幾何知識點匯總教學材料

1、平面幾何知識點匯總（一）知識點一 相交線和平行線1.定理與性質對頂角的性質：對頂角相等。2.垂線的性質：性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。3.平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。4.平行線的性質：性質1：兩直線平行，同位角相等。性質2：兩直線平行，內錯角相等。性質3：兩直線平行，同旁內角互補。5.平行線的判定：判定1：同位角相等，兩直線平行。判定2：內錯角相等，兩直線平行。判定3：同旁內角相等，兩直線平行。知識點二 三角形一、三角

2、形相關概念1三角形的概念 由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結所組成的圖形叫做三角形要點：三條線段；不在同一直線上；首尾順次相接2三角形中的三種重要線段 （1）三角形的角平分線：三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線（2）三角形的中線：在一個三角形中，連結一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線（3）三角形的高線：從三角形一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足間的限度叫做三角形的高線，簡稱三角形的高二、三角形三邊關系定理三角形兩邊之和大于第三邊，故同時滿足abc三邊長a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b

3、三角形兩邊之差小于第三邊，故同時滿足abc三邊長a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a注意：判定這三條線段能否構成一個三角形，只需看兩條較短的線段的長度之和是否大于第三條線段即可三、三角形的穩(wěn)定性 三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個性質就叫做三角形的穩(wěn)定性例如起重機的支架采用三角形結構就是這個道理四、三角形的內角結論1：三角形的內角和為180°表示： 在abc中，a+b+c=180°結論2：在直角三角形中，兩個銳角互余注意：在三角形中，已知兩個內角可以求出第三個內角如：在abc中，c=180°（a+b）

4、在三角形中，已知三個內角和的比或它們之間的關系，求各內角如：abc中，已知a：b：c=2：3：4，求a、b、c的度數五、三角形的外角1意義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角2性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角.三角形的一個外角與與之相鄰的內角互補六、多邊形多邊形的對角線條對角線；n邊形的內角和為（n2）×180°；多邊形的外角和為360°知識點三 全等三角形一、全等三角形1、“全等”的理解 全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同的圖形；（2）大小相等的圖形；即能夠完全重合的兩個圖形叫全等形

5、。同樣我們把能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性質（1）全等三角形對應邊相等；（2）全等三角形對應角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三邊分別相等的兩個三角形全等。（sss）（2）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等。(asa)（3）兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等。(aas)（4）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。(sas)（5）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。(hl)4、角平分線的性質及判定性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等判定：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角平分線上二、軸對稱圖形（一）基本定義1.軸對稱圖形如果一

6、個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸.折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點.2.線段的垂直平分線經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線3.軸對稱變換由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換.4.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.5.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.（二）性質1.如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.或者說軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所

7、連線段的垂直平分線.2.線段垂直平分錢的性質線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.3.（1）點p（x，y）關于x軸對稱的點的坐標為p（x，-y）.（2）點p（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為p（-x，y）.4.等腰三角形的性質（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對稱軸.（4）等腰三角形兩腰上的高、中線分別相等，兩底角的平分線也相等.（5）等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半。（6）等腰三角形頂角的外角平分線平行

8、于這個三角形的底邊.5.等邊三角形的性質（1）等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°.（2）等邊三角形是軸對稱圖形，共有三條對稱軸.（3）等邊三角形每邊上的中線、高和該邊所對內角的平分線互相重合.（三）有關判定1.與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.2.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.3.三個角都相等的三角形是等邊三角形.4.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識點四 勾股定理1、勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2c2. 即直角三角形兩直角

9、邊的平方和等于斜邊的平方勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有下面關系：a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形。2. 勾股數：滿足a2b2c2的三個正整數叫做勾股數（注意：若a，b，c、為勾股數，那么ka，kb，kc同樣也是勾股數組。） *附：常見勾股數：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判斷直角三角形：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形。（經典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一個角為90°的三角形是直角三角形。 （2

10、）有兩個角互余的三角形是直角三角形。 用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（1）確定最大邊（不妨設為c）；（2）若c2a2b2，則abc是以c為直角的三角形；若a2b2c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；若a2b2c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）4.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。5. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。 （2）已知直角三角形

