第三章控制系統(tǒng)的時域分析

1、控制工程基礎湖北工業(yè)大學第三章第三章 控制系統(tǒng)的時域分析控制系統(tǒng)的時域分析 時域分析也稱時間響應分析，它是指在建立了控制系統(tǒng)的數(shù)學模型后，采用直接求解線性定常系統(tǒng)的動態(tài)微分方程的方法，用系統(tǒng)的輸出隨著時間變化的表達式及其相應曲線，來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應的快速性和響應的準系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應的快速性和響應的準確性確性等。等。 本章在時間響應的概念部分主要討論系統(tǒng)的時間響應及其組成，并介紹典型的輸入信號，這是正確進行時間響應分析的基礎； 在理解時間響應指標的基礎上，再對一階、二階、高階系統(tǒng)的時間響應進行分析，得到系統(tǒng)的時間響應指標與系統(tǒng)參數(shù)間的關系； 由于控制系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件是系統(tǒng)必須穩(wěn)

2、定，在介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性基本概念的基礎上，給出了時域內(nèi)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)?？刂乒こ袒A湖北工業(yè)大學3.1時間響應與典型輸入信號3.1.1 時間響應及其組成)cos()()(tFtkytym 時間響應指的是在控制系統(tǒng)的輸入作用下，被控制量（即系統(tǒng)輸出）隨時間的變化情況。通過時間分析就可以直接了解控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。 為了明確地了解系統(tǒng)的時間響應及其組成，下面以質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)來分析。質(zhì)量為m與彈簧剛度為k的單自由度系統(tǒng)在輸入外力為Fcos(t)的作用下,系統(tǒng)的輸出為y(t)，系統(tǒng)的動力學方程為: 假定方程的初始條件（系統(tǒng)的初始狀態(tài)）為：)0()(),0()(ytyyty t = 0 時，（3.2）控制工

3、程基礎湖北工業(yè)大學控制工程基礎湖北工業(yè)大學 )()()(21tytyty)cos(11)cos()0()sin()0()(21tkFtytytynnnn)cos(11)(22tKFtymknn這一非齊次常微分程的完全解由兩部分組成： 式中的 y1(t)是齊次常微分方程的通解，y2(t)是其特解。用微分方程求解法可得出滿足初始條件式（3.2）的解為:(3.3)(3.4)為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率；式中，控制工程基礎湖北工業(yè)大學自由響應與強迫響應自由響應與強迫響應對任意系統(tǒng)的動力學微分方程的通解對任意系統(tǒng)的動力學微分方程的通解 y1(t)，表示，表示 線性線性系統(tǒng)在沒有控制作用下由初始條件引起的運動，

4、習慣系統(tǒng)在沒有控制作用下由初始條件引起的運動，習慣上稱為自由運動或自由響應，零輸入響應。上稱為自由運動或自由響應，零輸入響應。完全解y(t)-線性系統(tǒng)在控制作用下的運動。線性系統(tǒng)在控制作用下的運動。控制工程基礎湖北工業(yè)大學瞬態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應此外，還可以根據(jù)工作狀態(tài)的不同而把系統(tǒng)的時間響應此外，還可以根據(jù)工作狀態(tài)的不同而把系統(tǒng)的時間響應分為瞬時響應與靜態(tài)響應兩部分。分為瞬時響應與靜態(tài)響應兩部分。瞬態(tài)響應是指在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量瞬態(tài)響應是指在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的過渡過程；從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的過渡過程；而穩(wěn)態(tài)響應是指在而穩(wěn)態(tài)響應是指在 t 時系統(tǒng)

5、的輸出狀態(tài)時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)y(t) 。控制工程基礎湖北工業(yè)大學3.1.2 典型輸入信號2211)(iOiOXXsGXX 研究系統(tǒng)的動態(tài)特性，就是研究系統(tǒng)在輸入信號作用下，輸出量是怎樣按輸入量的作用而變化的，亦即系統(tǒng)對輸入信號如何產(chǎn)生影響。 在分析和設計系統(tǒng)時，需要有一個對各種系統(tǒng)性能進行比較的基礎，這種基礎就是預先規(guī)定一些具有特殊形式的試驗信號作為系統(tǒng)的輸入，然后比較各種系統(tǒng)隨這些輸入信號的響應?？刂乒こ袒A湖北工業(yè)大學選取典型輸入信號時必須考慮下列原則： （1）選取的輸入信號應反映系統(tǒng)工作的大部分實際情況。 （2）所選輸入信號的形式應盡可能簡單，便于用數(shù)學式表達及分析處理。 （3）應選取那些

6、能使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號作為典型輸入信號。 根據(jù)以上原則，常用的典型輸入信號有以下幾種：控制工程基礎湖北工業(yè)大學 0, 00, 1)()(tttutxistuL1)( 階躍信號是評價系統(tǒng)動態(tài)性能時應用較多的一種典型輸入信號。實際工作中電源的突然接通、斷開，負載的突變，開關的轉換等，均可視為階躍信號。（3.7） 其拉氏變換式為： （3.6）（1）單位階躍信號）單位階躍信號 如圖3.2（a)所示，其幅值高度等于1個單位時稱為單位階躍信號，其數(shù)學表達式為：控制工程基礎湖北工業(yè)大學10t(a)0tt(b)0t(c)(th1ht(d)0t(e)(t)(tr)(ta)(tf圖3.2 典型輸入

