行列式的計(jì)算方法及應(yīng)用

1、聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文 本科生畢業(yè)論文題 目: 行列式的計(jì)算方法及應(yīng)用 專(zhuān)業(yè)代碼: 070102 作者姓名: 李延雪 學(xué) 號(hào): 2007200676 單 位: 2007 級(jí) 1 班 指導(dǎo)教師: 孫守斌 2011年 5 月 20 日原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明: 所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下, 獨(dú)立進(jìn)行研究取得的成果. 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外, 論文中不含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果, 也不包含為獲得聊城大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證明書(shū)而使用過(guò)的材料. 對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體, 均已在文中以明確方式標(biāo)明. 本人承擔(dān)本聲明的相應(yīng)責(zé)任. 學(xué)位論文作者簽名: 日期 指 導(dǎo) 教 師 簽

2、 名: 日期 聊城大學(xué)本科畢業(yè)論文目 錄前言1 1.行列式的定義及其表示1 1.1 行列式的定義1 1.2 行列式的表示3 2.行列式的性質(zhì)43.行列式的計(jì)算方法63.1加邊法63.2利用已知公式73.3數(shù)學(xué)歸納法10 3.4遞推法113.5構(gòu)造法12 3.6拆項(xiàng)法134.行列式的應(yīng)用13 4.1行列式在證明微分中值定理中的應(yīng)用13 4.2 行列式在求逆矩陣中的應(yīng)用15 4.3行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用15 4.4 行列式在解析幾何中的應(yīng)用16 結(jié)語(yǔ)17 參考文獻(xiàn)18 致謝19 i摘 要行列式是研究高等代數(shù)的一個(gè)重要工具.在對(duì)行列式的定義及其性質(zhì)研究的基礎(chǔ)上,總結(jié)了計(jì)算行列式的幾種常見(jiàn)方法：加

3、邊法、構(gòu)造法、遞推法、拆項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法等.另外,歸納了二條線(xiàn)性行列式、“兩岸”行列式、上（下）三角形行列式、二條線(xiàn)叉型行列式及箭型行列式幾類(lèi)特殊行列式的計(jì)算公式.利用行列式證明明微分中值定理；并通過(guò)一些具體的實(shí)例介紹了行列式在求逆矩陣、求解幾何圖形方程和計(jì)算圖形面積體積等多個(gè)方面的實(shí)際應(yīng)用.關(guān)鍵詞：行列式；計(jì)算方法；行列式的應(yīng)用 ivabstractdeterminant calculation is an important tool in higher algebra. studying the definition and properties of the determinant a

4、nd summarizing several methods which can solve the determinant calculation，such as add edge method，method of construction, triangle recursive method, demolition of method, mathematical induction etc. at the same time two linear determinant, "cross-strait" determinants, the upper (lower) tr

5、iangular determinant, two line fork determinants and arrow type determinant of several kinds of special formula of calculating the determinant were summarized. using determinant proof differential mid-value theorem.and through some specific examples in inverse matrix introduce determinant in solving

6、 inverse matrix，geometry equation calculation ,graphics area volume and many other aspects of actual applications. keywords: determinant; calculation method; determinant application 行列式的計(jì)算方法前 言行列式不僅是研究高等代數(shù)的一個(gè)重要工具,它也是線(xiàn)性代數(shù)理論中極其重要的組成部分.在高等代數(shù)中,行列式的求解是非常重要的,但是直接計(jì)算行列式往往是困難和繁瑣的,特別當(dāng)行列式的元素是字母時(shí)更加明顯.根據(jù)這一情況,對(duì)行列

