淺談魔方中的數(shù)學(xué)思想

1、淺談魔方中的數(shù)學(xué)思想學(xué)生姓名：之花127 一、引言魔方是一種休閑益智玩具.生活中人們所熟知的魔方(rubiks cube)是匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院魯比克(rubik)教授于年發(fā)明的教學(xué)道具.這種方魔 (rubiks cube)是由個(gè)塊方的成組, 個(gè)每塊方都能繞心中轉(zhuǎn)意任向方的體方立.總來(lái)的說(shuō),方魔的法玩就是轉(zhuǎn)動(dòng)魔方令其上每個(gè)面的方塊顏色一致(還原)或排列組合出有規(guī)律的圖案.魔方轉(zhuǎn)動(dòng)一次相當(dāng)于魔方一層上所有的方塊(有限元素)進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)意義上的變換.所以,魔方的構(gòu)造與操作過(guò)程中蘊(yùn)含著一定的數(shù)學(xué)思想.簡(jiǎn)而言之一些數(shù)學(xué)思想比如變換、坐標(biāo)、組合等都可以在魔方上找到現(xiàn)實(shí)具體的運(yùn)用.二、魔方的基礎(chǔ)知識(shí)（

2、一）魔方的歷史與結(jié)構(gòu) 生活中人們所常見(jiàn)的魔方(rubiks cube)是匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院魯比克(rubik)教授于1974年設(shè)計(jì)的教學(xué)道具.這種魔方是由個(gè)方塊組成的,每個(gè)方塊都能繞中心轉(zhuǎn)任意方向的立方體.經(jīng)過(guò)近40年的發(fā)展,原始的傳統(tǒng)意義上的魔方已經(jīng)創(chuàng)造性的衍生出了由方塊組成的各個(gè)方向都能夠轉(zhuǎn)動(dòng)的多種多樣的幾何體魔方玩具.在外形設(shè)計(jì)的角度,傳播最早的魔方(rubiks cube)也可以稱作三階立方體魔方,繼相有還階二、階四、階五等種多數(shù)階的體方立方魔,目前絡(luò)網(wǎng)上一方魔者好愛(ài)計(jì)設(shè)并造制了高最的階十七體方立方魔(2011).除體方立方魔外之有還它其體面多方魔和型異方魔.設(shè)計(jì)各種外形的幾何體魔

3、方時(shí)使其各個(gè)組成部分具有良好的旋轉(zhuǎn)性是基本要求.這就使得魔方的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)豐富多樣、精簡(jiǎn)巧妙.1.階從外形設(shè)計(jì)來(lái)看,立方體魔方每條棱上方塊數(shù)目就是該魔方的階數(shù).因此,生活中人們普遍見(jiàn)到玩賞的方魔可稱作階三體方立方魔.最初魔方在作為增加學(xué)生空間方位感覺(jué)的教學(xué)道具設(shè)計(jì)時(shí),魔方發(fā)明人rubik教授考慮到從數(shù)學(xué)思維角度來(lái)說(shuō),(即二階立方體魔方)理論上是外形結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的體方立魔方,然而在過(guò)經(jīng)驗(yàn)實(shí)后作操現(xiàn)發(fā)他,在械機(jī)計(jì)設(shè)的度角上慮考話的,魔方在部?jī)?nèi)造構(gòu)上是最易容現(xiàn)實(shí)塊方各度角轉(zhuǎn)旋并備具最單簡(jiǎn)械機(jī)構(gòu)結(jié)的體方立魔方.2.軸 中心塊 棱塊 角塊如圖1所示，在拆開三階立方體魔方后,可以觀察到它的內(nèi)部構(gòu)造.一個(gè)以