7、信號控制工程基礎湖北工業(yè)大學 0, 00,ttttrtxi 21strL單位斜坡信號的曲線是一種等速度函數(shù)，實際工作中的數(shù)控機床加工斜面時的進給指令信號、大型船閘勻速升降時的信號等，均可用斜坡信號模擬。（3.9） 其拉氏變換式為：（3.8）（2）單位斜坡信號）單位斜坡信號 如圖3.2（b）所示，其斜率等于1的信號稱為單位斜坡信號，其數(shù)學表達式為 ：控制工程基礎湖北工業(yè)大學 0,210, 02ttttatxi 31staL 單位加速度信號的曲線是一種等加速度函數(shù)，實際工作中，特別是在分析隨機系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度時，經(jīng)常用到這類信號。如：隨機系統(tǒng)中位置作等加速度移動的進給指令信號可用加速度信號模擬。（3

8、.11） 其拉氏變換式為：（3.10）（3）單位加速度信號）單位加速度信號 如圖3.2（c）所示，即為單位加速度信號，其數(shù)學表達式為：控制工程基礎湖北工業(yè)大學 00 ,1, 0, 0hhthhttttxi 1dtt 1tL（3.13） 此積分表示脈沖面積為1。應該指出，符合這種數(shù)學定義的 理想脈沖函數(shù)，在工程實踐中是不可能發(fā)生的。為了盡量接近于單位脈沖信號，通常用寬度h很窄而高度為1/h 的信號作為單位脈沖信號見圖3.2(d)。實際應用中，常把時間很短的沖擊力、脈沖信號、天線上的陣風擾動等可用脈沖信號模擬。單位脈沖信號的拉氏變換為： 且定義 （3.12）（4）單位脈沖信號）單位脈沖信號 用 (

9、t)表示，其數(shù)學表達式為：控制工程基礎湖北工業(yè)大學txisin（3.14）22)(stxLi（3.15） 在實際中如電源的波動、機械振動、元件的噪聲干擾等均 可近似為正弦信號。正弦信號是系統(tǒng)或元件作動態(tài)性能試驗時廣泛采用的輸入信號。 需要說明的是，上述的典型輸入信號，在實驗條件下用得很成功，然而在許多實際生產(chǎn)過程中往往不能使用。 其拉氏變換為：（5）單位正弦信號）單位正弦信號 如圖3.2（e)所示，即為單位正弦信號，其數(shù)學表達式為：控制工程基礎湖北工業(yè)大學3.2 一階系統(tǒng)的時間響應)()()(00txtxtTxi （3.16）11)()()(0TssXsXsGi（3.17）式中，T為時間常數(shù)，

10、具有時間單位“秒”的量綱。對于不同的系統(tǒng)，T由不同的物理量組成。它表達了一階系統(tǒng)本身的與外界作用無關的固有特性，亦即為一階系統(tǒng)的特征參數(shù)。從上面的表達式可以看出，一階系統(tǒng)的典型形式是慣性環(huán)節(jié)，T是表征系統(tǒng)慣性的一個主要參數(shù)。其傳遞函數(shù)為：3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學模型 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。其方程的一般 形式為：控制工程基礎湖北工業(yè)大學sTssXsGsXi111)()()(0（3.18）)0( ,1111)()(1010tesTsLsXLtxTt（3.19）TeTdttdxtTt1|1|)(0100 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位階躍響應一階系統(tǒng)的單位階躍響應 當單位階躍信號(t)

11、作用于一階系統(tǒng)時，一階系統(tǒng)的單位階 躍響應為：取上式進行拉氏反變換，可得單位階躍輸入的時間響應（稱為單位階躍響應）為：上式中右邊第一項是單位階躍響應的穩(wěn)態(tài)分量，它等于單位階躍信號的幅值。第二項是瞬態(tài)分量，當 t時，瞬態(tài)分量趨于零。x0(t)隨時間 t 變化的曲線如圖3.3(a)所示，是一條按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升的曲線。這一指數(shù)曲線在 t=0 那一點的切線斜率等于1/T ，因為：控制工程基礎湖北工業(yè)大學斜率=1/T0.630.870.950.98 0.99T2T3T4T5T 6T1.00.80.60.40.2) (0tx01t1T2T3T321TTT(a)(b)圖（3.3） 一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲

12、線這是一階系統(tǒng)單位階躍響應曲線的一個特點。根據(jù)這一 點，可以在參數(shù)未知的情況下，由一階系統(tǒng)的單位階躍響應實驗曲線來確定其時間常數(shù)T。下面分析T對系統(tǒng)的影響。) (0tx控制工程基礎湖北工業(yè)大學T （1）時間常數(shù)T 時間常數(shù)T越小，x0(t)上升速度越快，達到穩(wěn)定值用的時間就越短，也就是系統(tǒng)慣性越小，反之，T越大，系統(tǒng)對信號的響應越緩慢，慣性越大。所以T的大小反映了一階系統(tǒng)慣性的大小。 （2）調(diào)整時間ts 從響應開始到進入穩(wěn)態(tài)所經(jīng)過的時間叫做調(diào)整時間（或過渡時間）。通常希望響應速度越快越好，調(diào)整構成系統(tǒng)的元件參數(shù)，減小T值，可以提高系統(tǒng)的快速性。 ;98. 0,4%2;95. 0,3%5txTt

