曲線積分與格林公式總結(jié)應(yīng)用材料

1、 一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: 設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xoy面內(nèi)的一段曲線弧l上, 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x, y)處的線密度為m(x, y). 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量. 把曲線分成n小段, ds1, ds2, × × ×, dsn(dsi也表示弧長(zhǎng)); 任取(xi , hi)Îdsi, 得第i小段質(zhì)量的近似值m(xi , hi)dsi; 整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為; 令l=maxds1, ds2, × × ×, dsn®0, 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問(wèn)題時(shí)也會(huì)遇到.

2、 定義 設(shè)l為xoy面內(nèi)的一條光滑曲線弧, 函數(shù)f(x, y)在l上有界. 在l上任意插入一點(diǎn)列m1, m2, × × ×, mn-1把l分在n個(gè)小段. 設(shè)第i個(gè)小段的長(zhǎng)度為dsi, 又(xi, hi)為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn), 作乘積f(xi, hi)dsi, (i=1, 2,× × ×, n ), 并作和, 如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值l®0, 這和的極限總存在, 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧l上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類(lèi)曲線積分, 記作, 即. 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), l 叫做積分弧段. 設(shè)函數(shù)f

3、(x, y)定義在可求長(zhǎng)度的曲線l上, 并且有界. 將l任意分成n個(gè)弧段: ds1, ds2, × × ×, dsn, 并用dsi表示第i段的弧長(zhǎng); 在每一弧段dsi上任取一點(diǎn)(xi, hi), 作和; 令l=maxds1, ds2, × × ×, dsn, 如果當(dāng)l®0時(shí), 這和的極限總存在, 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧l上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類(lèi)曲線積分, 記作, 即 . 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), l 叫做積分弧段. 曲線積分的存在性: 當(dāng)f(x, y)在光滑曲線弧l上連續(xù)時(shí), 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是存在

4、的. 以后我們總假定f(x, y)在l上是連續(xù)的. 根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值, 其中m(x, y)為線密度. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的推廣: . 如果l(或g)是分段光滑的, 則規(guī)定函數(shù)在l(或g)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和. 例如設(shè)l可分成兩段光滑曲線弧l1及l(fā)2, 則規(guī)定 . 閉曲線積分: 如果l是閉曲線, 那么函數(shù)f(x, y)在閉曲線l上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記作 . 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì): 性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù), 則 ; 性質(zhì)2 若積分弧段l可分成兩段光滑曲線弧l1和l2, 則 ; 性質(zhì)3設(shè)在l上f(x, y)£g(x,

5、 y), 則 . 特別地, 有 二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法 根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義, 如果曲線形構(gòu)件l的線密度為f(x, y), 則曲線形構(gòu)件l的質(zhì)量為 . 另一方面, 若曲線l的參數(shù)方程為x=j(t), y=y (t) (a£t£b),則質(zhì)量元素為 , 曲線的質(zhì)量為 . 即 . 定理 設(shè)f(x, y)在曲線弧l上有定義且連續(xù), l的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t) (a£t£b), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且j¢2(t)+y¢2(t)¹0, 則曲線積分存在, 且 (a<b)

6、. 證明（略） 應(yīng)注意的問(wèn)題: 定積分的下限a一定要小于上限b. 討論: (1)若曲線l的方程為y=y(x)(a£x£b), 則=?提示: l的參數(shù)方程為x=x, y=y(x)(a£x£b), . (2)若曲線l的方程為x=j(y)(c£y£d), 則=?提示: l的參數(shù)方程為x=j(y), y=y(c£y£d), . (3)若曲g的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a£t£b), 則=? 提示: . 例1 計(jì)算, 其中l(wèi)是拋物線y=x2上點(diǎn)o(0, 0)與點(diǎn)b(1, 1)之間

7、的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0£x£1), 因此 . 例2 計(jì)算半徑為r、中心角為2a的圓弧l對(duì)于它的對(duì)稱(chēng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量i(設(shè)線密度為m=1). 解 取坐標(biāo)系如圖所示, 則. 曲線l的參數(shù)方程為 x=rcosq, y=rsinq (-a£q<a). 于是 =r3(a-sina cosa). 例3 計(jì)算曲線積分, 其中g(shù)為螺旋線x=acost、y=asint、z=kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2p的一段弧. 解 在曲線g上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 小結(jié): 用曲線積分