11、的一邊，求另兩邊的關系。（3）用于證明線段平方關系的問題。（4）利用勾股定理，作出長為的線段6.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法知識點五 四邊形 一、基本定義1四邊形的內角和與外角和定理：（1）四邊形的內角和等于360°；（2）四邊形的外角和等于360°.2多邊形的內角和與外角和定理：（1）n邊形的內角和等于(n-2)180°；（2）任意多邊形的外角和等于360°.3平行四邊形的性質：因為abcd是平行四邊形Þ4.平行四邊形的判定：.5.矩形的性質：因為abcd是矩形Þ6. 矩形的判定：Þ四邊形abc

12、d是矩形.7菱形的性質：因為abcd是菱形Þ8菱形的判定：Þ四邊形四邊形abcd是菱形.9正方形的性質：因為abcd是正方形Þ （1） （2）（3） 10正方形的判定：Þ四邊形abcd是正方形.(4)abcd是矩形又ad=ab 四邊形abcd是正方形11三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.二 定理：中心對稱的有關定理1關于中心對稱的兩個圖形是全等形.2關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.3如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱.三 公式： 1s菱形

13、=（a、b為菱形的對角線 ,c為菱形的邊長 ，h為c邊上的高）2s平行四邊形 =ah. （a為平行四邊形的邊，h為a上的高）3s梯形 =.（a、b為梯形的底，h為梯形的高,l為梯形的中位線）四 常識：1若n是多邊形的邊數，則對角線條數公式是：.2如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關系.知識點六 圓1、圓的定義：（）在一個平面內線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點叫做圓心，線段叫做半徑。（）圓是所有點到定點的距離等于定長的點的集合。注意：確定一個圓有個元素，一個是圓心，一個是半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。、和圓相關的概念：（）弦：連

14、結圓上任意兩點的線段；（弦不一定是直徑，直徑一定是弦，直徑是圓中最長的弦）（）直徑：經過圓心的弦；（）?。簣A上任意兩點間的部分；（弧的度數等于這條弧所對的圓心角的度數，等于這條弧所對圓周角的兩倍）（）半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；（）優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧，用三個大寫字母表示；（）劣?。盒∮诎雸A的弧，用兩個大寫字母表示；（）弓形由弦及其所對的弧組成的圖形；（）等圓：能夠重合的兩個圓；（）等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧；（）同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓；（）圓心角：定點是圓心的角；（）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角；（）弦心距：圓心到弦

15、的距離。注意：（）直徑等于半徑的倍；（）同圓或等圓的半徑相等；（）等弧必須是同圓或等圓中的?。唬ǎ┗￠L相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧長必相等。、圓心角的定義及性質：（）圓心角的定義：定點是圓心的角叫做圓心角。（）圓心角、弦、弧的有關定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等；在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對的圓心角相等，所對的弦相等；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等，所對的弧相等。4、圓周角的定義及性質：（）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。注意：圓周角必須具備兩個條件：頂點在圓上；角的兩邊都和圓相交，二

16、者缺一不可；圓周角和圓心角的相同點：兩邊都和圓相交；不同點：圓心角的頂點在圓心；圓周角的頂點在圓上。（）圓周角的性質：一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半；在同圓或等圓中，同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于°（直角）；°的圓周角所對的弦是圓的直徑，所對的弧是半圓；如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。5、垂徑定理與推理：（）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。注意：這個結論中涉及圓中不是直徑的弦與直徑所在直線的關系，如果圓的一條非直徑的弦和

17、一條直線滿足以下五個條件中的任意兩個，那么它一定滿足其余三個：直線過圓心；直線垂直于弦；直線平分弦；直線平分弦所對的劣弧；直線平分弦所對的優(yōu)弧，也可簡單地理解為“二推三”。（）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。6、圓的對稱性：（）圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。注意：圓具有旋轉不變性，有無數條對稱軸。（）在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中，有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也分別相等。注意：運用本知識時應注意其成立的條件：“在同圓或等圓中”，也可簡單地理解為“一推三”