13、txTttoo的誤差，系統(tǒng)允許的誤差，系統(tǒng)允許，才進入穩(wěn)態(tài)響應；理論上，控制工程基礎湖北工業(yè)大學T1)()(tLsXi)()()()()(0sGsXsGsXsWi) 0( ,1)1/(1 )()()(/111teTTsLsGLsWLtTt（3.20）則，單位脈沖響應函數(shù)(t)等于其傳遞函數(shù)的拉氏變換單位脈沖響應為：3.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 一階系統(tǒng)輸入信號為單位脈沖信號(t)時，輸入信號的拉氏變換為：控制工程基礎湖北工業(yè)大學 TteT/10 xT10T2 T3T4TtTteTtx/01)(圖3.4 一階系統(tǒng)單位脈沖響應曲線單位脈沖響應函數(shù)曲線如圖3.4所示，從圖中可知一階系統(tǒng)的 單位脈

14、沖響應函數(shù)是一單調(diào)下降的指數(shù)曲線，而且(t)只有瞬態(tài)項 ，其穩(wěn)態(tài)項為零?？刂乒こ袒A湖北工業(yè)大學3.3二階系統(tǒng)的時間響應 由二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。工程實踐中， 雖然控制系統(tǒng)多為高階系統(tǒng)，但在一定準確度條件下，可忽略某些次要因素近似的用一個二階系統(tǒng)來表示。因此，詳細討論和分析二階系統(tǒng)的特性，具有重要的意義。 3.3.1 二階系統(tǒng)的數(shù)學模型 二階系統(tǒng)的動力學方程及傳遞函數(shù)分別為： 式中， 稱為無阻尼固有頻率； 稱為系統(tǒng)的阻尼比。 22220022nnnioinnsssXsXsGtxtxtxn（3.21）（3.22）控制工程基礎湖北工業(yè)大學 不同系統(tǒng)的 和 值，取決于各系統(tǒng)的元件參數(shù)

15、。 顯然， 和 是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，它們表明了二階系統(tǒng)本身與外界無關的特性。 二階常系數(shù)非齊次線性方程（3.21）的通解，應等于該方程之齊次方程通解與非齊次方程的特解之和。由于方程式（3.21）的齊次方程所對應的特征方程為： 且方程的兩個特征根是： 則從傳遞函數(shù)的角度來看，方程的特征根就是傳遞函數(shù)的兩個極點。并且隨著阻尼比 取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根也不同。 nn0222nnss122, 1nns（3.23）控制工程基礎湖北工業(yè)大學 （1）當 時，稱為欠阻尼狀態(tài)，方程有一對實部 為負 的共軛復根，即 此時，二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點是一對位于復平面s左平面內(nèi)的共軛復數(shù)極點。如圖3.5（a）所

16、示。這時，系統(tǒng)稱為欠阻尼系統(tǒng)。 （2）當 時，稱為臨界阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)有一對相等的負實根， ，如圖3.5（b）所示，這時，系統(tǒng)稱為臨界阻尼系統(tǒng)。 （3）當 時，稱為過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)有兩個不等的負實根，即 如圖3.5（c）所示，這時，系統(tǒng)稱為過阻尼系統(tǒng)。0122, 11nnjs （3.24）1ns2, 11122,1nns（3.25）控制工程基礎湖北工業(yè)大學 （4）當 時,稱為零阻尼狀態(tài).系統(tǒng)有一對純虛根， 如圖3.5（d）所示，這時，系統(tǒng)稱為無阻尼系統(tǒng)。01,2nsj jjjj s s s s01101nn00001s1s1s1s2s2s2s2s（a）(b)(c)(d)圖3.5 復平面上二階系統(tǒng)

17、特征根分布ndjdj控制工程基礎湖北工業(yè)大學 3.3.2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 下面分別討論二階系統(tǒng)不同阻尼比時的單位階躍響應。單位 階躍輸入信號的拉氏變換為 ，二階系統(tǒng)單位階躍的拉氏變換為： （1）欠阻尼情況( ) 由式（3.22）和式（3.26），得二階系統(tǒng)單位階躍響應的拉氏變換為：式中， 稱為有阻尼固有頻率。取拉氏變換得到的ssXi/1)( ssssXsGsXnnni122220（3.26）10 222222212nndnodnnndndsXsss ssss21dn控制工程基礎湖北工業(yè)大學 時間響應為： 式中， 。上式中第一項是穩(wěn)態(tài)項，第二項 瞬態(tài)項是隨時間 t而衰減的正弦振蕩函數(shù)。振

18、蕩頻率為 ，振幅的衰減速度取決于系統(tǒng)的時間衰減常數(shù) 。 （2）臨界阻尼情況（ ） 系統(tǒng)有兩個相等的負實根，這時 取拉氏反變換得到的時間響應： 21sin,01ntodexttt （3.27）21arctgd1n1 2222221112nnnonnnnnX sss ss sss ss 11ntonx te （3.28）控制工程基礎湖北工業(yè)大學 （3）過阻尼情況（ ） 系統(tǒng)有兩個不等的負實數(shù)特征根，見式（3.25）。這時傳遞函數(shù)可以寫成： 取拉氏反變換得到的時間響應： 從式（3.29）看出，兩個指數(shù)正是系統(tǒng)的兩個極點 ， 與 的乘積。從s平面看，愈靠近虛軸的根，過渡時間愈長，對過程的影響愈大，愈起