4、可各向方動(dòng)轉(zhuǎn)的項(xiàng)六頭接在處的魔方的心中.其上個(gè)六頭接是即方魔的軸.一個(gè)塊方分別用螺絲、墊片、彈簧固定在每個(gè)接頭,這個(gè)方塊稱為中心塊.所以從內(nèi)部構(gòu)造的度角階三方魔被也作稱階三軸六魔方.六個(gè)中心塊被固定在魔方的六個(gè)軸上,而同一面上的四個(gè)中心塊可以繞垂直于這個(gè)面的兩個(gè)軸旋轉(zhuǎn).所以中心塊之間的相互位置不會(huì)在轉(zhuǎn)魔方過(guò)程中改變.綜上,塊心中的色顏以可定確它面在所的色顏,這就示表在面該它其塊方的色顏的斷判上以應(yīng)塊心中的色顏為準(zhǔn)基. 實(shí)際上,魔方是由個(gè)方塊（除去中心的一塊）組成.除了以上所說(shuō)的個(gè)中心塊以外,其它個(gè)方塊中:個(gè)方塊是兩個(gè)面涂有顏色,它們的正確位置和朝向?qū)⒂蓛蓚€(gè)中心塊決定,稱之為棱塊;個(gè)方塊有三個(gè)面

5、涂有顏色(以下把涂有顏色的面稱為有色面),它們的正確位置和朝向由三個(gè)中心塊決定,稱之為角塊.如圖1在計(jì)設(shè)上塊棱和塊角都有具出突的腳小,塊棱的側(cè)兩有都裝弧的口缺,這些腳小和口缺與都?jí)K心中扣緊在一起.這樣棱塊和角塊就能夠隨著所在層的轉(zhuǎn)動(dòng)而向各個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng),并且緊扣在中心塊上而不會(huì)在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)從魔方上脫落.（二）魔方的玩法魔方的作操,即針時(shí)順或針時(shí)逆動(dòng)轉(zhuǎn)魔方的某層一或?qū)觾?作操單簡(jiǎn)得使玩方魔起來(lái)看易容.不過(guò)玩過(guò)的人都明白玩魔方并不容易,而且玩魔方需要記憶一些步驟.對(duì)大部分人來(lái)說(shuō)初始接觸的魔方都是三階魔方,它有正方體的外形,個(gè)面上都有個(gè)有色塊.大體上而言使每個(gè)面的有色塊的顏色都相同是玩魔方的游戲目標(biāo),也就是

6、還原魔方.自然的,各個(gè)有色塊是組成魔方的方塊的一部分.實(shí)際操作魔方,即轉(zhuǎn)動(dòng)魔方的過(guò)程中,方塊之間能夠互換位置或者方塊自身會(huì)變換朝向.事實(shí)上,rubik教授在制造出世界上第一個(gè)魔方后隨意轉(zhuǎn)動(dòng)之后想要還原魔方就花費(fèi)了三個(gè)多月的時(shí)間.還原魔方的困難之處就在于:移動(dòng)一個(gè)方塊時(shí)伴隨著其它多個(gè)方塊的移動(dòng)(中心塊除外).在還原的初始階也許這構(gòu)不成較大的困難，然而隨著多數(shù)方塊達(dá)到正確的位置,這時(shí)新的轉(zhuǎn)動(dòng)必然會(huì)使這些方塊離開正確的位置,如何在轉(zhuǎn)動(dòng)中不斷還原已完成好的部分是個(gè)難題.在學(xué)數(shù)的域領(lǐng)就應(yīng)對(duì)著有元限的換變和逆換變問(wèn)題.今當(dāng)?shù)姆侥且环N不僅閑休的力智具玩,玩方魔更展發(fā)為成了技競(jìng)動(dòng)運(yùn).為作技競(jìng)動(dòng)運(yùn)的魔方法玩富

7、豐樣多.種各魔方玩的界世錄記不斷被新刷,如快最原還魔方錄記者持保為生出于亞利澳大歲 feliks zemdegs,他的最快記錄為秒(2010年).魔方的種類除了傳播最早的魔方(rubiks cude)也可以稱作三階立方體魔方,相繼還有二階、四階、五階等多種階數(shù)的立方體魔方, 前目絡(luò)網(wǎng)上些一魔方者好愛(ài)計(jì)設(shè)并造制了高最的階十七體方立魔方.除體方立魔方外之有還它其體面多魔方和型異魔方.魔方的數(shù)軸、向軸、數(shù)階、狀形在魔方者好愛(ài)斷不試嘗與造創(chuàng)中得變富豐彩多.三、魔方中的數(shù)學(xué)思想（一）排列組合的思想“意隨的動(dòng)轉(zhuǎn)魔方使魔方的面?zhèn)€六原還能可嗎?”通過(guò)魔方旋轉(zhuǎn)其上的色塊一共可以組合出多少種圖案,利用組合的數(shù)學(xué)思

