近世代數(shù)習(xí)題解答(張禾瑞)三章

1、近世代數(shù)習(xí)題解答第三章 環(huán)與域1 加群、環(huán)的定義1. 證明,本節(jié)內(nèi)所給的加群的一個(gè)子集作成一個(gè)子群的條件是充分而且必要的.證 ()若S是一個(gè)子群則是S的零元,即對(duì)的零元,即 ()若 今證是子群由對(duì)加法是閉的,適合結(jié)合律,由,而且得再證另一個(gè)充要條件:若是子群,反之 故2. ,加法和乘法由以下兩個(gè)表給定:+0 a b c 0 a b c00 a b c00 0 0 0aa 0 c ba0 0 0 0bb c 0 ab0 a b ccc b a 0c0 a b c 證明,作成一個(gè)環(huán)證 對(duì)加法和乘法的閉的. 對(duì)加法來說,由習(xí)題6,和階是4的非循環(huán)群同構(gòu),且為交換群. 乘法適合結(jié)合律事實(shí)上. 當(dāng)或,的

2、兩端顯然均為. 當(dāng)或x=c,的兩端顯然均為. 這已討論了所有的可能性,故乘法適合結(jié)合律.兩個(gè)分配律都成立 事實(shí)上,第一個(gè)分配律的成立和適合律的討論完全一樣,只看或以及或就可以了.至于第二個(gè)分配律的成立的驗(yàn)證,由于加法適合交換律,故可看或 (可省略的情形)的情形,此時(shí)兩端均為剩下的情形就只有R作成一個(gè)環(huán).2 交換律、單位元、零因子、整環(huán) 1. 證明二項(xiàng)式定理 在交換環(huán)中成立.證 用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí),顯然成立.假定時(shí)是成立的:看 的情形 (因?yàn)?即二項(xiàng)式定理在交換環(huán)中成立.2. 假定一個(gè)環(huán)對(duì)于加法來說作成一個(gè)循環(huán)群,證明是交換環(huán).證 設(shè)是生成元?jiǎng)t的元可以寫成 (整數(shù)) 3 證明,對(duì)于有單位元的

3、環(huán)來說,加法適合交換律是環(huán)定義里其他條件的結(jié)果 (利用)證 單位元是, 是環(huán)的任意二元, 4 找一個(gè)我們還沒有提到過的有零因子的環(huán).證 令是階為的循環(huán)加群規(guī)定乘法:而則顯然為環(huán). 階為2 有 而 但 即為零因子或者為矩陣環(huán).5 證明由所有實(shí)數(shù) (整數(shù))作成的集合對(duì)于普通加法和乘法來說是一個(gè)整環(huán).證 令整數(shù)() 是加群適合結(jié)合律,交換律自不待言.零元 的負(fù)元()乘法適合結(jié)合律,交換律，并滿足分配律.()單位元 () R沒有零因子，任二實(shí)數(shù)或 3 除、環(huán)、域1. 所有復(fù)數(shù) 是有理數(shù)證明 對(duì)于普通加法和乘法來說是一個(gè)域.證 和上節(jié)習(xí)題5同樣方法可證得F是一個(gè)整環(huán).并且 ()有 () 即 中至少一個(gè)

4、因而有, 使 故為域 2. 所有實(shí)數(shù) 是有理數(shù) 證明 對(duì)于普通加法和乘法來說是一個(gè)域. 證 只證明 有逆元存在.則中至少有一個(gè) , 我們說 不然的話, 若 則 矛盾) 但 不是有理數(shù) 既然 則 的逆為4. 證明 例3的乘法適合結(jié)合律.證 又 , 5. 驗(yàn)證,四元數(shù)除環(huán)的任意元 ,這里是實(shí)數(shù),可以寫成 的形式. 證 4 無零因子環(huán)的特征1. 假定是一個(gè)有四個(gè)元的域,證明.()的特征是2;()的 或1的兩個(gè)元都適合方程 證 () 設(shè)的特征為則的(加)群的非零元的階所 (是群的階)但要求是素?cái)?shù), () 設(shè) 由于,所以加法必然是 ,而 故有0 1 a b00 1 a b11 0 b aAa b 0 1

