離散型隨機(jī)變量的期望課堂實(shí)錄

1、離散型隨機(jī)變量的期望課堂實(shí)錄 中等職業(yè)教育國(guó)家規(guī)劃教材數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)版）第二冊(cè)第十一章第三節(jié)執(zhí)教者： 紹興市職教中心 陳輝一、設(shè)計(jì)理念：以學(xué)生已有的知識(shí)為教學(xué)基礎(chǔ)， 以學(xué)生已有的認(rèn)知發(fā)展水平為教學(xué)起點(diǎn)， 提供學(xué)生動(dòng)手 實(shí)踐、 合作交流的時(shí)間和空間， 倡導(dǎo)積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)方式， 把對(duì)話與交流貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò) 程的始終，讓學(xué)生在平等的氛圍中對(duì)話，在傾心的對(duì)話中交流，在真誠(chéng)的交流中研究。二、教學(xué)內(nèi)容分析：期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念之一， 是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)， 學(xué)習(xí)期 望將為后面學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做鋪墊。同時(shí)， 它在市場(chǎng)預(yù)測(cè)， 經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)，風(fēng)險(xiǎn)與決策等領(lǐng)域 有著廣泛的應(yīng)用。三、教學(xué)目標(biāo)：1.

2、知識(shí)與技能目標(biāo)通過(guò)實(shí)例， 讓學(xué)生理解離散型隨機(jī)變量期望的概念， 了解其實(shí)際含義。 會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的離 散型隨機(jī)變量的期望，并解決一些實(shí)際問(wèn)題。2. 過(guò)程與方法目標(biāo)在對(duì)話交流中學(xué)習(xí)，經(jīng)歷概念的建構(gòu)這一過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的提問(wèn)能力，交流能力和合 作探究能力。通過(guò)實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。3. 情感與態(tài)度目標(biāo)通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，讓學(xué)生養(yǎng)成關(guān)注生活、 觀察生活的習(xí)慣。讓 學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)： 本課是一節(jié)概念新授課， 而概念本身具有一定的抽象性，學(xué)生難以理解，因此把 對(duì)離散性隨機(jī)變量期望的概念的教學(xué)作為本節(jié)課的教學(xué)

3、重點(diǎn)。難點(diǎn)：對(duì)教師而言，對(duì)話交流背景的設(shè)置和探究過(guò)程的預(yù)設(shè)是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生而言， 初次應(yīng)用概念解決實(shí)際問(wèn)題也較為困難，也是本節(jié)課的又一難點(diǎn)。五、課堂實(shí)錄：1. 實(shí)例引入教師提出問(wèn)題： （實(shí)物投影 ） “某商場(chǎng)要根據(jù)天氣預(yù)報(bào)來(lái)決定節(jié)日是在商場(chǎng)內(nèi)還是商場(chǎng)外 開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)。 統(tǒng)計(jì)資料表明， 每年五一節(jié)商場(chǎng)內(nèi)的促銷(xiāo)活動(dòng)可獲得經(jīng)濟(jì)效益2 萬(wàn)元； 商場(chǎng)外的促銷(xiāo)活動(dòng)如果不遇到有雨天氣可獲得經(jīng)濟(jì)效益 10 萬(wàn)元，如果促銷(xiāo)活動(dòng)中遇到有雨天氣 則帶來(lái)經(jīng)濟(jì)損失 4 萬(wàn)元。 4 月 30 日氣象臺(tái)預(yù)報(bào)五一節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，商場(chǎng)應(yīng)該選擇哪種促銷(xiāo)方式 ?”同學(xué)們，假如你現(xiàn)在就是該商場(chǎng)的總經(jīng)理，你將怎樣選擇，為什

4、么?（ 點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}的生活化可激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲望， 促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的視野關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)。）學(xué)生1:我覺(jué)得商場(chǎng)外促銷(xiāo)為好，因?yàn)樯虉?chǎng)外促銷(xiāo)可賺錢(qián)10萬(wàn)元，且下雨的概率只有40%。學(xué)生2:我覺(jué)得商場(chǎng)內(nèi)促銷(xiāo)為好，因?yàn)榧词瓜掠晟虉?chǎng)內(nèi)促銷(xiāo)也可賺錢(qián)2萬(wàn)元，比較保險(xiǎn)。學(xué)生3:可以商場(chǎng)內(nèi)、商場(chǎng)外同時(shí)促銷(xiāo)，萬(wàn)一下雨的話也可減少損失，如果不下雨的話 就可賺得更多。（課堂氣氛一下子活躍起來(lái)，學(xué)生情緒也特別高漲，課堂里出現(xiàn)了第一次矛盾沖突。）（點(diǎn)評(píng)：設(shè)置矛盾沖突，引起探究的興趣與熱情。）教師：同學(xué)們都能憑自己的想法和膽識(shí)作出選擇，這也是一個(gè)人應(yīng)該具有的思想品質(zhì)。 但在選擇時(shí)多少帶有猜測(cè)或冒險(xiǎn)的成份，我們還要學(xué)會(huì)

