為(-0.5)的6個(gè)面上的離子對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn),因?yàn)檫@種些離子與參考離子異號(hào),故取正號(hào). ,是離子在平面上的坐標(biāo), 代表這6個(gè)面上等價(jià)離子的個(gè)數(shù),其取值規(guī)則為:(1) 在角上(如K點(diǎn)),即=i 且 = i.時(shí),

40、=8;(2) 在棱下(如L、M 點(diǎn)),即不滿足不述條件,且=i或= i時(shí)，=12；(3) 在面上(如N點(diǎn))好不滿足上述條件時(shí), =24. 表示在邊長為2 的晶胞最外層,即與參考離子相距的6個(gè)面上的離子對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn),應(yīng)取負(fù)號(hào),與的不同在于的取值:(1) 在角上, =/8;(2) 在棱上, =/4;(3) 在面上, =/2.表示在邊長為2的晶胞最外層,即與參考離子相距(p+0.5)的離子層對(duì)馬德隆常數(shù)的貢獻(xiàn),應(yīng)取正號(hào),與的不同在于的取值:(1) 在角上, =/8;(2) 在棱上, =/4;(3) 在面上, =/2.表2.1給出了計(jì)算結(jié)果,給出的是由分別對(duì)應(yīng)2p和2p+1的和求得的,實(shí)際上,

41、和只需對(duì)應(yīng)邊長相近的埃夫琴晶胞即可,如取對(duì)應(yīng)2p和2p-1的埃夫琴晶胞也可得到一樣的收斂結(jié)果,由以上數(shù)據(jù)可見,馬德隆常數(shù)隨晶胞邊長的增大而迅速收斂. 該方法適用于NaC1結(jié)構(gòu)以外離子晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算.表2.21 CsC1晶體結(jié)構(gòu)馬德隆常數(shù)2p2p+123.06480630.4396651.752235543.10240150.4155941.7589975103.119695110.4050771.7623860503.122891510.4024531.76267201003.1229911010.4023581.76267452003.1230162010.4023341.762675

42、03003.1230213010.4023291.76267504003.1230224010.4023271.76267455003.1230235010.4023271.75267506003.1230236010.4023261.76267457003.1230247010.4023261.76267508003.1230248010.4023261.76267506. 只計(jì)及最近鄰間的排斥作用時(shí),一離子晶體離子間的互作用勢(shì)為(1)最近鄰(2)最近鄰以外式中是常數(shù),R是最近鄰距離,求晶體平衡時(shí),原子間總的互作用勢(shì).解 答設(shè)離子數(shù)目為2N,以R表示第j個(gè)離子到參考離子i的距離,忽略表面效應(yīng),則總的相互作用能可表示為U=N (表示最近鄰) =N 其中 為馬德隆常數(shù),+號(hào)對(duì)應(yīng)于異號(hào)離子,-號(hào)對(duì)應(yīng)于同號(hào)離子;Z為任一離子的最近鄰數(shù)目,設(shè)平衡時(shí)R=R ,由平衡條件得 平衡時(shí)的總相互作用為 7. 設(shè)離子晶體中,離子間的互作用勢(shì)為 (1) 求晶體平衡時(shí),離子間總的相互作用勢(shì)能(2) 證明: 其中是馬德隆常數(shù)，Z是晶體配位數(shù)