第七章信號與系統(tǒng)

1、第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 第第 7 章章 離散信號與系統(tǒng)的離散信號與系統(tǒng)的Z域分析域分析7.1 Z變換變換 7.2 雙邊雙邊Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 7.3 Z逆變換逆變換 7.4 單邊單邊Z變換變換 7.5 離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的Z域分析域分析 7.6 離散系統(tǒng)差分方程的離散系統(tǒng)差分方程的Z域解域解 7.7 離散系統(tǒng)的表示和模擬離散系統(tǒng)的表示和模擬 7.8 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 7.1 Z 變變 換換 )()()()()()()(kTtkTfkTttfttftfkkTs7.1.1Z變換的定義變換的定義我們利用抽樣信號的拉普拉斯變換

2、來定義Z變換。將連續(xù)信號f(t)乘以周期沖激函數(shù)序列T(t),即進(jìn)行理想抽樣得到抽樣信號 (7.11) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 kskTsskTftfLsFe )()()(kkzkTfzF)()(kkzkfzF)()(式中T為抽樣間隔。對式(7.11)取雙邊拉普拉斯變換，得 (7.12) ,sTez 令將上式記為F(z),并將其中f(kT)簡記為f(k),則得 (7.13) 稱該式為序列f(k)的雙邊Z變換變換,常記為Zf(k)。式中，變量-k,求和運算涉及f(k)在整個K域上的序列值。如果求和運算僅涉及f(k)中k0區(qū)間上的序列值，即(7.14) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z

3、域分析 則稱為序列f(k)的單邊Z變換變換。容易驗證，對于因果序列f(k)(k),由于 0)()()()(kkkkzkfzkkfzF(7.15) 故其雙邊、單邊Z變換的結(jié)果是相同的。在離散信號與系統(tǒng)分析中，經(jīng)常使用單邊Z變換，所以在無特別說明時，其Z變換一般均指單邊Z變換。 將式(7.13)兩端乘以zn-1,n為任一整數(shù)，并在收斂域中進(jìn)行積分，得 kCknkkCnCnzzkfzzkfzzzzFd)(d )(d)(111(7.16) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 式中,積分路徑C是復(fù)平面上環(huán)繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向的圍線。根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論中的柯西公式，當(dāng)n-k-1=-1,即k=n時，上式右

4、端的積分值等于2j，否則積分為零。考慮到n是整數(shù)，故求和式中除k=n外，其余各項均為零。于是有 )(j2d)(1nfzzzFCn把上式中的n用k代替，得 CkzzzFkfd)(j21)(1(7.17) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 稱該式為F(z)的雙邊Z逆變換，并記為F(z)=Z-1F(z)。顯然，對于單邊Z變換F(z)而言,上式可寫為CkzzzFzFZkf,d)(j21, 0)()(11k0 k0 (7.18) 有時，也稱式(7.18)為F(z)的單邊單邊Z逆變換。逆變換。實際應(yīng)用中，常常稱Z變換F(z)為序列f(k)的象函數(shù),f(k)為F(z)的原函數(shù)。用符號“f(k)F(z)”

5、表示原函數(shù)與象函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 7.1.2Z變換的收斂域變換的收斂域定義式(7.13)和(7.14)表明，序列f(k)的Z變換是復(fù)變量z的冪級數(shù)。顯然，只有當(dāng)冪級數(shù)收斂時，其Z變換才有意義。因此，這里有一個Z變換的收斂域問題。對于任意有界序列f(k),能使Z變換存在的z的取值范圍稱為Z變換的收斂域，常簡記為ROC。根據(jù)數(shù)學(xué)上級數(shù)收斂判定方法，得到冪級數(shù)收斂或Z變換存在的充要條件是kkzkf|)(|(7.19) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.11求因果序列f(k)=ak(k)的Z變換和收斂域（式中a為常數(shù)）。解解按式(7.13),序列f(