19、主導作用。 （4）如果 ，系統(tǒng)的響應變成無阻尼的等幅振蕩。將 1 22112121211nOssX ss s ss ss sss ss s 1222212121ttssnoeex tss （3.29）1s2st0控制工程基礎湖北工業(yè)大學 代入式（3.26）中，并取拉氏反變換，便可得零阻尼情況下的響應，即： 此時，系統(tǒng)的響應變成無阻尼的等幅振蕩。 式（3.27）式（3.30）所描述的單位階躍響應曲線如圖3.6所示。由圖可知, 當 時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應隨著阻尼比的減小，其振蕩特性愈劇烈，但仍為衰減；當 時，達到等幅振蕩；當 時，曲線單調(diào)上升，不再具有振蕩的特點。從瞬態(tài)響應的持續(xù)時間上看，無振

20、蕩的曲線中, 時比 時的持續(xù)時間短，而 比 的情況更早結束瞬態(tài)過程。 1 cos,0ooxttt （3.30）01101111控制工程基礎湖北工業(yè)大學圖3.6 二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線圖3.7 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應曲線控制工程基礎湖北工業(yè)大學 3.3.3 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應 當輸入信號 為單位脈沖信號時， ，二階系統(tǒng)的 單位脈沖響應為： 取其拉氏反變換,得到二階系統(tǒng)在單位脈沖信號作用下的時間 響應。 （1）欠阻尼情況（ ） （2）臨界阻尼情況（ ） ixt 1iXs 2222nOnnXsss oxt 21222sin,021ntnnodnnxtLet tss（3.31）1（3.32）

21、2122,0ntnonnxtLtets10控制工程基礎湖北工業(yè)大學 （3）過阻尼情況（ ） （4）零阻尼情況（ ） 按不同的 值可求出一簇相應的單位脈沖響應函數(shù)的曲線 （如圖3.7所示）。由圖可知，在 時，單位脈沖響應函數(shù)總是正值，至少為零；在 時，單位脈沖響應曲線是減幅的正弦振蕩曲線，且 愈小，衰減愈慢，振蕩頻率 愈大，故欠阻尼系統(tǒng)又稱二階振蕩系統(tǒng)，其幅值衰減的快慢取決于 。 通過二階系統(tǒng)對上述兩種典型信號的響應分析可知，它們所顯示的規(guī)律是一致的，這是二階系統(tǒng)本身的特點。系統(tǒng)的特征性完全取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)。如果已知二階系統(tǒng)的參數(shù) 和 ，1 1221212,021sts tnnox tLee

22、ts ss s（3.33）0 2122sin,0nonnnxtLt ts（3.34）11dnn控制工程基礎湖北工業(yè)大學 則完全可以由系統(tǒng)極點的分布來預見系統(tǒng)的響應情況。選擇 參數(shù) 和 時究竟應考慮哪些性能指標的要求，將在下一節(jié)詳細討論。n控制工程基礎湖北工業(yè)大學3.4高階系統(tǒng)的時間響應用三階或三階以上的微分方程描述的系統(tǒng)叫做高階系統(tǒng)。實際上，大量的系統(tǒng)，特別是機械系統(tǒng)，幾乎都可用高階微分方程來描述。對高階系統(tǒng)的研究和分析，一般是比較復雜的。這就要求在分析高階系統(tǒng)時，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使問題簡化，從前述可知，高階系統(tǒng)總可化為零階、一階與二階環(huán)節(jié)的組合，并且也可包含延時環(huán)節(jié)，而一般所關

23、注的往往是高階系統(tǒng)中的二階振蕩環(huán)節(jié)的特征。因此，本節(jié)將著重闡明高階系統(tǒng)過渡過程的主導極點的概念，并利用這一概念，將高階系統(tǒng)簡化為二階振蕩系統(tǒng)，在此基礎上利用關于二階系統(tǒng)的一些結論對高階系統(tǒng)作近似分析?？刂乒こ袒A湖北工業(yè)大學3.4.13.4.1高階系統(tǒng)的時間響應分析高階系統(tǒng)的時間響應分析 設高階系統(tǒng)動力學方程的一般表達形式（此處未計入延時環(huán)節(jié)）為： 在零初態(tài)時，對上式取拉氏變換得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 系統(tǒng)的特征方程式為： mntxbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimimmimnnnn011100011010（3.35） mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmi

24、011101110（3.36）00111asasasannnn控制工程基礎湖北工業(yè)大學 特征方程有有n個特征根，設其中n1個為實數(shù)根，n2對為共軛虛根，應有：n= n1 +2 n2，由此，特征方程可以分解為n1個一次因式 及n2個二次因子 的乘積。也即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有 個實極點和 對共軛 復數(shù)極點。1, 2 , 1njpsj222, 2 , 1,2nkssnknkk2n1n控制工程基礎湖北工業(yè)大學 設系統(tǒng)傳遞函數(shù)的m個零點為-zi(i=1,2, m),則系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)可寫為： 則系統(tǒng)在單位階躍輸入信號的作用下，輸出為 12112212njnknknkkjmiisspszsKsG 121122

25、102njnknknkkjmiisspsszsKsX（3.37）（3.38）控制工程基礎湖北工業(yè)大學 對上式按部分分式展開，得： 式中， 是由部分分式所確定的常數(shù)。對上式進行拉氏變換后，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應為： 式中 211221002nknknkkkknjjjssCBpsAsAsXkkjCBAA,0 210110sinnkkdktktpnjjteDeAAtxnkkj222, 2 , 1,nkBCBDBCBarctgdkknkkkkkknkkkdkkk；（3.39）控制工程基礎湖北工業(yè)大學 分析（3.39）式可知：第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為指數(shù)曲 線（一階系統(tǒng)），第三項為振蕩曲線（二階系