8、想,我們可以得到魔方可以變換種案圖.首先,易容到想果如動(dòng)不轉(zhuǎn)魔方層間中,魔方的個(gè)六塊心中的置位會(huì)不變改,相對(duì)的旋轉(zhuǎn)上下兩層相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)中間層.通過(guò)這種方式可以固定魔方的空間位置,即立建一個(gè)間空系標(biāo)坐.其次,在這個(gè)系標(biāo)坐中個(gè)塊角的置位全列排為,又因?yàn)槊總€(gè)角塊有三個(gè)有色面,所以角塊所有的圖案組合為中.同理,魔方上的棱塊有個(gè),每個(gè)棱塊有個(gè)有色面,棱塊全部圖案有個(gè).再次,魔方上不存在以下的操作結(jié)果:只有一個(gè)角塊或一個(gè)棱塊的有色面變換了朝向,只有一對(duì)角塊或者一對(duì)棱塊相互交換了位置.所以除以.最后得到以上結(jié)果.如果人的平均壽命為年每秒轉(zhuǎn)動(dòng)魔方下,除去重復(fù)的圖案,每個(gè)人吃飯睡覺(jué)都在轉(zhuǎn),億人經(jīng)過(guò)億年時(shí)間就可以轉(zhuǎn)

9、出所有不同的圖案.所以通過(guò)隨意轉(zhuǎn)魔方而還原魔方有人可能終其一生都無(wú)法完成.“拆開重新組裝的魔方一定正確嗎?”首先,個(gè)中心塊固定在魔方中心的六個(gè)接頭上.其次,剩下的個(gè)方塊有:個(gè)角塊和個(gè)棱塊.個(gè)角塊的位置,以及每個(gè)角塊有個(gè)有色面,一共有種安裝角塊的方式.同理,共有種安插個(gè)棱塊的方法.魔方有種組裝方法.相對(duì)于魔方轉(zhuǎn)動(dòng)變換出的圖案種類魔方組裝的圖案要多很多.對(duì)比上文可以得到正確組裝一個(gè)魔方的概率為.可以想到,在復(fù)原魔方的過(guò)程中試圖通過(guò)拆卸魔方方塊而簡(jiǎn)化復(fù)原步驟的辦法是不可行的.（二）群論的思想1.魔方中的對(duì)稱生活中,幾何體的鏡面對(duì)稱(關(guān)于某個(gè)平面的對(duì)稱)是很常見(jiàn)的,魔方的結(jié)構(gòu)也體現(xiàn)了這種對(duì)稱性.然而,

10、對(duì)稱的含義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了鏡面對(duì)稱,需要用到群論的思想作為研究的工具.關(guān)于面平稱對(duì),若一個(gè)體何幾被某面平成劈分部?jī)?其中任一分部都是另一分部于關(guān)給所面平的面鏡像映,則該體何幾關(guān)于面平稱對(duì),即該體何幾成面鏡稱對(duì).關(guān)于線直稱對(duì),若一個(gè)體何幾上的點(diǎn)每于關(guān)線直的點(diǎn)稱對(duì)在該體何幾上,則個(gè)這體何幾關(guān)于該直線對(duì)稱,即這條直線是該幾何體的二階對(duì)稱軸.反過(guò)來(lái)講,如果一個(gè)幾何體具有二階對(duì)稱軸,那么該幾何體圍繞軸轉(zhuǎn)后與本身重合.類似的,若幾何體圍繞一條直線旋轉(zhuǎn)后與本身重合,則這條直線稱為該幾何體的n階對(duì)稱軸.關(guān)于點(diǎn)稱對(duì),即心中稱對(duì),若段線的點(diǎn)中點(diǎn)為,則點(diǎn)段于關(guān)點(diǎn)成心中稱對(duì).如果某體何幾上的每點(diǎn)一個(gè)都以可在該體何幾上找到于

