三角形中的幾何計算謝雙峻

1、蒼溪中學(xué) 謝雙峻課 題：正弦定理、余弦定理（4）教學(xué)目的：1進一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2能夠應(yīng)用正、余弦定理進行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理判斷三角形的形狀；4能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學(xué)重點：利用正、余弦定理進行邊角互換時的轉(zhuǎn)化方向教學(xué)難點: 三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式1啟發(fā)學(xué)生在證明三角形問題或者三角恒等式時，要注意正弦定理、余弦定理的適用題型與所證結(jié)論的聯(lián)系，并注意特殊正、余弦關(guān)系的應(yīng)用，比如互補角的正弦值相等，互補角的余弦值互為相反數(shù)等；2引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三角恒等式的

2、證明或者三角形形狀的判斷，重在發(fā)揮正、余弦定理的邊角互換作用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：正弦定理：余弦定理： ，二、講解范例：例1在任一abc中求證：證：左邊=0=右邊例2 在abc中，已知，b=45° 求a、c及c解一：由正弦定理得：b=45°<90° 即b<a a=60°或120°當a=60°時c=75° 當a=120°時c=15° 解二：設(shè)c=x由余弦定理 將已知條件代入，整理：解之：當時 從而a=60° ，c=75°當時同理可求得：a=120° ，c=15&#

3、176;例3 在abc中，bc=a, ac=b, a, b是方程的兩個根，且2cos(a+b)=1 求（1）角c的度數(shù) （2）ab的長度 （3）abc的面積解：（1）cosc=cosp-(a+b)=-cos(a+b)=- c=120°（2）由題設(shè)： ab2=ac2+bc2-2acbcosc 即ab=（3）sabc=例4 如圖，在四邊形abcd中，已知adcd, ad=10, ab=14, Ðbda=60°, Ðbcd=135° 求bc的長解：在abd中，設(shè)bd=x則即 整理得：解之： （舍去）由余弦定理： 例5 abc中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)

4、，最大角為鈍角，1°求最大角 ; 2°求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積解：1°設(shè)三邊 且c為鈍角 解得 或3 但時不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去當時 2°設(shè)夾c角的兩邊為 s當時s最大=例6 在abc中，ab5，ac3，d為bc中點，且ad4，求bc邊長分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)bc為后，建立關(guān)于的方程而正弦定理涉及到兩個角，故不可用此時應(yīng)注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用因為d為bc中點，所以bd、dc可表示為，然用利用互補角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程解：設(shè)bc邊為，則由d為bc中點，可得bddc，在adb中

5、，cosadb在adc中，cosadc又adbadc180°cosadbcos（180°adc）cosadc解得，2, 所以，bc邊長為2評述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型另外，對于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解sina，思路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得，設(shè)bd5，dc3，則由互補角adc、adb的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出bc后，再結(jié)合余弦定理求出cosa，再由同角平方關(guān)系求出sina三、課堂練習(xí)：1半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為025，求此三角形三邊長的乘積解：設(shè)ab

6、c三邊為a，b，c則abc又，其中r為三角形外接圓半徑, abc4rsabc4×1×0251所以三角形三邊長的乘積為1評述：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：，其中r為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式abc發(fā)生聯(lián)系，對abc進行整體求解2在abc中，已知角b45°，d是bc邊上一點，ad5，ac7，dc3，求ab解：在adc中，cosc又0c180°，sinc在abc中，ab評述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生注意正、余弦定理的綜合運用3在abc中，已知cosa，sinb，求cosc的值解：cos

7、acos45°，0a45°a90°, sinasinbsin30°，0b0°b30°或150°b180°若b150°，則ba180°與題意不符0°b30° cosbcos（ab）cosa·cosbsina·sinb又c180°（ab）cosccos180°（ab）cos（ab）評述：此題要求學(xué)生在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時，應(yīng)根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對正負進行取舍，在確定角的范圍時，通常是與已知角接近的特殊角的三角函

8、數(shù)值進行比較四、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家注意常見解題方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解能力五、課后作業(yè)：六、板書設(shè)計（略）七、課后記及備用資料： 1正、余弦定理的綜合運用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得：sin2asin2bsin2c2sinbsinccosa這是只含有三角形三個角的一種關(guān)系式，利用這一定理解題，簡捷明快，下面舉例說明之例1在abc中，已知sin2bsin2csin2asinasinc，求b的度數(shù)解：由定理得sin2bsin2asin2c2sina

9、sinccosb，2sinasinccosbsinasincsinasinc0 cos b150°例2求sin210°cos240°sin10°cos40°的值解：原式sin210°sin250°sin10°sin50°在sin2asin2bsin2c2sinbsinccosa中，令b10°，c50°，則a120°sin2120°sin210°sin250°2sin10°sin50°cos120°sin210

10、6;sin250°sin10°sin50°（）2例3在abc中，已知2cosbsincsina，試判定abc的形狀解：在原等式兩邊同乘以sina得：2cosbsinasincsin2a，由定理得sin2asin2csin2sin2a，sin2csin2bbc故abc是等腰三角形2一題多證例4在abc中已知a2bcosc，求證：abc為等腰三角形證法一：欲證abc為等腰三角形可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù)由正弦定理得a2bcosc，即2cosc·sinbsinasin（bc）sinbcosccosbsincsinbcosccosbsinc0即sin（bc）0，bc（）