6、k)的雙邊Z變換 NkkNkkkkkazazzkazF011)(lim)()()(利用等比級數(shù)求和公式，求得 無界或不確定azzazazzFNN1111)(1lim)(|az-1|a| |az-1|1,即|z|a| 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 可見，對于因果序列f(k),僅當(dāng)|z|a|時，其雙邊Z變換存在。在Z平面上，ROC是以原點為中心、半徑=|a|為圓的圓外區(qū)域，如圖7.11(a)所示。稱為收斂半徑。F(z)是z的有理函數(shù),與拉普拉斯變換類似，可以用它的零點和極點來表征。本例中，F(xiàn)(z)具有一個零點z=0和一個極點z=a,在圖7.11(a)中分別用符號“”和“”表示。最后，求得因

7、果序列與其雙邊Z變換的對應(yīng)關(guān)系為|,)(azazzkak(7.110) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 圖7.11 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.12求反因果序列f(k)=-ak(-k-1)的Z變換及其收斂域（式中a為常數(shù)）。解解由于k0時f(k)=0,故其單邊Z變換等于零。f(k)的雙邊Z變換為111)()() 1()(kkkkkkkkzazazkazF令m=-k,代入上式，得 ,1)(lim)(lim)()(11111111無界或不確定azzzazazazazazFNNNmmNmm|az-1|a| |az-1|1,即|z|a| 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 反

8、因果序列f(k)與雙邊Z變換之間的對應(yīng)關(guān)系為 | ,) 1(azazzkak(7.111) 雙邊Z變換F(z)的零極點分布及其ROC如圖7.11(b)所示。圖中表明，F(xiàn)(z)具有一個零點z=0和一個極點z=a,ROC是以原點為中心、半徑=|a|為圓的圓內(nèi)區(qū)域。比較式(7.110)和式(7.111)可知，兩個不同序列，在不同ROC內(nèi)可能具有相同的象函數(shù)。因此，對于雙邊Z變換，為使序列與Z變換間滿足一一對應(yīng)關(guān)系，除給出象函數(shù)外，還必須同時說明其ROC。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.13求雙邊序列 ) 1()()(kbkakfkk的Z變換及其收斂域（式中a、b為常數(shù)）。解解根據(jù)雙邊

9、Z變換定義，求得 1101)()()1()()()(kkkkkkkkkkbzazzkbkazkfzF(7.112) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 如果|a|b|,則F(z)的ROC是式(7.112)中兩項級數(shù)ROC的公共區(qū)域，即|a|z|b|,是一位于半徑為|a|和|b|的兩個圓之間的環(huán)狀區(qū)域，如圖7.11(c)所示。此時，f(k)的雙邊Z變換為 ,)()()(bzazzbabzzazzzF|a|z|b|,由于式(7.112)中兩項級數(shù)沒有公共收斂域，故f(k)的雙邊Z變換不存在。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.14求有限長序列f(k)=1,2,3,4,5,6的Z變換。

10、解解分別記f(k)的雙邊、單邊Z變換為F1(z)和F2(z),則有 k=032102321216543)()(65432)()(zzzzkfzFzzzzzzkfzFkkkk容易看出，對于F1(z),除z=0和外均有界，故其ROC為0|z|0。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 一般說來，對于序列f(k)的Z變換，其收斂域有如下一些規(guī)律：(1)無限長因果序列雙邊Z變換的ROC為|z|(0),即位于Z平面上半徑為的圓外區(qū)域。收斂半徑與F(z)的極點滿足以下關(guān)系： 值諸極點絕對值中的最大極點的絕對值(F(z)含有單個極點) (F(z)含有多個極點) (7.114) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z

11、域分析 (2)無限長反因果序列雙邊Z變換的ROC為|z|0),即位于Z平面上半徑為的圓內(nèi)區(qū)域。收斂半徑與F(z)極點之間的關(guān)系滿足 值諸極點絕對值中的最小極點的絕對值(F(z)含有單個極點) (F(z)含有多個極點) (7.115) (3)無限長雙邊序列雙邊Z變換的ROC為1|z|0,20,且12),在Z平面上呈現(xiàn)一個環(huán)狀區(qū)域。此處，1和2分別是序列中因果、反因果部分對應(yīng)的收斂半徑。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 (4)有限長雙邊序列雙邊Z變換的ROC一般為0|z|0;對于有限長反因果序列，雙邊Z變換的ROC為|z|0 (7.116) 表明單位序列(k)的Z變換是常數(shù)1,其收斂域為|z