5、用數(shù)學(xué)地思考、科學(xué)的方法來(lái)作出正確的決策?，F(xiàn)在我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)知識(shí)作出這個(gè)決策。2. 明確概念問(wèn)題一：平均數(shù)的計(jì)算（板書(shū)）教師：（實(shí)物投影）我班最近一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)前10名的成績(jī)?nèi)缦拢?7, 96, 95, 95, 92, 92,92,91, 91,91,求平均成績(jī)是多少 ？ ”9796 95 95 9292 92 919191學(xué)生 4: x93.210學(xué)生5:老師，我們還可以用加權(quán)平均數(shù)的求法來(lái)算97 96 95 292 3 91 3x93.210教師：那這是否可以從概率的角度來(lái)解釋呢？學(xué)生6:（該學(xué)生走上講臺(tái)把自己的算法寫(xiě)在黑板上，一邊解釋?zhuān)= 97 96 95 292 3 91 3冷

6、-1-96 丄 95 -92 空 91 衛(wèi)10 10 10 10 10 103391就是在這10個(gè)數(shù)中任意取一個(gè)數(shù)是 91的概率為，其它依次類(lèi)推。1010（點(diǎn)評(píng)：教師引導(dǎo)，讓學(xué)生來(lái)解釋?zhuān)瑒?chuàng)設(shè)說(shuō)數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)）教師：很好。再請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出以這些成績(jī)?yōu)殡x散型隨機(jī)變量的概率分布。979695929111233P1010101010（點(diǎn)評(píng)：復(fù)習(xí)原先知識(shí)，為歸納出期望的定義作鋪墊）教師：（請(qǐng)一位學(xué)生把分布列也寫(xiě)在黑板上，并請(qǐng)學(xué)生對(duì)照比較） 學(xué)生7:我發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)恰好是每個(gè) 與相應(yīng)概率乘積的和。教師：好極了，這是我們自己的發(fā)現(xiàn)。現(xiàn)在我們把它推廣到一般情況（板書(shū)）：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為X1X2“X

7、n“-PPP2Pn則稱(chēng)E =XiR * X2P2* XnPn 為.的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱(chēng)為期望。（教師同時(shí)板書(shū)課題，學(xué)生閱讀書(shū)本P219）教師：同學(xué)們是否能?chē)L試用文字語(yǔ)言描述上面這個(gè)抽象的數(shù)學(xué)公式？（學(xué)生們嘗試著說(shuō)，大家相互補(bǔ)充，得出）：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望即為隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加。（點(diǎn)評(píng)：讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述概念，加強(qiáng)數(shù)學(xué)交流）3. 加深理解問(wèn)題二：請(qǐng)學(xué)生完成以下練習(xí)練習(xí)1已知離散型隨機(jī)變量的概率分布匕1001P0.010.99 求可能取值的算術(shù)平均數(shù)。 求'的期望。1 + 1°°學(xué)生&第小題可能取值的算術(shù)平均數(shù)為 一

8、2 = 50.5學(xué)生 9:第小題 E =100X0.01+1 >0.99=1.99（學(xué)生做得較順利，兩位學(xué)生的回答也沒(méi)有引起其他學(xué)生的異議）學(xué)生10：（笑著說(shuō)）老師，這么簡(jiǎn)單的題你還讓我們做啊，出下一題吧。教師：是嗎？我可不這么認(rèn)為。大家注意到了嗎？ 這里有兩個(gè)平均值呢。（學(xué)生中一陣騷動(dòng)，相互交頭結(jié)耳，小聲議論）學(xué)生11：是有兩個(gè)平均數(shù)，期望也是平均數(shù)呀。學(xué)生12：老師，你的意思是說(shuō)要我們區(qū)分這兩個(gè)平均數(shù)的意義吧。教師（會(huì)心地笑）：你能說(shuō)嗎？學(xué)生12 （思考片刻之后）：我想，期望是反映隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的平均值，它 是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。學(xué)生13：老師，