11、關(guān)給點(diǎn)定成心中稱對(duì)的點(diǎn),那么就稱該體何幾關(guān)點(diǎn)于稱對(duì).如圖2體方正有具階軸稱對(duì)(如圖2)、階軸稱對(duì)(如圖2)、階軸稱對(duì)(如圖2),同時(shí)正方體關(guān)于中心(即正方體體對(duì)角線的交點(diǎn))點(diǎn)對(duì)稱.三階魔方的外形正是這種具有僅次于球體的對(duì)稱性質(zhì)的正方體.2.魔方中的變換魔方的變換為旋轉(zhuǎn)魔方是方塊位置的變換,而在立體空間中,平移、旋轉(zhuǎn)和鏡面映像為三種不改變幾何體大小的空間運(yùn)動(dòng).在空間中任取一直線,若空間中點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線相互對(duì)應(yīng),則點(diǎn)或點(diǎn)繞軸轉(zhuǎn)一個(gè)確定的角度后與另一個(gè)相重合.所以間空換變轉(zhuǎn)旋是一一應(yīng)對(duì)的換變.同時(shí),在轉(zhuǎn)旋化變中持保了轉(zhuǎn)旋點(diǎn)的軸到離距不變.設(shè)合集,是的一個(gè)集子,為的一個(gè)換變,若集子中每點(diǎn)一個(gè)的在換變用

12、作為仍下的中點(diǎn).則集子是變不的或稱對(duì)的,或者說(shuō)換變畫刻了集子的稱對(duì)性.設(shè)為集合中保持不變的所有變換的集合,則滿足以下的性質(zhì):,; ;中必有含等恒換變,有意任素元與等恒換變運(yùn)作持保變不,則含有位單元;,.3.群的一般概念設(shè)空非合集中定規(guī)一個(gè)算運(yùn)“”,若該算運(yùn)足滿下以的個(gè)四質(zhì)性, 群就為說(shuō). 封閉律,; 結(jié)合律,; 單位元,; 逆元律,.據(jù)此上文所描述的對(duì)稱的變換的全體在規(guī)定運(yùn)算后構(gòu)成一個(gè)群,則稱該群為對(duì)稱變換群.通過(guò)構(gòu)建對(duì)稱變換群的形式來(lái)研究幾何體的對(duì)稱性是有效的,例如：三階魔方的外形是正六面體,因此正六面體對(duì)稱群成為了魔方的變換研究方面的數(shù)學(xué)依托.4.魔方群構(gòu)造 魔方有上種六色顏和類三塊方,

13、塊角有個(gè)面色有,個(gè)面色有著隨塊角的動(dòng)轉(zhuǎn)而換互置位,每交換一次要?jiǎng)愚D(zhuǎn),此為階對(duì)稱軸的性質(zhì),棱塊有個(gè)有色面,每交換一次轉(zhuǎn)動(dòng),這是階對(duì)稱軸的性質(zhì). 一般的以可用字?jǐn)?shù)來(lái)表代量變,從而可以用數(shù)字的置換代替變量的置換.如正三角形的稱對(duì)換變用可字?jǐn)?shù)的換置表示:所以三角正形的稱對(duì)換變?yōu)槿? 若把魔方每一個(gè)有色面用數(shù)字標(biāo)記出來(lái)(中心塊除外),則有個(gè)有色面被標(biāo)記.如果任何兩個(gè)有色塊能夠相互調(diào)換位置,則個(gè)有色面的置換的數(shù)目就是.稱這些換置的體全為次換置群,作記.到得可:面六正體的稱對(duì)群是,則面六正體的稱對(duì)群的階為.魔方換變的體全為稱群方魔(下文證明）.群方魔是群子的一個(gè).原因于在魔方在上塊角能只與塊角生發(fā)置位的換互