7、式計(jì)算的常見(jiàn)方法進(jìn)行了總結(jié).計(jì)算行列式的常見(jiàn)方法有化三角形法,拆分法,降階法,升階法,待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法,乘積法和加邊法等.另外對(duì)行列式中存在的二條線(xiàn)性行列式、“兩岸”行列式、上（下）三角形行列式、二條線(xiàn)叉型行列式及箭型行列式等特殊構(gòu)造的行列式的公式進(jìn)行了歸納.行列式的產(chǎn)生和最早的應(yīng)用都是在解線(xiàn)性方程組中,現(xiàn)在的應(yīng)用范圍已拓展得較為廣泛,成為數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及工科許多課程的重要工具.對(duì)這些應(yīng)用技巧進(jìn)行探討歸納,不僅有課程建設(shè)的現(xiàn)實(shí)意義,而且有深刻的理論意義.通過(guò)介紹一些具體的實(shí)例,說(shuō)明行列式在證明明微分中值定理、求逆矩陣及矩陣特征值、求解線(xiàn)性方程組、求解幾何圖形方程和計(jì)算圖形面積體積等多個(gè)方

8、面中的實(shí)際應(yīng)用.1.行列式的定義及其表示 1.1行列式的定義行列式有各種各樣的定義方法,本文以排列為工具來(lái)定義行列式.先來(lái)考察二、三階行列式的共同規(guī)律,然后利用這些規(guī)律去定義階行列式.二階行列式為 .于是二階行列式可以簡(jiǎn)寫(xiě)成 .其中 表示所有二元排列求和.我們約定,在一個(gè)行列式中,橫排叫做行,縱排叫做列,行列式中的數(shù)叫做行列式的元素,其中表示所在的行,叫做行標(biāo)；表示所在的列,叫做列標(biāo).從二階行列式中可以得到以下規(guī)律：（1） 它是2！=2項(xiàng)的代數(shù)和；（2） 每一項(xiàng)都是兩個(gè)元素相乘,且這兩個(gè)元素既位于不同的行又位于不同的列；（3） 每一項(xiàng)的兩個(gè)元素行標(biāo)按自然順序排列后,其所在的列標(biāo)構(gòu)成的全部二元排

9、列為12和21,前一個(gè)為偶排列,與其對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；后一個(gè)為奇排列,與其對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào).下面看三階行列式 .類(lèi)似于二階行列式,可以得到以下規(guī)律：（1）它是3！=6項(xiàng)的代數(shù)和；（2）每一項(xiàng)都是三個(gè)元素相乘,且這三個(gè)元素既位于不同的行又位于不同的列； （3）每一項(xiàng)的三個(gè)元素行標(biāo)按自然順序排列后,其所在的列標(biāo)構(gòu)成的全部三元排列為：123,231,312,321,213,132.前三個(gè)為偶排列,與其對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào),后三個(gè)為及排列,與其對(duì)應(yīng)的項(xiàng)均取負(fù)號(hào). 總之,三階行列式可以寫(xiě)成.以上是二、三階行列式的共同構(gòu)造規(guī)律,它也是一般階行列式的本質(zhì)所在.定義1.1 稱(chēng)為一個(gè)階行列式,它表示：（1）項(xiàng)的代數(shù)和；

10、（2）每一項(xiàng)是個(gè)元素相乘,且這個(gè)元素既位于中不同的行,又位于不同的列；（3）每一項(xiàng)的個(gè)元素行標(biāo)按自然順序排列后,其列排列為偶排列時(shí)該項(xiàng)取正號(hào),為奇排列時(shí)該項(xiàng)取負(fù)號(hào).這一定義可以簡(jiǎn)單的表示成其中 表示對(duì)所有階行列求和.1.2行列式的表示.矩陣的行列式記作.絕對(duì)值和矩陣范數(shù)也使用這個(gè)記法,有可能和行列式的記法混淆.不過(guò)矩陣范數(shù)通常以雙垂直線(xiàn)來(lái)表示,且可以使用下標(biāo).此外,矩陣的絕對(duì)值是沒(méi)有定義的.因此,行列式經(jīng)常使用垂直線(xiàn)記法（例如:克萊姆法則和子式）.例如,一個(gè)矩陣： 矩陣行列式 也寫(xiě)作或明確的寫(xiě)作: 行列式即矩陣的方括號(hào)以細(xì)長(zhǎng)的垂直線(xiàn)取代. 階行列式的表示： ,其中為的逆序數(shù).2.行列式的性質(zhì)為