9、我是不是可以這樣理解，我摸到 100元的概率是0.01，摸到1元的概 率是0.99，平均下來(lái)，我摸到錢(qián)的可能性才1.99。教師：是的，可以這么認(rèn)為，看來(lái)你已經(jīng)會(huì)應(yīng)用了。學(xué)生14：怪不得商場(chǎng)里摸獎(jiǎng)時(shí)中大獎(jiǎng)的機(jī)率這么低。（眾學(xué)生笑）(點(diǎn)評(píng)：第二次設(shè)置認(rèn)知沖突，在交流中辯明期望的意義)練習(xí)2根據(jù)歷次比賽或訓(xùn)練記錄，甲、乙兩射手在同樣的條件下進(jìn)行射擊，成績(jī)分布 列如下：射手8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲0.30.10.6乙0.20.50.3試比較甲、乙兩射手射擊水平的高低。(教室里片刻的沉默，一學(xué)生輕聲嘀咕：是不是用期望值來(lái)比呀？)學(xué)生15：設(shè)甲、乙兩射手射擊一次擊中的環(huán)數(shù)分別為打，2，貝yE ( )= 8 0.3

10、 9 0.1 10 0.6 = 9.3E ( 2 )= 8 0.2 9 0.5 10 0.3 = 9.1老師，這兩個(gè)數(shù)值能說(shuō)明什么問(wèn)題嗎？教師：誰(shuí)能幫學(xué)生16解答他的困惑？學(xué)生16：我認(rèn)為，射手甲擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望比射手乙擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望高，就說(shuō)明甲的平均射擊水平比乙的稍微高一點(diǎn)。如果兩人進(jìn)行比賽，甲贏的可能性較大。教師：很好！從中我們知道了數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義是刻劃這個(gè)隨機(jī)變量的平均水平。(點(diǎn)評(píng)：創(chuàng)設(shè)生生交流的環(huán)境，教師從中起到指導(dǎo)的作用)4. 回歸應(yīng)用問(wèn)題三：看看數(shù)學(xué)期望能解決哪些實(shí)際問(wèn)題。例1有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品， 其次品率為15%。對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查， 每次抽出1件, 如果抽出次品，則

11、抽查終止，否則繼續(xù)抽查， 直到抽出次品，但抽查次數(shù)最多不超過(guò) 10次。 求抽查次數(shù) 的期望(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)。學(xué)生17：老師，這題沒(méi)有分布列！教師：我們一起來(lái)試試能不能把分布列出來(lái)？教師解釋?zhuān)阂话愕?，在產(chǎn)品抽查中已說(shuō)明產(chǎn)品數(shù)量很大，而抽查數(shù)量很小時(shí)，各次抽查結(jié)果可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的。學(xué)生18：可取哪些值呢？學(xué)生19：抽查次數(shù)最多不超過(guò) 10次，我想就取110的整數(shù)。教師：不錯(cuò)。那么前 k-1次取到正品，而第 k次取到次品的概率是12345678910P ( =k) =0.85k4 0.15(k=1 , 2, 3,9); P ( =10) = 0.859 1(學(xué)生們用計(jì)算器計(jì)算后)得到抽查

12、次數(shù)'的分布列為P0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316學(xué)生 20：期望 E# =1 0.152 0.12750 0.2316 =5.35教師：誰(shuí)能歸納求離散型隨機(jī)變量期望的步驟？（一陣思考和議論）學(xué)生21：我想先要確定離散型隨機(jī)變量'的取值，再寫(xiě)出分布列，并檢查分布列的正確與否，最后求出期望。教師：我們不妨把這稱(chēng)為“三部曲”（點(diǎn)評(píng)：給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了較多的探究、操作和相互討論交流的機(jī)會(huì)，同時(shí)適當(dāng)點(diǎn)撥） 教師：那上課開(kāi)始提出的商場(chǎng)應(yīng)該選擇哪種促銷(xiāo)方式 ”這個(gè)問(wèn)題又該如何解？（眾學(xué)生先自行操作探求，然后相互討論

13、交流）學(xué)生22:商場(chǎng)外促銷(xiāo)經(jīng)濟(jì)效益'的分布列為匕10-4P0. 60. 4期望E =10 0.6 - （-4）0.4 =4.4萬(wàn)元，所以商場(chǎng)應(yīng)選擇商場(chǎng)外進(jìn)行的促銷(xiāo)活動(dòng)。我解釋一下，數(shù)學(xué)期望4. 4萬(wàn)元反映的是，選擇商場(chǎng)外促銷(xiāo)不論下雨與否都有4. 4萬(wàn)元效益。（話音剛落，學(xué)生們一片嘩然，贊成的反對(duì)的幾乎各占一半 ）教師：現(xiàn)在我們分組進(jìn)行討論，選擇商場(chǎng)內(nèi)促銷(xiāo)還是商場(chǎng)外促銷(xiāo)，是僅從一次促銷(xiāo)來(lái)決定，還是從長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮根據(jù)多年促銷(xiāo)的平均數(shù)來(lái)決定的呢？（眾學(xué)生經(jīng)過(guò)熱烈的討論，最后大家統(tǒng)一了思想，應(yīng)從長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮，根據(jù)多年促銷(xiāo)的平均 數(shù)來(lái)決策。明白了數(shù)學(xué)期望4. 4萬(wàn)元反映的是，如果某老板每年堅(jiān)持在商場(chǎng)外進(jìn)