8、解決問(wèn)題的步驟: (1)建立曲線積分; (2)寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程 ( 或直角坐標(biāo)方程) , 確定參數(shù)的變化范圍; (3)將曲線積分化為定積分; (4)計(jì)算定積分. §10. 2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 變力沿曲線所作的功: 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xoy面內(nèi)在變力f(x, y)=p(x, y)i+q(x, y)j的作用下從點(diǎn)a沿光滑曲線弧l移動(dòng)到點(diǎn)b, 試求變力f(x, y)所作的功. 用曲線l上的點(diǎn)a=a0, a1, a2, × × ×, an-1, an=b把l分成n個(gè)小弧段, 設(shè)ak=(xk , yk), 有向線段的長(zhǎng)度為dsk,

9、它與x軸的夾角為tk , 則 (k=0, 1, 2, × × ×, n-1). 顯然, 變力f(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似為 ;于是, 變力f(x, y)所作的功 , 從而 . 這里t=t(x, y), cost, sint是曲線l在點(diǎn)(x, y)處的與曲線方向一致的單位切向量. 把l分成n個(gè)小弧段: l1, l2, × × ×, ln; 變力在li上所作的功近似為: f(xi, hi)×dsi=p(xi, hi)dxi+q(xi, hi)dyi ; 變力在l上所作的功近似為: ; 變力在l上所作的功的精確值:

10、, 其中l(wèi)是各小弧段長(zhǎng)度的最大值. 提示: 用dsi=dxi,dyi表示從li的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量. 用dsi表示dsi的模. 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x, y)在有向光滑曲線l上有界. 把l分成n個(gè)有向小弧段l1, l2, × × ×, ln; 小弧段li的起點(diǎn)為(xi-1, yi-1), 終點(diǎn)為(xi, yi), dxi=xi-xi-1, dyi=yi-yi-1; (xi, h)為li上任意一點(diǎn), l為各小弧段長(zhǎng)度的最大值. 如果極限總存在, 則稱(chēng)此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線l上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即, 如果極限總存在,

11、 則稱(chēng)此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線l上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即. 設(shè)l為xoy面上一條光滑有向曲線, cost, sint是與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)p(x, y)、q(x, y)在l上有定義. 如果下列二式右端的積分存在, 我們就定義 , , 前者稱(chēng)為函數(shù)p(x, y)在有向曲線l上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 后者稱(chēng)為函數(shù)q(x, y)在有向曲線l上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類(lèi)曲線積分. 定義的推廣: 設(shè)g為空間內(nèi)一條光滑有向曲線, cosa, cosb, cosg是曲線在點(diǎn)(x, y, z)處的與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)p(x, y, z)、

12、q(x, y, z)、r(x, y, z)在g上有定義. 我們定義(假如各式右端的積分存在) , , . , , .對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的簡(jiǎn)寫(xiě)形式: ; . 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì): (1) 如果把l分成l1和l2, 則 . (2) 設(shè)l是有向曲線弧, -l是與l方向相反的有向曲線弧, 則 . 兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系: 設(shè)costi, sinti為與dsi同向的單位向量, 我們注意到dxi, dyi=dsi, 所以dxi=costi×dsi, dyi=sinti×dsi, , . 即 , 或 . 其中a=p, q, t=cost, sint為有向曲線弧l上點(diǎn)(x, y)處單位切

13、向量, dr=tds=dx, dy. 類(lèi)似地有 , 或 . 其中a=p, q, r, t=cosa, cosb, cosg為有向曲線弧g上點(diǎn)(x, y, z)處單們切向量, dr=tds =dx, dy, dz , a t為向量a在向量t上的投影. 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算: 定理: 設(shè)p(x, y)、q(x, y)是定義在光滑有向曲線l: x=j(t), y=y(t), 上的連續(xù)函數(shù), 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由a變到b時(shí), 點(diǎn)m(x, y)從l的起點(diǎn)a沿l運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)b, 則 , . 討論: =？提示: . 定理: 若p(x, y)是定義在光滑有向曲線 l: x=j(t), y=y(t)(a