26、統(tǒng)）。因此，一個高階系統(tǒng)的響應是由多個慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的響應組成。上述響應，決定于 ， ， 及系數(shù) ， 即與零、極點的分布有關。因此，了解零、極點的分布情況，就可以對系統(tǒng)性能進行定性分析，或者對高階系統(tǒng)進行必要的降階以便于處理。 3.4.2高階系統(tǒng)的簡化 設有一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)極點在復平面上的分布如圖3.8 （a) 所示。極點 距虛軸的距離不小于共軛復數(shù)極點 , 距虛軸距離的5倍，即 （此處 ， 是相應 于 ， 的）；同時，極點 ， 附近無其他零點和極點。由以上已知條件可以算出與極點 。所對應的過渡過程分量的調(diào)整時間為： 31Re5Re5nssjpknkjAkD3s1s2sn1s2s3141

27、55ssntt1s2s控制工程基礎湖北工業(yè)大學 式中， 是極點 所對應的過渡過程調(diào)整時間。1st1s2s1s1s2s2s（ ）3s3s4s4s（ ）5s5sn5n1z0t 0 xtjs0pt(a)(b) 圖3.8 系統(tǒng)極點位置及單位脈沖響應控制工程基礎湖北工業(yè)大學 圖3.8（b)表示圖3.8（a)所示的單位脈沖響應函數(shù)的各分 量。由圖可知，由共軛復數(shù)極點 ， 確定的分量在該系統(tǒng)的單位脈沖響應函數(shù)中起主導作用，因為它衰減得最慢。其他遠離虛軸的極點 ， ， 所對應的單位脈沖響應函數(shù)衰減較快，它們僅在過渡過程的極短時間內(nèi)產(chǎn)生一定的影響。 由以上分析可知，在系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點中，如果距虛軸最近的一對共

28、軛復數(shù)極點的附近沒有零點，而其他的極點距虛軸的距離都在這對極點距虛軸的5倍以上或者其他極點實部大于這對極點實部的5倍時，則系統(tǒng)的過渡過程的形式及其性能指標主要取決于距虛軸最近的這對共軛復數(shù)極點。這種距虛軸最近的極點稱為“主導極點”，它們經(jīng)常以共軛復數(shù)的形式成對出現(xiàn)。 應用主導極點分析高階系統(tǒng)的過渡過程，實質(zhì)上就是把高階系統(tǒng)近似作為二階振蕩系統(tǒng)來處理，這樣就大大簡化了系統(tǒng)的分析和綜合工作。但在應用這種方法時一定要注意條件，同時還要注意，在精確分析中，其他極點與零點對系統(tǒng)過渡過程的影響不能忽視。1s2s3s4s5s控制工程基礎湖北工業(yè)大學 3.5控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標 時域性

29、能指標與時間響應有關，而輸入引起的時間響應由瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應兩部分組成，因此時域響應的性能指標由動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標所組成。瞬態(tài)響應的性能指標可以評價系統(tǒng)在過渡過程響應的快速性和平穩(wěn)性，穩(wěn)態(tài)性能指標主要是用誤差來衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的準確性 。 通常，系統(tǒng)的性能指標是根據(jù)欠阻尼狀態(tài)下的二階環(huán)節(jié)對單位階躍輸入的響應給出。選擇單位階躍信號作為輸入信號，原因有 二：一是產(chǎn)生單位階躍輸入信號比較容易，而且從系統(tǒng) 對單位階躍輸入的響應也比較容易求得對任何輸入的響應； 二是在實際中，許多輸入與階躍輸入相似，而且階躍輸入又往往是實際中最不利的輸入情況?？刂乒こ袒A湖北工業(yè)大學因此，下面有關性能指標的定義

30、及計算公式都是在欠阻尼狀態(tài)下二階環(huán)節(jié)對單位階躍響應情況下導出的。 系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應與初始條件無關。為了便于比較各種系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，一般設定零初始條件。下面定義一些常用的性能指標，見圖3.9所示。t00.10.50.91.0超調(diào)量延遲時間上升時間峰值時間調(diào)整時間)(0tX圖3.9 系統(tǒng)瞬態(tài)響應性能指標誤差帶穩(wěn)態(tài)誤差)(t控制工程基礎湖北工業(yè)大學 (1)(1)上升時間上升時間 響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10上升到90%,或從穩(wěn)態(tài)值的5上升到95，或從0上升到100所用的時間都稱為上升時間。對于欠阻尼的振蕩環(huán)節(jié)，常采取0100的上升時間。對于過阻尼情況通常采取10100的上升時間。它可以反映

31、響應曲線的上升趨勢，是表示系統(tǒng)響應速度的指標。 由式（3.27）及上述定義，當 時， ,有： （ ） 且在未到達穩(wěn)態(tài)前有 ，要使上式成立，即要求 考慮到 為 第一次達到穩(wěn)態(tài)值的時間，故取 ，即： （3.40） 由上式可知，當 一定時， 增大，上升時間 就縮短；而 當 一定時， 愈大，上升時間就愈長。 rtrtt 1)(0rtx)sin(1112rdttern0t0rnte0)sin(rdtrt)(0txrdt21ndrtnrtn控制工程基礎湖北工業(yè)大學（2）峰值時間）峰值時間 把響應曲線達到第一個峰值所需要的時間定義為峰值時間。對式（3.27）取導數(shù)，并令 ，可得：化簡得：所以有： ，根據(jù)定義