11、了有效地進(jìn)行行列式的計(jì)算,有必要研究其性質(zhì),并由此得到實(shí)際可行的計(jì)算方法性質(zhì)2.1 設(shè)是階矩陣,則,其中是的轉(zhuǎn)置矩陣.今后稱(chēng)行列式 為的轉(zhuǎn)置行列式,性質(zhì)1說(shuō)明行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,具體地寫(xiě)出來(lái),即 根據(jù)性質(zhì)1,對(duì)于行列式中有關(guān)行的性質(zhì)完全適用于列性質(zhì)2.2 交換行列式中任意兩行(列),其值變號(hào) 例如二階行列式中,若交換其第1行與第二行,則得  推論2.1 若行列式有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同,則該行列式等于零.證明 設(shè)行列式中第行與第行的對(duì)應(yīng)元素相同,現(xiàn)交換這兩行得一新行列式,記作, 根據(jù)性質(zhì)2,但因這兩行對(duì)應(yīng)元素相同,交換后所得行列式與原行列式又相同,即于是,故性質(zhì)2.3 用常

12、數(shù)乘以行列式中某行（列）的每個(gè)元素所得到的行列式,等于用乘以該行列式.證明 設(shè)行列式是.若用乘以的第1行,則成為行列式 .現(xiàn)按d1的第一行展開(kāi)得其中與中第一行各元素的代數(shù)余子式是相同的.現(xiàn)設(shè)用乘以的第行,.我們記交換的第1行與第行所得的行列式為.現(xiàn)用乘以的第行,即得行列式 .推論2.2 若行列式中有一行（列）的所有元素全是零,則該行列式等于零證明 在性質(zhì)3中取即可推論2.3 若行列式某行（列）所有元素含有公因數(shù),則可將該公因數(shù)提到行列式外面 此推論實(shí)際上就是性質(zhì)3推論2.4 若行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例,則該行列式等于零證明 只要把比例系數(shù)作為公因數(shù)提到行列式外面,就得到一個(gè)兩行相同的

13、行列式,所以行列式為零3.行列式的計(jì)算方法在行列式的計(jì)算問(wèn)題中,對(duì)于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定義計(jì)算. 對(duì)于一般的行列式,我們主要有下面兩種計(jì)算思想：1) 利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行行列式的初等變換,將其劃為上(或下)三角形行列式,進(jìn)而得到結(jié)果.2) 利用行列式按行(列)展開(kāi)定理進(jìn)行降階和遞推.在典型的計(jì)算過(guò)程中一般兩種方法同時(shí)應(yīng)用,先利用性質(zhì)化出盡可能多的零元素,然后再利用行(列)展開(kāi)定理降階,化為低階行列式進(jìn)行計(jì)算.3.1 加邊法利用行列式按行(列)展開(kāi)的性質(zhì),把階行列式通過(guò)加行(列)變成與之相等的階行列式,利用行列式的性質(zhì)把添加進(jìn)去的行(列)的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行(列),使其它行(

14、列)出現(xiàn)更多為零的元素后再進(jìn)行計(jì)算添加的行與列一般有四種方式,分別是添加在：(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列當(dāng)然有時(shí)也添加在行列式的一般行與列的位置 例3.1.1 計(jì)算階行列式的值.解 按第行展開(kāi)得到的是關(guān)于的多項(xiàng)式,而所求行列式的值是上述加邊行列式展開(kāi)式的項(xiàng)的系數(shù)乘以.注意 能夠利用加邊法的題目往往具有如下兩種特征之一：（1） 各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性質(zhì)把一行(列)的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行(列)的時(shí)候不容易變成三角形行列式,或者說(shuō)出現(xiàn)的零的個(gè)數(shù)還不夠多；（2） 添加一行(列)后能夠跟范德蒙行列式聯(lián)系起來(lái).3.2 利用已知公式3.2.1 定