5、Bb a 1 0 又 構(gòu)成乘群,所以乘法必然是 (否則 )故有 .1 a b 11 a b aa b 1 bb a 1這樣, 顯然適合 2. 假定 是模 的一個(gè)剩余類.證明,若 同 互素,那么所有的書都同 互素(這時(shí)我們說同 互素).證 設(shè) 且則由于 故有 ,且有 因?yàn)?所以3. 證明, 所有同 互素的模 的剩余類對(duì)于剩余類的乘法來說作成一個(gè)群(同 互素的剩余類的個(gè)數(shù)普通用符號(hào) 來表示,并且把它叫做由拉函數(shù))證而 同 互素顯然非空,因?yàn)?()則又有()顯然適合結(jié)合律.()因?yàn)橛邢?所以的階有限.若即由此可得即有另一個(gè)消去律同樣可證成立.作成一個(gè)群 4. 證明,若是, 那么(費(fèi)馬定理)證 則而

6、的階是的階 的一個(gè)因子因此即5 子環(huán)、環(huán)的同態(tài)1. 證明,一個(gè)環(huán)的中心是一個(gè)交換子環(huán).證 設(shè)是環(huán)的中心.顯然 ，是環(huán)的任意元是子環(huán),至于是交換環(huán)那是明顯的.2. 證明, 一個(gè)除環(huán)的中心是個(gè)域.證 設(shè)!是除環(huán)！是中心由上題知是的交換子環(huán)顯然,即包含非零元,同時(shí)這個(gè)非零元是的單位元. 即 !是一個(gè)域3. 證明, 有理數(shù)域是所有復(fù)數(shù)是有理數(shù)）作成的域的唯一的真子域. 證 有理數(shù)域是的真子域.設(shè)!是的一個(gè)子域,則(因?yàn)槭亲钚?shù)域) 若 而則這就是說,是的唯一真子域.4. 證明, 有且只有兩自同構(gòu)映射.證 有理數(shù)顯然變?yōu)槠渥约?假定則由或 這就證明完畢.當(dāng)然還可以詳細(xì)一些:確是的兩個(gè)自同構(gòu)映射.現(xiàn)在證明

7、只有這兩個(gè).若(有理數(shù)變?yōu)槠渥约? 則由 若 是有理數(shù),在就出現(xiàn)矛盾,所以有 因而 在就是說, 只能 或i5. 表示模3的剩余類所作成的集合.找出加群的所有自同構(gòu)映射,這找出域!的所有自同構(gòu)映射.證 1）對(duì)加群的自同構(gòu)映射自同構(gòu)映射必須保持!故有 2）對(duì)域的自同構(gòu)映射.自同構(gòu)映射必須保持，所有只有6. 令是四元數(shù)除環(huán), 是子集一切這里阿是實(shí)數(shù),顯然與實(shí)數(shù)域同構(gòu).令是把中換成后所得集合;替規(guī)定代數(shù)運(yùn)算.使,分別用表示的元 ,那么的元可以寫成是實(shí)數(shù)）的形式(參看 習(xí)題). 驗(yàn)證.，證 1）對(duì)來說顯然 2）一切 實(shí)數(shù) 一切（ 實(shí)數(shù) 一切 復(fù)數(shù)對(duì)是不屬于的的元. 一切規(guī)定 由于與的補(bǔ)足集合沒有共同元,

8、容易驗(yàn)證是與間的一一映射.規(guī)定的兩個(gè)喚的和等于它們的逆象的和的象.的兩個(gè)元的積等于它們的逆象的積的象.首先,這樣規(guī)定法則確是的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算.其次,對(duì)于這兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算以及的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算來說在之下 （3）由習(xí)題5知 這里 實(shí)數(shù)這是因?yàn)榱睿?） 同樣6 多項(xiàng)式環(huán) 1. 證明, 假定是一個(gè)整環(huán),那么上的一個(gè)多項(xiàng)式環(huán)也是一個(gè)整環(huán). 證 !是交換環(huán)交換環(huán), 有單位元是的單位元, 沒有零因子沒有零因子事實(shí)上， 則因?yàn)闆]有零因子,所以因而這樣是整環(huán)2 假定是模7的剩余類環(huán),在里把乘積 計(jì)算出來解 原式=3. 證明:() () 若是上的無關(guān)未定元,那么每一個(gè)都是上的未定元.證 （）一切 一切由于因而（）設(shè)即 因