32、，當 時對應的峰值時間： （3.41） 可見峰值時間是有阻尼振蕩周期 的一半。根據(jù)式（3.41）可知，當 一定時， 增大，峰值時間 就縮短； 而當 一定時， 愈大，峰值時間就愈長。pt0)(0ptx 21ndpt21)cos()sin(pdpdtttgttgpd)(ntpd1nd2nptn控制工程基礎湖北工業(yè)大學（3）最大超調(diào)量）最大超調(diào)量 最大超調(diào)量是響應曲線上超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量，對于衰減振蕩曲線，最大超調(diào)量發(fā)生在第一個峰值處。若用百分比表示最大超調(diào)量，有： 因為最大超調(diào)量發(fā)生在峰值時間，故將式（3.27）與 代入式（3.42），可得： （3.42）又：得 （3.43） 可見 唯一地決定

33、于 值， 值愈小， 愈大。%100)()()(000 xxtxMpp%100)sin(12)/(dneMp21sin)sin(%100)1(2eMp1)(0 xpMpMpM控制工程基礎湖北工業(yè)大學（4）調(diào)整時間）調(diào)整時間 在響應曲線的穩(wěn)態(tài)值附近取穩(wěn)態(tài)值的 或 作為誤差帶（即允許誤差 或 ），響應曲線達到并不超出誤差帶范圍，所需要的最小時間稱為調(diào)整時間?？捎萌缦卤磉_式表征： 將式（3.27）及 代入式（3.44）得： （3.44） 為簡單起見，可忽略上式中正弦函數(shù)的影響，近似地以幅值包絡線的指數(shù)函數(shù)衰減到 時，認為過渡過程即已完畢。則有： 整理得： （3.45）%5%2)sin(12tedtn)

34、()()(000 xxtx)1(1ln12nstst1)(0 x05. 002. 0)(stt 控制工程基礎湖北工業(yè)大學 調(diào)整時間 與 之間的關系曲線如圖3.10所示。圖中縱坐標采用無因次時間 ，可以看出，當 一定時， 隨 的增大開始減小，當 時，在 附近達最小值，當 時，在 附近達最小值，當 以后，調(diào)整時間不但不減小，反而趨于增大，這是因為系統(tǒng)阻尼過大，會造成響應遲緩，雖然從瞬態(tài)響應的平穩(wěn)性方面看， 越大越好，但快速性變差。所以當系統(tǒng)允許有微小的超調(diào)量時，應著重考慮快速性的要求。另外由圖中 與 的關系曲線可以看出，在 附近， 約為5，平穩(wěn)性也是令人滿意的，所以在設計二階系統(tǒng)時，一般取 為最佳

35、阻尼比。 stsntn02. 076. 08 . 07 . 0st05. 068. 0pMpM707. 0控制工程基礎湖北工業(yè)大學 圖3.10中的曲線具有不連續(xù)性，是由于 值的微小變化有時會使 發(fā)生顯著變化造成的。另外應當指出，由（3.45）表示的調(diào)整時間是和 及 的乘積成反比的， 的值通常先由最大超調(diào)量 來確定，所以 主要依據(jù) 來確定，調(diào)整 可以在不改變 的情況下來改變瞬態(tài)響應時間。stnpMstnnpM00.20.40.60.81.02468101214圖3.10 關系曲線sdt%2%5snt控制工程基礎湖北工業(yè)大學（5）振蕩次數(shù)）振蕩次數(shù) 把在過渡過程時間 內(nèi) 穿越其穩(wěn)態(tài)值 的次數(shù)的一半

36、定義為振蕩次數(shù)。由于有阻尼振蕩周期 所以振蕩次數(shù)為： (3.45) 綜上所述，要使二階系統(tǒng)具有滿意的性能指標，必須選擇合適的阻尼比 和無阻尼固有頻率 。提高 可以提高二階系統(tǒng)的響應速度，從指標公式上顯示出 、 、 都是隨 的增大而減小的。增大 可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能，動態(tài)平穩(wěn)性好， 隨 的增大而減小。以上性能指標主要從瞬態(tài)響應性能的要求來限制系統(tǒng)參數(shù)的選取，對于分析、研究及設計系統(tǒng)都是十分有用的。 N)1(1ln21222dstNstt 0)(0txddT2)(0 xnnrtptstnpM控制工程基礎湖北工業(yè)大學例3.1 設系統(tǒng)的方框圖如圖3.11所示，其中 ， 。當有一單位階躍信號作用于系統(tǒng)

37、時，求其性能指標 ， ， 解： （1）求 由 ，故由式（3.41）可得： （2）求 由式（3.43）可得： （3）求 由式（3.45）可得： 1241sndstdp785. 0%5 . 9%100)1/exp(2pMstns1/4stns33. 1/3)05. 0( )02. 0(6 . 015 snptpMstptpMst)2(2nnss)(sXi)(1sX)(0sX圖3.11控制工程基礎湖北工業(yè)大學例3.2 圖3.12（a）是一個機械系統(tǒng)。當施加3N的階躍力后，系統(tǒng)中質(zhì)量塊m作圖3.12（b）所示的運動，根據(jù)這個響應曲線，確定質(zhì)量m，粘性阻尼系數(shù)c 和彈簧剛度系數(shù)k 的值。 解： 根據(jù)牛頓

38、定律，建立機械系統(tǒng)的動力學微分方程，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： （1）由響應曲線的穩(wěn)態(tài)值（1cm）求出 ,由于階躍力 它的拉氏變換為 ，故：kcsmssFsXsG21)()()(skcsmssFkcsmssX)(3)(1)(22kNF3ssF/3)(0123450.20.40.60.81.0cmtx/ )(st /kNF3cx095. 0pM(a)(b)控制工程基礎湖北工業(yè)大學由拉氏變換的終值定理可求得 的穩(wěn)態(tài)值 因此 （2）由響應曲線可知 求系統(tǒng)的 和 。 由：解得： ，代入 中，得： （3）將傳遞函數(shù)與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標準形式比較得到 、 與 及 的關系，求 及 ，由 和 得：)(tx13)(