14、,不能與塊棱進(jìn)行置位換互,同樣塊棱也只可以和塊棱行進(jìn)換互位置. 例如, 順時(shí)針把圖3中的所在面轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),就會(huì)得到如下置換: 用示來(lái)表魔方面色有動(dòng)轉(zhuǎn)的換置,則 自然地,可以寫出其它個(gè)面上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)置換: 可以得到, 群方魔由是、六個(gè)換置在群子中成生的.由一個(gè)素元成生的群稱為群環(huán)循.形如的素元成構(gòu)群環(huán)循.這些素元為稱的冪方,即,.上述的六個(gè)置換可生成群,就是魔方群.即中含有所有的魔方變換.不難想到, 原還魔方的程過(guò)使魔方從始初態(tài)狀,過(guò)經(jīng)干若后的魔方換變,到回始初態(tài)狀的程過(guò)中體現(xiàn)了魔方變換的循環(huán)以及魔方變換的逆變換.魔方變換都可以多次重復(fù)操作中實(shí)現(xiàn)魔方狀態(tài)的循環(huán).例如,如圖5中所示魔方依次完成圖中所示

15、的旋轉(zhuǎn)可以現(xiàn)實(shí)魔方一層點(diǎn)頂、小彎拐、字一、字十的案圖循環(huán).5.魔方群性質(zhì) .,共.,.,.:,.因此,中心塊可以代表它所在的面,這也建立了一個(gè)固定的參考系.,.,:,.().,.根據(jù)以上的描述中心塊建立了一個(gè)固定的參考系,如果用表示對(duì)應(yīng)面的中心塊,則角塊可以用表示其方位,其含義為:位于面面面相交處的方塊.如表示(上)面(前)面(左)面相交的方塊.類似地,用表示棱塊,含義為:面面相交處的邊塊.如,.用表示魔方狀態(tài),即各方塊和有色面的方位,用表示魔方在狀態(tài)經(jīng)過(guò)操作后所生成的新狀態(tài).同時(shí),合成運(yùn)算是從左向右的,有.證明 中的任何元素都能夠表示為若干基本旋轉(zhuǎn)的合成,則中任意兩個(gè)元素的合成仍然是有限個(gè)基

16、本宣戰(zhàn)的合成.所以中的合成運(yùn)算滿足封閉律.用表示魔方狀態(tài),則有: ,.,.,.,.,.交換性 . . .證明 .,.,.證明 魔方群中,相對(duì)面旋轉(zhuǎn)變換是不相交的.根據(jù)定理2,相對(duì)面的旋轉(zhuǎn)變換是可交換的,則有.作用 傳遞性 軌道,.證明 魔方群,有:,.,;:.、.、.證明 以魔方前面左下方的角塊為例,用表示.操作旋轉(zhuǎn):,后角塊將沿著轉(zhuǎn)動(dòng)的路徑通過(guò)全部角塊的位置,最終返回起始點(diǎn).因此在,.、.,.引理3 . 引理4 .,.共軛 換位子魔方的還原是一個(gè)復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)操作過(guò)程,因?yàn)樾枰綌?shù)目較多的置換合成.若沒(méi)有計(jì)劃的隨意亂轉(zhuǎn),一定會(huì)把魔方狀態(tài)便得更加復(fù)雜.一下描述共軛和換位子在魔方還原中的作用. 共軛

17、在魔方還原中是一種常見(jiàn)的手法.引理4說(shuō)明把映射到,則的共軛 把映射到. ,.在論群中, 子位換是以可來(lái)用量衡合集素元的性換交, 來(lái)起看與方魔原還有沒(méi)點(diǎn)一系關(guān),事實(shí)上,換位子在魔方還原中反而起著簡(jiǎn)化還原步驟的作用.根據(jù)上文每個(gè)旋轉(zhuǎn)作用是由個(gè)長(zhǎng)度為的不相的交循環(huán)合成的.在還原魔方時(shí),每旋轉(zhuǎn)一次,就有個(gè)有色面重新排列,因此在無(wú)規(guī)律的連續(xù)旋轉(zhuǎn)后的魔方狀態(tài)會(huì)十分混亂,人們希望盡可能的保持已經(jīng)還原的部分不變,在這方面換位子的重要性就顯現(xiàn)出來(lái)了.魔方群中換位子定義的實(shí)際操作構(gòu)成,假設(shè)和是魔方相鄰兩面的旋轉(zhuǎn),表示在轉(zhuǎn)動(dòng)之后再旋轉(zhuǎn),最后因?yàn)楹托D(zhuǎn)而改變的部分方塊或有色面可以復(fù)原到旋轉(zhuǎn)之前.從而換位子簡(jiǎn)化了魔方的還原過(guò)程.在實(shí)