14、3;t£b)上的連續(xù)函數(shù), l的方向與t的增加方向一致, 則 . 簡(jiǎn)要證明: 不妨設(shè)a£b. 對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)與曲線l的方向一致的切向量為j¢(t), y¢(t), 所以,從而 . 應(yīng)注意的問(wèn)題: 下限a對(duì)應(yīng)于l的起點(diǎn), 上限b 對(duì)應(yīng)于l的終點(diǎn), a不一定小于b . 例1.計(jì)算, 其中l(wèi)為拋物線y2=x上從點(diǎn)a(1, -1)到點(diǎn)b(1, 1)的一段弧. 解法一: 以x為參數(shù). l分為ao和ob兩部分: ao的方程為, x從1變到0; ob 的方程為, x從0變到1. 因此 . 第二種方法: 以y為積分變量. l的方程為x=y2, y從-1變到1. 因此 . 例

15、2. 計(jì)算. (1)l為按逆時(shí)針?lè)较蚶@行的上半圓周x2+y2=a2 ; (2)從點(diǎn)a(a, 0)沿x軸到點(diǎn)b(-a, 0)的直線段. 解 (1)l 的參數(shù)方程為x=a cosq, y=a sinq, q從0變到p. 因此 . (2)l的方程為y=0, x從a變到-a. 因此 . 例3 計(jì)算. (1)拋物線y=x2上從o(0, 0)到b(1, 1)的一段弧; (2)拋物線x=y2上從o(0, 0)到b(1, 1)的一段弧; (3)從o(0, 0)到a(1, 0), 再到r (1, 1)的有向折線oab . 解 (1)l: y=x2, x從0變到1. 所以 . (2)l: x=y2, y從0變到1

16、. 所以 . (3)oa: y=0, x從0變到1; ab: x=1, y從0變到1. =0+1=1. 例4. 計(jì)算, 其中g(shù)是從點(diǎn)a(3, 2, 1)到點(diǎn)b(0, 0, 0)的直線段. 解: 直線ab的參數(shù)方程為 x=3t, y=2t, x=t, t從1變到0. 所以所以 . 例5. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在m(x, y)處受到力f的作用, f的大小與m到原點(diǎn)o的距離成正比, f的方向恒指向原點(diǎn). 此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)a(a, 0)沿橢圓按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)到點(diǎn)b(0, b), 求力f所作的功w. 例5. 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力f的作用下從點(diǎn)a(a, 0)沿橢圓按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)到點(diǎn)b(0, b), f的大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成

17、正比, 方向恒指向原點(diǎn). 求力f所作的功w. 解: 橢圓的參數(shù)方程為x=acost, y=bsint , t從0變到. , , 其中k>0是比例常數(shù). 于是 . . 三、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系 由定義, 得 , 其中f=p, q, t=cost, sint為有向曲線弧l上點(diǎn)(x, y)處單位切向量, dr=tds=dx, dy. 類(lèi)似地有 . 其中f=p, q, r, t=cosa, cosb, cosg為有向曲線弧g上點(diǎn)(x, y, z)處單們切向量, dr=tds =dx, dy, dz . 一、格林公式 單連通與復(fù)連通區(qū)域: 設(shè)d為平面區(qū)域, 如果d內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于d,

18、 則稱(chēng)d為平面單連通區(qū)域, 否則稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域. 對(duì)平面區(qū)域d的邊界曲線l, 我們規(guī)定l的正向如下: 當(dāng)觀察者沿l的這個(gè)方向行走時(shí), d內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊. 區(qū)域d的邊界曲線的方向: 定理1設(shè)閉區(qū)域d由分段光滑的曲線圍成, 函數(shù)p(x, y)及q(x, y)在d上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 其中l(wèi)是d的取正向的邊界曲線. 簡(jiǎn)要證明: 僅就d即是x型的又是y型的區(qū)域情形進(jìn)行證明. 設(shè)d=(x, y)|j1(x)£y£j2(x), a£x£b. 因?yàn)檫B續(xù), 所以由二重積分的計(jì)算法有 . 另一方面, 由對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有 . 因此 . 設(shè)d=(x, y)|y1(y)£x£y2(y), c£y£d. 類(lèi)似地可證 . 由于d即是x型的又是y型的, 所以以上兩式同時(shí)成立, 兩式合并即得 . 應(yīng)注意的問(wèn)題: 對(duì)復(fù)連通區(qū)域d, 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域d的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向?qū)^(qū)域d來(lái)說(shuō)都是正向. 設(shè)區(qū)域d的邊界曲線為l, 取p=-y, q=x, 則由格林公式得 , 或. 例1. 橢圓x=a cosq , y=b sinq 所圍成圖形的面積a.