39、lim)(0kssXtxstmNcmNk/300/3095. 0%100)1/exp(2pM，stMpp2095. 0stnp2126 . 0n196. 1snnmcmcmkn/2mcn/2msNckgm/18009.78，控制工程基礎湖北工業(yè)大學3.5.2 時間響應的實驗方法時間響應的實驗方法 綜合了解系統(tǒng)的時域性能指標需實時測定控制系統(tǒng)的時間響應。通?？刂葡到y(tǒng)的性能指標是根據(jù)系統(tǒng)對單位階躍輸入的瞬態(tài)響應形式給出。因此，這里簡單介紹單位階躍輸入下系統(tǒng)的時間響應的實驗方法。 （1）輸入信號的產(chǎn)生）輸入信號的產(chǎn)生 階躍時間函數(shù)，可以用簡單的開關電路產(chǎn)生，如圖3.13所示。當 時，開關K打開；當

40、時，開關K合上。也可以用低頻信號發(fā)生器產(chǎn)生方波的前沿及后沿作為階躍時間函數(shù)。當然，使用單片機、微機或其他數(shù)字電路同樣可以方便地產(chǎn)生階躍時間函數(shù)。0tt 0tt iUiURRU0tt0t（a） (b)圖3.13 開關電路及其階躍信號輸出KRU控制工程基礎湖北工業(yè)大學 應注意，輸入信號的畸變會給測試結果帶來誤差。階躍輸入的高度一般為輸入量工作范圍的10%到90。無論是位移階躍還是壓力階躍，關鍵是保證信號的前沿陡直，使 （上升時間）遠小于 （被測系統(tǒng)的時間常數(shù)）。 （2）輸出響應的測量）輸出響應的測量 首先要初步估計被測系統(tǒng)的動態(tài)性能，然后選擇滿足被測系統(tǒng)動態(tài)性能要求的傳感器。如：被測系統(tǒng)的上升時間

41、越短，則傳感器的上限工作頻率應該越高，再合理設計和選擇測量系統(tǒng)，可以使用多通道信號測試儀器同時測試輸入信號和輸出響應。詳細的測量方法可參考有關傳感器和測試技術的書籍。 工程控制系統(tǒng)的時間響應一般是在有噪音的背景下測定的，單位測定結果總是有誤差存在?？赏ㄟ^重復測試的方法，減小系統(tǒng)的測試誤差。rtT控制工程基礎湖北工業(yè)大學 3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 設計控制系統(tǒng)時應滿足多種性能指標，但最重要的技術要求是系統(tǒng)必須穩(wěn)定。因為穩(wěn)定性是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件，只有工作穩(wěn)定才能進一步討論其他性能指標。3.6.1 穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性的基本概念 控制系統(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外部和內(nèi)部

42、的擾動，例如火炮射擊時，施加給火炮隨動系統(tǒng)的沖擊負載；雷達天線跟蹤時，突然遇到陣風以及其他系統(tǒng)負載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、外部環(huán)境條件的改變等等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動的作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出保證系統(tǒng)的措施，是自動控制的基本任務?？刂乒こ袒A湖北工業(yè)大學 設線性定常系統(tǒng)處于某一平衡狀態(tài)，若此系統(tǒng)在干擾的作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，當干擾作用消失后，系統(tǒng)能否回到原來的平衡狀態(tài)，這就是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。 如果系統(tǒng)在擾動作用消失后，能夠恢復到原平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應是收斂的，則系統(tǒng)為穩(wěn)定的。相反，若系統(tǒng)不能恢復到原平

43、衡狀態(tài)，或系統(tǒng)的零輸入響應是發(fā)散的，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。 圖3.14（a）所示的系統(tǒng)，小球在最低點處于平衡狀態(tài)，當受到外力作用小球會偏離最低點，在外力消失后，小球經(jīng)一段時間左右運動后，最后回到平衡點，所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（a）(b)圖3.14 系統(tǒng)穩(wěn)定性示意圖控制工程基礎湖北工業(yè)大學 而圖3.14（b）所示的系統(tǒng)，當小球受力偏離最高點時將會越滾越遠，不會回到平衡位置，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 綜上所述，如果線性系統(tǒng)受到擾動的作用而使輸出量 發(fā)生偏差，產(chǎn)生 。擾動消失后，經(jīng)過足夠的時間，該偏差的絕對值能小于一給定的正值 ，即則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3.6.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)

44、穩(wěn)定的充要條件 上述穩(wěn)定性定義表明，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于瞬態(tài)響應。故線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)本身的固有特性，而與外界條件無關。因此，可設系統(tǒng)的初始條件為零，用單位脈沖函數(shù) 作用于系統(tǒng)，這時系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應 此時 視為系統(tǒng)的擾動輸入，若 ，則系統(tǒng)穩(wěn)定。)(0tx)(0tx)(lim0txt)0( )(t)(t)(t0)(limtt控制工程基礎湖北工業(yè)大學 設系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 假定系統(tǒng)的特征方程有 個不同的實數(shù)根和 對不同的共軛復數(shù)根，則擾動作用下系統(tǒng)下輸出為： （3.47） 對上式進行拉氏變換，有 (3.48)011101110)()()(asasasabsbsbsbsXsXs