15、義二條線(xiàn)性行列式的計(jì)算定義3.2.1 的行列式稱(chēng)為二線(xiàn)型行列式.其可按第一列（或最后一列）展開(kāi)進(jìn)行計(jì)算得出.例3.2.1 計(jì)算行列式和的值. 解 觀察行列式和可知它是二線(xiàn)型行列式,且由定義知其中全為0.故代入公式可得出 . .類(lèi)似的二條線(xiàn)型行列式還有,和（其中定義中給出的二線(xiàn)型行列式為=,=,在簡(jiǎn)記中實(shí)線(xiàn)處均為非零元素其它地方元素為零）,它們均可以按定義中的方法進(jìn)行計(jì)算展開(kāi)進(jìn)行降階,再利用三角或次三角型行列式總結(jié)出相應(yīng)的計(jì)算公式. 3.2.2 “兩岸”行列式的計(jì)算方法定義3.2.2 形如 的行列式稱(chēng)為“兩岸”行列式,其計(jì)算可化成箭型行列式,且值等于注 對(duì)于各行各列元素之和相等的行列式.可將第列

16、(行)都加到第1列（行）（或第列（行）加到第列（行）,則第1（或）列(行)的元素相等,再進(jìn)一步化為三角或次三角型行列式.3.2.3 上三角形（或下三角形）行列式的計(jì)算定義3.2.3 形如的行列式稱(chēng)為上三角形（或下三角形）行列式,其值為.3.2.4 二條線(xiàn)叉型行列式的計(jì)算 定義3.2.4 形如的行列式為二條線(xiàn)叉型行列式.例3.2.2 計(jì)算二線(xiàn)型行列式的值.解 可將此行列式按照第一行展開(kāi),則 然后將此兩個(gè)行列式分別按最后一行和第一行展開(kāi),則 .3.2.5箭型行列式的計(jì)算定義3.2.5 形如,的行列式稱(chēng)為箭型（或爪型）行列式,可直接利用行列式性質(zhì)將其一條邊化為零,從而可根據(jù)三角形或次三角形的結(jié)果求（

17、在簡(jiǎn)記中實(shí)線(xiàn)處均為非零元素其它地方元素為零）.例 3.2.3 計(jì)算行列式的值.解 可給該行列式第行分別乘以加到第行則知原行列式 .3.3 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法多用于證明明題用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算n階行列式,依據(jù)行列式元素間規(guī)律來(lái)計(jì)算,此類(lèi)型的題變化較多,相應(yīng)的方法也較多.例3.3.1 計(jì)算的值,其中解 當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；假設(shè)當(dāng)時(shí),.那么當(dāng)時(shí),將按最后一行展開(kāi)得 ,所以 .綜上可得 .3.4 遞推法利用行列式的性質(zhì),把某一行列式表示成具有較低階相同結(jié)構(gòu)行列式的關(guān)系式（稱(chēng)為遞推關(guān)系式）,根據(jù)所得遞推關(guān)系式及低階某行列式的值便可遞推得到所需要的結(jié)果（有時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明明其正確性）,這種計(jì)算行列式值

18、得方法叫做遞推法. （1）若則. （2）若我們可以設(shè)、是的根,則,.于是有 （1） （2）若,則.注意 由（1）和（2）得：,.若,則（1）與（2）變?yōu)?,即 ,于是 , 依次做下去得： . 3.5 構(gòu)造法通過(guò)構(gòu)造新的行列式計(jì)算原行列式.例 3.5.1 計(jì)算循環(huán)行列式. 解 設(shè) ,令 ,則 ,因?yàn)?故.3.6 拆項(xiàng)法這是計(jì)算行列式常用的方法.一般地,當(dāng)行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有規(guī)律地表示為兩項(xiàng)或多項(xiàng)和的形式,就可以考慮用拆為和的方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算.例3.6.1 以為頂點(diǎn)的三角形面積為其中 .解 第一行為 .四 、行列式的應(yīng)用4.1 行列式在證明明微分中值定理中的應(yīng)用4.1.1 拉

