Green公式及拓展

1、Green第一第二第三公式的證明1.1 Green第一公式證明Green 第一公式:?u 2 ?u 2? ( ?X)+ (?y) dxdy = - ? u?udxdy ?證明：不妨設(shè) n = (cos 0 sin0)；由方向?qū)?shù)的定義有:?u ?u= cos ? ?x?u0+ sin 0 ?ydy可知有cos 0 =“？?+ (?sin 0=v(?+(?-dx? “(？?+(?故有=步 u(?Ucf ?uydsc?udy+ )"(?+ (?x "?+(? ?y vt?/+(?u?u=u ?x dy - u?y dxdydy由Green公式?Q ?( '(?xD?P-

2、?y) dxdy=/ Pdx + Qdy ;?D/ ?u?u少u亍dy - ?xc-u dx ?y? ?u?u=? ?x(u ?x)- ?y(-u ?y) dxdyS? ?u?y(u ?y) dxdy? ?u ?u 2 ?y(勾)u+(?y)dxdy? ?u =? (u ) +-?x(U?x)S? ?u ?u =?衣應(yīng)u+(pS?u 2 ?u 2(如)+ (?y) dxdy+ ?'S?u 2 ?u 2 (應(yīng) + (?y) dxdy + ?S ?u 2 ?u 2? ?u ? ?u?x(?x)u + ?y(?y) u dxdy? ?u ? ?u u?x(?x)+ ?y(刃dxdy=?(靈)

3、+ (?y) dxdy + ? u ?udxdyS即有?u u ds =?c移項可得原式，得證。?u 2 ?u 2? (?x)+(?y)dxdy+? u ?udxdyS1.2 Green第二公式證明Green第二公式:|?uu| dx dy = v?uu?v7?1 dsv證明:等式左邊展開:? |?uS?|dxdy 二? v?u -u?vdx dy =? v?u - u?vdx dyS右邊?u e i?n c u ?u F-?v 兩dsv?vu) ds? 7?u?uCdy?x v(?+ (?dxv?y “？?+(?有Green公式有P=(uQ=(vdy?v u?x “？?+ (?vdx+ u&

4、quot;(?+ (?y “？?+(?u=/ v dy -?uv dx -?y?vf ?v ?u=風(fēng)F v刃dx +?u?u-v )?y ?y7?u ?v?x- u?x)?Q ?P(莎-?y) dxdy =?v臨dy+u?y dx?u ?v(v?x-臨)dy/ Pdx + Qdy ;?D?u?Q_ ?(W u?x?x?v?u = +?x ?x?2uv?x2 -?v ?u?2v?x ?x- u?x2?2u?2vv?x2 -u 2?x2同理?P?2v?2u=u o-v?x?y2?y2故有v?u - u?v dxdy =?vv| dx dy?Q?P?(條-?y) dxdyD?2u?2v?2v?2u?

5、 (v- (v ?x2u?x2-u 2 + v ?y2?y2) dxdyD1.3 Green第三公式證明Green第三公式：若u為有界閉區(qū)域S中的調(diào)和函數(shù)，則有：u(x,y)=三卷(u ?丁 - I nr?) ds 其中C為S邊界，尋為u沿著C的外法線方向的方向?qū)?shù)；r = v( - x)2 + ( n- y)2;為(x, y)到邊界C上動點(E, n)的距離；證明: 由Green第二公式得到? l nr?u/ (u - In r ) ds 二？ v?u - u?v dxdy' ?7、CD由于u為有界閉區(qū)域S中的調(diào)和函數(shù)，？u = 0?v = ? In r = ?ln - x)2 +

6、( n- y)2 = 0可知In r也是調(diào)和函數(shù);故有在沒有奇點的情況下,S內(nèi)的任何區(qū)域? In rC故有設(shè)以(x , y)為中心,?uIn r ) ds = ?7Dt為半徑的一個領(lǐng)域u?v - v?u dxdy = 0D,/ (uC有在？D上，? In r?(r?uIn r?) ds =(u?D? I nr?u亍叫)dS/ In?u r ds 一?In t,?u 少ds?一 In t ? ?uds 一 0?D?DD? In r11ds 一/ uds一歲u-ds = 少 uds 一 2 n?rtt?D?D?Du£? In r歲u?D，n)故由u在S上的連續(xù)性得到In r ?uIim

7、/ (ut f '?C-In r ?) ds = tim0 2 n u£ , nj = 2n u.故得證1? I nr?u皿滬廠心百-x亦)dsC種積分F面的圖表給岀了各種積分間的聯(lián)系，在計算中可以根據(jù)這些關(guān)系，將一種積分轉(zhuǎn)化為另例1 設(shè)L為平面上封閉曲線，I為平面上任意方向，n是L的外法線方向。證明:Lcos(n,l )ds 0證明 ncos(n, x), cos(n, y)，因為(n,x)(,y)，(n, y) ( , x)(,x)則cos( n,x)cos( ,y)，cos(n, y)cos( ,x)cos(n,l)n l cos(n, x),cos(n, y)cos(