18、。、點與圓的位置關系：點與圓有三種位置關系：點在圓外、點在圓上、點在圓內。設的半徑為，點到圓心的距離為，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內。注意：可以根據點到圓心的距離與圓的半徑的大小比較來確定點與圓的位置關系。、確定圓的條件：過一個點可以作無數個圓；過兩個點可以作無數個圓，這些圓的圓心在連接這兩個點的線段的垂直平分線上；過在同一條直線上的三個點不能作圓；過不在同一直線上的三個點可確定一個圓。、三角形的外接圓及外心：經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形。注意：（）三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點；三角形的外心到三角形三

19、個頂點的距離相等，任何三角形有且只有一個外接圓，任何一個圓有無數個內接三角形；（）銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心是斜邊的中點，外接圓的半徑等于斜邊的一半；鈍角三角形的外心在三角形的外部。10、圓的內接四邊形：如果一個四邊形的各個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓。定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。注意：圓的內接平行四邊形是矩形；圓的內接梯形是等腰梯形。11、直線與圓的位置關系：相交、相切、相離。（）直線和圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交，這時直線叫做圓的割線；（）直線和圓有唯一公共點時，叫做直線與圓

20、相切，這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點；（）直線和圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。若的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線與圓的位置關系、交點個數及與的數量關系如下表：直線與圓的位置關系相離相切相交交點個數與數量關系注意：可以根據圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較來判定直線與圓的位置關系。12、切線的判定與性質：（）切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線必須滿足兩個條件：經過半徑的外端；垂直于這條半徑。兩個條件缺一不可。注意：在判定直線與圓相切時，若直線與圓的公共點已知，證題方法是“連半徑，證垂直”；若直線與圓的公共點未知，證題方法是作垂線，證半徑。

21、這兩種情況可概括為一句話：“有點連半徑，無點作垂線”。（）切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。推論：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。注意：圓的切線性質定理與它的兩個推論涉及了一條直線的三條性質：垂直于切線；過圓心；過切點。如果一條直線滿足以上三個條件中的任意兩個，那它一定滿足另外一個條件，也可以簡單地理解為“二推一”。13、三角形的內切圓和內心：（）定義：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。（）性質：三角形的內心是三角形三內角的角平分線的交點，三角形的內心到三角形三邊的距離相

22、等。注意：任意三角形有且只有一個內切圓，內心一定在三角形內，任意一個圓有無數個外切三角形；如果三角形三邊長分別為、，內切圓半徑為r，則三角形的面積½（）。14、切線長定理：（）定義：在經過圓外一點的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。（）定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。注意：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等。15、弧長的計算：（）圓周長公式：（為圓的半徑）（）弧長公式：2rn/360°=rn/180（為弧所對的圓心角度數，不帶單位，為圓的半徑）16、扇形面積的計算：（）扇形的定義：由組成圓心角的兩條

23、半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。（）圓的面積公式：2（為圓的半徑）（）扇形的面積公式：扇形=（為扇形所在圓的半徑，為扇形的弧長）注意：在運用扇形的面積公式時，應注意以下幾點：（）公式中的與弧長公式中的一樣，表示°的圓心角的倍數，不帶單位；（）扇形面積公式扇形與內切圓中的三角形面積公式十分類似；（）根據扇形面積公式及弧長公式，已知扇形、四個量中的任意兩個量都可以求出另外兩個量。17、圓錐的側面積與全面積：（）圓錐的有關概念：圓錐是由一個底面和一個側面組成的。我們把圓錐底面圓周長上任意一點與圓錐頂點的連線叫做圓錐的母線，連結頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高。（）圓錐的側面展開圖：沿著圓錐的母線可把圓錐的側面展開，圓錐的側面積展開圖是扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長。（）圓錐的側面積和全面積公式：圓錐的側面積就是弧長為圓錐底面圓的周長，半徑為圓錐的一條母線長的扇形面積，其計算公式為：側；而圓錐的全面積就是它的側面積與它的底面