19、格朗日中值定理設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足條件：（1）在閉區(qū)間連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 .證明 我們可以構(gòu)造行列式輔助型函數(shù)來(lái)證明明定理.設(shè)因在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),所以在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,故由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)使得所以4.1.2柯西中值定理（1）函數(shù)與都在閉區(qū)間連續(xù)；（2）與都在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）與則在內(nèi)不同時(shí)為零；（4）,則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得. 證明 設(shè)由于是的多項(xiàng)式函數(shù),從而在上上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),利用行列式性質(zhì)易見(jiàn)故由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn),使得由此可得 .4.2 行列式在求逆矩陣中的應(yīng)用設(shè),則是非奇異矩陣的充分且必要條件是,且當(dāng)時(shí),的逆矩陣其中是的伴隨矩陣.例4

20、.2.1 設(shè)是正交矩陣,則證明 由a正交知道|a|= ±1.于是a¢=a-1=|a|-1(adja)故由(2)易見(jiàn)與有上述關(guān)系 4.3行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用例4.3.1 證明明一個(gè)次多項(xiàng)式至多有個(gè)互異根. 證明 設(shè)有個(gè)互異的零點(diǎn)則有.即這個(gè)關(guān)于的齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式 因此這個(gè)矛盾表明至多有個(gè)互異根.例4.3.2 設(shè)是個(gè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,滿(mǎn)足.證明：.證明 設(shè)取分別代入,可得 由此得到這個(gè)行列式關(guān)于的齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式.因此.4.4 行列式在解析幾何中的應(yīng)用4.4.1 在向量積、混合積中的應(yīng)用設(shè)為右手直角坐標(biāo)系,因?yàn)?所以 4.4.2 在面積、體積中的應(yīng)用以為鄰

21、邊的平行四邊形的面積為.以為相鄰棱的平行六面體的體積為.4.4.3 在求解幾何圖形方程中的應(yīng)用 1)過(guò)不同兩點(diǎn)的平面直線(xiàn)的方程為.2)過(guò)不共線(xiàn)三點(diǎn)的平面的方程為.行列式的應(yīng)用是十分廣泛的,本文只列舉了行列式在數(shù)學(xué)中幾個(gè)方面的應(yīng)用,隨著行列式理論的不斷發(fā)展與完善,它必將應(yīng)用到更加廣泛的領(lǐng)域中.結(jié)語(yǔ)通過(guò)對(duì)行列式的計(jì)算方法的研究發(fā)現(xiàn),不同的題目可能用到不同的計(jì)算方法,至于采用哪種方法進(jìn)行計(jì)算要視具體的題目而定.每一種方法都各具特色,每一種方法都是從根本上解決行列式計(jì)算難的問(wèn)題,簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程,避免了許多錯(cuò)誤的出現(xiàn).同樣的題目有時(shí)也可以用不同的方法來(lái)計(jì)算,只要我們多觀察行列式的特點(diǎn)就能找到適合的方法特別需要注意的是有的行列式的計(jì)算不是單純的一種方法就能夠完成,有時(shí)需要用到兩種或兩種以上的方法.在對(duì)行列式定義及其方法了解透徹的基礎(chǔ)上,可以將行列式靈活的運(yùn)用在解決其它問(wèn)題上.參考文獻(xiàn)1 王文省,趙建立,于增海,王廷明.高等代數(shù).山東大學(xué)出版社,2004.5.2 錢(qián)吉林.高等代數(shù)題解精粹m.北京:中央民族大學(xué)出版社,20023 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)m.北京：高等教育出版社,2003.4 趙樹(shù)原.線(xiàn)性代數(shù)(第三版)m.北京:中國(guó)人民大學(xué)