45、GnnnnmmmmirknknkkknkknkkkqjjjssCsBssAsGsW1222121)()()()1sin()exp()1cos()exp()exp()()(212111ttCttBtsAsWLtknkrknkkkknkrknkkkqjjjqr控制工程基礎湖北工業(yè)大學 由式（3.48）可知，當系統(tǒng)全部特征根 都具有負實部時， 。 綜上所述，線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 系統(tǒng)特征方程的所有根具有負的實部；或特征根全部在s平面的左半平面。如果系統(tǒng)有一個根在s平面的右半平面，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 在工程實際中，所有物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)都存在非線性，受引發(fā)振蕩的能量限制，系統(tǒng)的輸出量只能增大到一

46、定程度，此后輸出將形成大幅度的等幅振蕩。 若特征根中有純虛根，其余根均在s平面左半平面，則系統(tǒng)成為臨界穩(wěn)定。由于在對實際系統(tǒng)建立數(shù)學模型的過程中進行了一些簡化和假設，所研究的系統(tǒng)實質(zhì)上都是線性化的系統(tǒng)，對系統(tǒng)參數(shù)的估計和測量可能不夠準確，而且系統(tǒng)在實際運行過程中，參數(shù)值也處于不斷的微小變化中，因此原來處于虛軸上的極點實際上可能變動到s的右半平面，致使系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ), 2 , 1(nisi0)(limtt控制工程基礎湖北工業(yè)大學 從工程控制的實際來看，一般認為臨界穩(wěn)定往往屬于穩(wěn)定。判斷控制系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定性的方法有兩大類：一類是直接求解系統(tǒng)特征方程，根據(jù)極點的分布來判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；另一類是不求解特

47、征方程的間接方法，如：Routh-Hurwitz判定判據(jù)。3.6.3 Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其全部特征根具有負實部。運用此方法需要求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點，才能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。但在實際工程系統(tǒng)中，特征方程的階次往往較高，不使用計算機直接求和比較困難。這樣就提出了各種不解特征方程的根，而只討論特征根的分布，從而判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。3.6.3.1系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 設系統(tǒng)特征方程為： （3.49）將式（3.49）各項同除 并分解因式，得： （3.50）0)(0111asasasasDnnnn)()(210111nnnnnnn

48、ssssssaasaasaas控制工程基礎湖北工業(yè)大學式中 ， ， 為系統(tǒng)的特征根。將上式右邊展開，得： （3.51） 比較式（3.50）與式（3.51），可得： 從式（3.52）可知，要使全部特征根均具有負實部，必須滿足以下兩個條件，即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 （1）特征方程的各項系數(shù) 都不為零。 （2）特征方程的各項系數(shù) 的符號相同。 按習慣，一般取 為正值，因此系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是： 1s2snsniinnjnjiinniinnsssssssssssssji121,1121) 1()()()()(niinnsaa11jnjiinnssaaji1,2kjnkjiinnsssaakji1,3ni

49、innsaa10) 1(), 2 , 1 , 0(niaiia0,011aaaannna控制工程基礎湖北工業(yè)大學 這一條件并不充分，對各項系數(shù)均為正且不為零的特征方程，還可能有正實部的根。因為當特征根有正有負時，它們組合起來仍能滿足式（3.52）中各式。 若系統(tǒng)不滿足穩(wěn)定的必要條件，則系統(tǒng)比不穩(wěn)定。若系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的必要條件，還需進一步判定其是否滿足穩(wěn)定的充分條件。3.6.3.2 Routh（勞斯）判據(jù)（勞斯）判據(jù) Routh判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)特征方程的各項系數(shù)進行代數(shù)運算，得出全部根具有負實部的條件，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此這種穩(wěn)定判據(jù)又稱代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。（1）Routh 表的排列表的排列 將式（

50、3.49）所示的系統(tǒng)特征方程系數(shù)先構成Routh表的前兩行，第一行由特征方程的第1，3，5，項的系數(shù)組成；第二行由特征方程的第2，4，6，項的系數(shù)組成。以后各行的數(shù)值需逐行計算，這種排列一直進行到第n行，構成Routh表。控制工程基礎湖北工業(yè)大學 表中，1011212432134321275311642gsfseesccccsbbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnn13211nnnnnaaaaab15412nnnnnaaaaab17613nnnnnaaaaab控制工程基礎湖北工業(yè)大學 系數(shù) 的計算一直進行到其余的 值全部為零為止。 這一計算過程一直計算到第n行為止，為簡化數(shù)值計算

51、，可用 一個正整數(shù)去乘或去除某一行的各項，這并不改變穩(wěn)定性的結 論。 （2）Routh穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) Routh判據(jù)指出，系統(tǒng)特征方程具有正實部的數(shù)目等于Routh表 列中第一列的各元素符號改變的次數(shù)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 Routh表中第一列的各元素的符號為正，且值不等于零。ib121311bbaabcnn131512bbaabcnn141713bbaabcnnb控制工程基礎湖北工業(yè)大學 例3.3 系統(tǒng)的特征方程為 試用Routh判據(jù)確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 解： 特征方程的所有系數(shù)均為正實數(shù)，列出勞斯表列如下： 因為上邊計算出勞斯表中第一列數(shù)值也全部為正實數(shù)，所以系 統(tǒng)是穩(wěn)定的。2791/6150267/7916/586/67217610141012345ssssss0210171462345sssss控制工程基礎湖北工業(yè)大學 例3.4 系統(tǒng)