12、|0。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 (2)因果指數(shù)序列ak(k)(a為非零實常數(shù))。對于因果序列，其單邊和雙邊Z變換相同。根據(jù)式(7.110)結(jié)論，有 ,)(azzkak,)(azzkak|z|a| (7.117) 當(dāng)a=ej0k(k)(0為實數(shù))時，則有 |z|1 (7.118) 當(dāng)a=1時，求得單位階躍序列(k)的Z變換為 ,1)(zzk|z|1 (7.119) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 (3)反因果指數(shù)序列ak(-k-1)（a為非零實常數(shù)）。對于反因果序列，單邊Z變換不存在。由式(7.111)求得雙邊Z變換為 ,) 1(azzkak|z|a| (7.120) 當(dāng)a=

13、1時，則有 ,1) 1(zzk|z|1,其組合序列(k)-(k-1)的Z變換ROC卻擴展為|z|0。第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.2-1 已知f(k)=(k)-3k(-k-1)，求f(k)的雙邊Z變換F(z)及其收斂域。 解解f(k)是雙邊序列,可看成由因果序列2(k)和反因果序列3k(-k-1)兩部分組成。由表7.1，分別得到雙邊Z變換 ,)3)(1(53) 1(12)()(3) 1(31)(2zzzzzzzzkfZzFzzkzzkk|z|1|z|31|z|3其收斂域是因果、反因果序列相應(yīng)兩部分象函數(shù)ROC的公共區(qū)域1|z|1 因此，根據(jù)線性性質(zhì)，有 1cos2cosee21

14、)()cos(0202000zzzzzzzzkkZjj第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 即 1,12zcos-zcos-)()cos(02020zzzkk(7.22) 同理可得 1,12zsin-sin)()sin(0200zzkk(7.23) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 2.位移性位移性鑒于單邊、雙邊Z變換定義中求和下限不同，以及序列位移后會使原序列項位置發(fā)生改變，從而導(dǎo)致單邊、雙邊Z變換位移性質(zhì)有重要差別，下面分兩種情況予以討論。(1)雙邊Z變換位移性質(zhì)。設(shè)雙邊序列f(k)的雙邊Z變換為Fb(z),即 zzFkf),()(b)()(bzFzmkfm z式中整數(shù)m0。 則位移序

15、列f(km)的雙邊Z變換滿足 z第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 證明證明根據(jù)雙邊Z變換定義,可得kkbzmkfmkfZ)()(令 n=k+m, 則有, )()()()(b)(kmnmknmbzFzznfzznfmkfZ|z| 故式(7.24)成立。該式表明,序列f(k)在K域位移m位的運算，相當(dāng)于Z域象函數(shù)Fb(z)數(shù)乘zm運算。通常稱zm為位移因子。由于位移因子僅影響象函數(shù)在z=0或z=處的零、極點分布，因此當(dāng)位移序列f(km)仍為雙邊序列時，其象函數(shù)ROC保持不變。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 (2)單邊Z變換位移性質(zhì)。對于雙邊序列f(k)，由于單邊Z變換僅涉及k0區(qū)域序列

16、項,故位移序列f(km)與原序列f(k)參與單邊Z變換運算的序列項數(shù)目一般是不相同的。具體地說，對于左移序列，進(jìn)行單邊Z變換時需要在f(k)(k)中舍棄若干序列項。而對于右移序列，則應(yīng)在f(k)(k)基礎(chǔ)上，增添原序列f(k)中位于ka 同理可證式(7.26)。顯然，對于因果序列f(k)而言,應(yīng)用單邊Z變換位移性質(zhì)時，式(7.26)中的求和項應(yīng)等于零。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.23已知f(k)=3k(k+1)-(k-2)，求f(k)的雙邊Z變換及其收斂域。解解f(k)可以表示為 )2(33) 1(33)2(3) 1(3)(2211kkkkkfkkkk由表7.1得 3)(3