9、為是上的無關(guān)未定元,所以即是上的未定元 4. 證明: () 若是和上的兩組無關(guān)未定元,那么() !上的一元多項(xiàng)式環(huán)能與它的一個(gè)真子環(huán)同構(gòu).證 ()根據(jù)本節(jié)定理3 容易驗(yàn)證這樣 （）令一切顯然但不然的話這與是上未定元矛盾.所以是上未定元顯然故有（）這就是說,是的真子環(huán),且此真子環(huán)與同構(gòu).7 理想 1. 假定是偶數(shù)環(huán),證明,所有整數(shù)是的一個(gè)理想,等式!對(duì)不對(duì)? 證 是的一個(gè)理想. 等式 不對(duì)這是因?yàn)闆]有單位元,具體的說但 2. 假定是整數(shù)環(huán),證明 證 是整數(shù)環(huán),顯然 又 3. 假定例3的是有理數(shù)域,證明,這時(shí)是一個(gè)主理想. 證 因?yàn)?與互素,所以存在使 。 即是一個(gè)主理想.4. 證明,兩個(gè)理想的交

10、集還是一個(gè)理想.證 和是兩個(gè)理想非空顯然 5. 找出模6的剩余類環(huán)的所有理想.證 找出的理想是我們只有這四個(gè)理想必包若包含或則必包含所有的元若同時(shí)含或則必包含或 6. 一個(gè)環(huán)!的一個(gè)子集叫做的一個(gè)左理想,假如 () ()你能不能在有理數(shù)域上的矩陣環(huán)里找到一個(gè)不是理想的左理想/證 是有理數(shù)取 是的一個(gè)左理想,但它不是理想.（只要或8 剩余類環(huán)、同態(tài)與理想1. 假定我們有一個(gè)環(huán)的一個(gè)分類，而是由所有的類所作成的集合又假定規(guī)定兩個(gè)的代數(shù)運(yùn)算，證明是的一個(gè)理想并且給定類剛好是模的剩余類。 證 （） 先證是的一個(gè)理想 即 而 同理于是是的理想 （） 若屬于同一類，即 即屬于對(duì)同一剩余類反之，若屬于對(duì)的同

11、一剩余類即 所以即 亦即屬于同一類這樣給定的類正好是對(duì)來講的剩余類。 2 假定是環(huán)到環(huán)的一個(gè)同態(tài)滿射，證明，是與間的同構(gòu)映射，當(dāng)而且只當(dāng)?shù)暮耸堑牧憷硐氲臅r(shí)候。 證 （） 若，的逆象只有0既核是零理想 （） 若的核的零理想 而 那么核， 即是同構(gòu)映射 3 假定是由所有復(fù)數(shù)是整數(shù)作成的環(huán)，環(huán)有多少元？ 證 是有單位元的交換環(huán)那么主理想的元的形式應(yīng)為令 我們說當(dāng)而且只當(dāng)?shù)钠媾夹韵嗤瑫r(shí)，是整數(shù)所以共有兩個(gè)元：一個(gè)元是而奇偶性相同以代表一個(gè)元是而奇偶性相反以代表實(shí)際上，的任二元而則 與奇偶性相同 偶數(shù) 偶數(shù) 與奇偶性相同若 與 均奇數(shù)以及均奇偶性相反，若與 均偶數(shù)以及均奇偶性相同，反之亦然。9 最大理想

12、 1 假定是由所有復(fù)數(shù)是整數(shù) 所作成的環(huán)，證明，是一個(gè)域， 證 證法一，由習(xí)題3知是只包含兩個(gè)元，是有單位元的交換環(huán)且有零理想與單位理想，所以是一個(gè)域。 證法二，證明是的最大理想。設(shè)是的一個(gè)理想，且同時(shí)有而根據(jù)習(xí)題3知奇偶性相反若則若 則的奇偶性相反同屬一類即是理想，故 ，而是有單位元交換環(huán)自不必多說根據(jù)本節(jié)定理是域。 2 我們看環(huán)上的一個(gè)多項(xiàng)式環(huán)，當(dāng)是整數(shù)環(huán)時(shí)，的理想是不是最大理想？當(dāng)是有理數(shù)域的時(shí)候，情形如何？ 證 （）是整數(shù)環(huán)時(shí)，不是的最大理想這是因?yàn)橛衫?知是的理想明顯的有且 （）當(dāng)是有理數(shù)域時(shí)，可證是的最大理想。設(shè)是的一個(gè)理想，且而那么， 是理想即而 -于是 3 我們看所有偶數(shù)作成的環(huán)。證明，（4）是的最大理想，但不是一個(gè)域。 證 設(shè)是的一個(gè)理想，且而則除包含外還至少包含一個(gè)而是偶數(shù)，只有那么， 故有即是的最大理想。只包含兩個(gè)元而沒有單位元： 所以不是一個(gè)域。 4 我們看有理數(shù)域上的全部矩陣環(huán)，證明，只有零理想同單位理想，