14、行促銷(xiāo)活動(dòng)， 那么他在每年五一節(jié)平均可賺錢(qián)4. 4萬(wàn)元。）（點(diǎn)評(píng)：第三次設(shè)置矛盾沖突，提出新的問(wèn)題，以期辯明期望的作用）例2目前由于各種原因，許多人選擇租車(chē)代步，租車(chē)行業(yè)生意十分興隆，但由于租車(chē)者以新手居多，車(chē)輛受損事故頻頻發(fā)生。據(jù)統(tǒng)計(jì)，一年中一輛車(chē)受損的概率為 0.03。現(xiàn)保險(xiǎn) 公司擬開(kāi)設(shè)一年期租車(chē)保險(xiǎn)，一輛車(chē)一年的保費(fèi)為1000元；若在一年內(nèi)該車(chē)受損，則保險(xiǎn)公司需賠償3000元。 一年內(nèi)，一輛車(chē)保險(xiǎn)公司平均收益多少？ 一輛車(chē)一年的保險(xiǎn)費(fèi)為1000元，若在一年內(nèi)該車(chē)受損，則保險(xiǎn)公司需賠償n元，一年中一輛車(chē)受損的概率為 0.03,則賠償金n至少定為多少元，保險(xiǎn)公司才不虧本？ 若一輛車(chē)一年的保險(xiǎn)

15、費(fèi)為m元，若在一年內(nèi)該車(chē)受損，則保險(xiǎn)公司需賠償n元，一年中一輛車(chē)受損的概率為 p，則m,n，p應(yīng)滿足什么關(guān)系，保險(xiǎn)公司方可盈利。（學(xué)生們開(kāi)始討論，教師在巡視中傾聽(tīng)學(xué)生們爭(zhēng)論的焦點(diǎn)）教師：聯(lián)系我們以前學(xué)過(guò)的利潤(rùn)，你們覺(jué)得每年保險(xiǎn)公司的平均獲利如何計(jì)算？學(xué)生23：每輛車(chē)每年保險(xiǎn)公司平均獲利=保險(xiǎn)費(fèi)-賠償費(fèi)。學(xué)生24: 1000- 3000 =- 2000，那不是虧大了嘛。學(xué)生25 :不對(duì)，這里的賠償費(fèi)應(yīng)該是3000 0.03 = 90。因?yàn)橐荒曛幸惠v車(chē)受損的概率為 0.03。學(xué)生24：噢，我明白了。學(xué)生26 :當(dāng)平均獲利0時(shí)保險(xiǎn)公司方可盈利。所以第題中，當(dāng)m n p.0即 n ：m時(shí)方可盈利。學(xué)生

16、27:還可以這樣解：設(shè)表示盈利數(shù)，則隨機(jī)變量的分布列為mm nP1- pp遲I I I E =m(1-p) (m-n)p =m-np . 0 即 n時(shí)方可盈利。P教師：很好，大家不僅把題給解出來(lái)了，而且用了不同的方法。我們?cè)谶@節(jié)課中是不是又有了新的收獲？(點(diǎn)評(píng)：回歸概念本質(zhì)，緊扣概念應(yīng)用，并交具體問(wèn)題數(shù)字化 )5. 師生共同小結(jié)教師：請(qǐng)大家?guī)е裉斓倪@種探究熱情去預(yù)習(xí)下一課的內(nèi)容“離散型隨機(jī)變量的方差”，相信大家自己會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。六、學(xué)生感悟：從學(xué)生寫(xiě)出的課后感悟及課后交流中經(jīng)分類(lèi)整理摘錄如下：(1) 情感價(jià)值：以前總認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味，學(xué)數(shù)學(xué)就是為了應(yīng)付考試，我們是職校生，又不一定要參加高考，學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)啥實(shí)際用途。通過(guò)這堂課，我覺(jué)得數(shù)學(xué)還是有點(diǎn)用處的。而且我覺(jué)得聽(tīng)這樣的課不累。(2) 自身價(jià)值：我們這種學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不好的同學(xué)在老師的提示下也能發(fā)表看法，特別是當(dāng)自己的觀點(diǎn)被老師所贊許、被同學(xué)所采納時(shí)，心里真是挺高興的，我現(xiàn)在也能體會(huì)到學(xué)習(xí)是辛苦的，但也是有趣的”這句話的含義了。(3) 教學(xué)價(jià)值：在老師上這一課之前，我已做了預(yù)習(xí)，當(dāng)