8、 l ,x),cos(l , y)cos( ,x),cos( ,y)cos( ,y), cos( ,x) cos( I , x),cos(l, y) cos(l,y)cos( , x) cos(l ,x)cos( , y)cos(n,l )ds I cos(l , y)dx cos(l ,x)dyOdxdy 0D注1到）此例給岀了平面上閉曲線切線正向和外法線矢量的關(guān)系:（這個結(jié)果在 7、8、12題都要用cos(n, x) cos( , y)， cos(n, y)cos( , x)利用這個關(guān)系，可得格林公式的另一種形式:°LPcos(n,x)Qcos(n, y)ds D一 D x dx

9、dy y或（用外法向矢量）lP,Q ndsP Q dU 7dxdy0 L Qdx PdyDxdxdy試比較(用正向的切線矢量)l Pdx Qdy : JP, Q.r QdsJD xP dxdy y事實上Pcos(n,x) Qcos(n, y)ds LP cos( , y)Qcos( , x)ds注3 我們已經(jīng)知道，格林公式是斯托克司公式當(dāng)L是平行于Oxy坐標(biāo)面的平面曲線時的特殊情形。而從格林公式的上述形式可以看岀，格林公式也可作為高斯公式的特殊情形。在高斯公式中，設(shè) P(x, y), Q(x, y), R(x, y)不依賴于z?？紤]平行于z軸的單位高柱體的邊界曲面S的外側(cè)，它在 Oxy面的投影

10、為曲線 L。記柱面的上底面為 S1，下底面為 S2，側(cè)面為S3，則- S Pdydz Qdzdx Rdxdy(ss2sJPdydz Qdzdx RdxdyS R(x, y)dxdy S R(x, y)dxdy S Pdydz QdzdxS3 P(x,y)dydz Q(x, y)dzdx0dz C P(x“(y),y)dy 0dz : P(x“(y), y)dy1 b1 bodz aQ(x,y(x)dx °dz aQ(x, y2(x)dxddbbc P(xi(y),y)dy cP(xi(y),y)dy aQ(x, yi(x)dxaQ(x,y2(x)dxL P(x, y)dy Q(x,

11、y)dx LPcos(n, x) Qcos(n,y)dsV上xQ dxdydz y z0dzD 空Qdxdy yd- dxdyx y即 °LPcos(n,x) Qcos(n, y)dsD xdxdy例2設(shè)u(x, y),v(x, y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明(1)u2x(2)udxdyx x-V dxdy : v 上 ds y y L n其中2u2y為閉曲線L所圍的平面區(qū)域,u為u（x, y）沿L外法線方向n的導(dǎo) n(1)在格林公式的等價形式中令P ,Q:-cos(n,x) cos(n, y)dsL xy2-udxdy y dsL n2-udxdy y(2)一 v-dsL n-v-c

12、os(n,x)L xcos (n, y)ds y*)(v-ldxdy y yv udxdy上上x xVdxdy y在式中令V 1，則（2）即化為（1）。2u設(shè) urx2弓，S為空間立體V的邊界,zu為u（x,y）沿S外法線方向n n2口 dxdy y的導(dǎo)數(shù)，則有格林第一公式:v v udxdydzv gradu gradvdxdydz ： fudSn格林第二公式:V dxdydzdS12/394題的（2）（ 3）分別是格林第一和第二公式的低維情形，在格林第一公式中令 得13（ 2） /394。例3用斯托克司公式計算下列積分L(y2 z2)dx (x2 z2)dy (x2y2)dz(b)2 2L

13、是曲線x y2Rx，x2y22rx（0 r R,z 0），它的方向與所圍曲面的上側(cè)構(gòu)成右手法則2 2S是曲面x yz22Rx(z0）上L所圍部分的上側(cè)。 它關(guān)于zx平面對稱，在xy平2 2面的投影是Dxy : x y2 yS2 2 z )dx (xz2)dy(x2y2)dzz dzdxdxdyyz（斯托克司公式）2 2 2 2 2 z x z x yz)dydz (zx)dzdx(xy) dxdyz)dydz (xy)dxdy(2 (z x)dzdx 0，對稱性)Sz,0,x y x R, y,zdS（兩類曲面積分的關(guān)系）2 (yS2 (yS2rx。L(y2x2 y(y z)(xR) (xy)

14、zdSRzdS(y(xSR) yzdS 0 ,對稱性)2RSzdSR2R cos dSS2RSdxdy2 R dxdyDxy22R r2 （兩類曲面積分的關(guān)系，幾何意義）注6這題很巧妙，是一道綜合性很強的題，用到的知識有:1、斯托克司公式2、兩類曲面積分的關(guān)系，曲面的法向矢量3、對稱性4、幾何意義cos（r, n）例4證明高斯積分。一J丄ds 0其中L是平面上一單連通區(qū)域的邊界，而r是L上一點到 夕卜某一定點的距離，n是L的外法線方向。又若 r表示L上一點到內(nèi)某一定點的距離，則這個積分之值等于2 。（1設(shè) 夕卜某一定點（，），則2 2 2r x ,y ，r (x ) (y )r ndsl r,

15、.(x )cos( n,x) (y )cos( n,y)Lds,(x )cos( ,y) (y )cos( ,x)Lds)dx (x )dy2r(xr22(x)24r22( y )4r汪意（,x）是夕卜某一定點，故 （2x r1）在內(nèi)處處連續(xù)，由格林公式r:，(y )dx (xL)dy)dxdy2r2(x2 2)42(y )dxdy 0r(2)設(shè)（，）是 內(nèi)某一定點，這時格林公式不再成立。（,）為中心，（0）為半徑作圓充分小使c完全含于內(nèi)。取c的方向為順時針方向，則由（1）知C -)cos(r，n)ds 0L Crcos(r，n) dsc r(y )dx (x )dy2r)dx (x )dy2

16、dxdyD幾何解釋積分值匚c°s（r,n）ds是從點（，L）所能看到曲線 L的角的度量。事實上，以r為半徑作圓心角為d的圓弧，則rdcos(r, n )ds是ds在圓弧上的投影，而就是從點）所能看到元素ds的角的度量,將所有這些角求和，得就是從點）所能看到曲線L的角的度量。注意cos(r, n)0時是負(fù)角，即dcos(r, n)0時是正角，即d故當(dāng)（，外某一定點時，正負(fù)角抵消，積分而當(dāng)（，內(nèi)某一定點時，總有 cos（r, n） 0，因而積分3）ds=2。.COSds。Lr與外法線方向n的關(guān)注7：這是一個著名的積分，要用到5/392給岀的平面上封閉曲線的正向系。相應(yīng)的也有曲面積分的高斯

17、積分(9/393 )，cos(r, n)dS求解的思想方法是一樣的,幾何解釋也很有意義。積分與路徑無關(guān)2例 5 求 I xln(xL(2,0)到(0,2)的逐段光滑曲線。1)dxy ln( x1)dy ,其中L是被積函數(shù)的定義域內(nèi)從2解被積函數(shù)的定義域 D : x2記 P xln(xy2 1)，yln (x21)，則P,Q在定義域D內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)2xyx2y2 1逆時針方向，則 x ln( x2C1')dxyln (x21)dyln 3: xdxC于是D內(nèi)任意一條封閉曲線ydyln3Dl，若l包圍了單位圓，則Odxdy-Pdx Qdyl-Pdx Qdy 衛(wèi) dxdy id x y故積分

18、與路徑無關(guān)。取平行于坐標(biāo)軸的折線段如圖,21)dx yln(xxl n(x2L20 yln(40 21)dy 2 xln(x1)dy1)dx:Pdx Qdy 0C若l不包圍單位圓，則由格林公式場論初步例6計算曲面積分 rotF ndS，其中SF xyz, 3xy2， S 為球面：y2 , n是S上側(cè)的單位向量。解法1用Stokes公式。取L : x2 y2cos,ysin,0rotFSndSrotFdS； xdxLx3dy(z0,dz0)2(4cos0sin38cos2cos)d216cos404 cos16 44 2 2122解法2用高斯公式。補一塊面色:x2y 4，下側(cè)rotF ndS r

19、otF dSSsgrotF dSS1(divrotF0)divrotFdxdydz rotF ndSVS1rot F ndSS1S1衛(wèi)dS x y2323r cos dr0(rotF n是F在n方向的投影，即rotF在z軸方向的分量乘以2 23x dS 3x dxdySix2 y2 4格林公式在物理學(xué)與數(shù)學(xué)中， 格林定理連結(jié)了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為？且平 面區(qū)域為勺雙重積分。格林定理是 斯托克斯定理 的二維特例，以 英國數(shù)學(xué)家喬 治格林(George Green )命名。中(Pd-x+ Qdy)設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線？凋成，函數(shù)中(x,y)及？Q(x,y)在?)上具有一階連續(xù) 偏導(dǎo) 數(shù)，則有D其中L是D的取正向的邊界曲線。格林公式還可以用來計算平面圖形的面積。此公式叫做格林公式，它給出了沿著閉曲線 C的曲線積分與C所包圍的區(qū)域D 上的二重積分之間的關(guān)系。另見 格林第一公式、格林第二公式。G特殊情況的證明以下是特殊情況下定理的一個證明，其中D是一種I型的區(qū)域，C2和C4是豎直的直線。對于II型的區(qū)域D，其中Cl和C3是水平的直線。如果我們可以證明以及那么就證明了格林公式是正確的把右圖中I型的區(qū)域D定義為:D = y)a<x < ft, 91 (a;) <y <其中g(shù)i和g2是區(qū)