17、zzkk|z|3 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 根據(jù)雙邊Z變換位移性質(zhì)，得 33) 1(321zzzzzkk)3(13)2(322zzzzzkk z33z根據(jù)線性性質(zhì)，得)3(327)3(9)3(3)()(32zzzzzzzkfZzF z3第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.24已知f(k)=ak-2,求f(k)的單邊Z變換F(z)。解解f(k)為雙邊序列。令f1(k)=ak,則f1(k)的單邊Z變換為| ,)()(1azazzkaZaZzFkk| ,)()()()2()()(21221211212azazzazaazzzzifzFzkkfZkaZzFiiiiik根據(jù)單邊Z變

18、換位移性質(zhì)式(7.26)，則 或者 | ,)()()(222azazzakaaZkaZzFkk第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.25求(k-m)和(k-m)（m為正整數(shù)）的單邊Z變換。解解由于(k)和(k)是因果序列，并且 1| ,1)(; 0| , 1)(zzzkzk1| ,11)(1zzzzzzmkmm因此，根據(jù)式(7.26)（注意此時式中求和項為零），則有 0| ,)(zzmkm第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 3.周期性周期性若f1(k)是定義域為0k0,所以 0)()()(iNiNkkk1| ,11)()(zzkkNN第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 4.K域乘域

19、乘ak(Z域尺度變換域尺度變換) 若序列f(k)滿足 zazFkf),()(azFkfak)(azaaazazFazkfzkfakfaZkkkkkk,)()()(則K域乘指數(shù)序列ak后的Z變換為 即 (7.28) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 )()() 1(zFkfk za |表明K域f(k)乘以指數(shù)序列ak運算相應(yīng)于Z域F(z)在尺度上展縮a的運算。式(7.28)中，若令a=-1，則有 (7.29) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例 7.2-7 已知 ),1(321)(1kkfkk求f(k)的雙邊Z變換及其收斂域。 解解 令f1(k)=3k+1(k+1)，則有 )(21)

20、(1kfkfk由于33)()(211zzzzzkfZzF3|z|第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 根據(jù)時域乘ak性質(zhì)，得32432)2()2()(21)(2211zzzzzFkfZkfZzFk）（|23z第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 5. K 序列域卷積和序列域卷積和若若)()()()(2211zFkfzFkf2211zaza則)()()()(2121zFzFkfkf(7.210) 式中，F(xiàn)1(z)F2(z)的收斂域一般為F1(z) 和F2(z)收斂域的公共部分。若F1(z) 和F2(z)相乘中有零、極點相消，則F1(z) F2(z)的收斂域可能擴大。式(7.210)表明，兩序列f

21、1(k)、f2(k)在K域的卷積和運算對應(yīng)于各自象函數(shù)在Z域的相乘運算。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 證證 根據(jù)雙邊Z變換的定義，則有kkkkkzmkfmfzkfkfkfkfZ)()()(*)()(*)(212121交換上式的求和次序，得 kkkzmkfmfkfkfZ)( )()(*)(1121式中，方括號中的求和項是f2(k-m)的雙邊Z變換。根據(jù)位移性質(zhì)，有 )()(22zFzzmkfmkk)()()()()()()(*)(21212121zFzFzFzmfzFzmfkfkfZkmkm(7.2-11)(7.2-12)式(7.212)代入式(7.211)得 第 7 章 離散信號與系

22、統(tǒng)的Z域分析 例例 7.2-8 已知已知 ).()()(),2() 1()(),1()(2121kfkfkfkkfkkfk 求f(k)的雙邊Z變換和f(k)。 解解 由雙邊Z變換位移性質(zhì)得 11)()(211zzzzzkfZzF) 1(11)2(2zzzzzk1|z|1 由K域乘ak性質(zhì)得 ) 1(1) 1(12-) 1()(2zzzzkZzFk）（|z|1 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 根據(jù)卷積和性質(zhì)，得 ) 1() 1(21) 1)(1()()()()()(2121zzzzzzzzFzFkfkfZzF|z|1 根據(jù)線性性質(zhì)和表7.1得到F(z)的原函數(shù)f(k)為 )() 1(21)

23、(21)(kkkfk第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 6. 序列乘序列乘k(Z域微分域微分) 若f(k) F(z)，|z|，則有 ,d)(d)()(zzFzkkf z(7.2-13)證明證明根據(jù)Z變換定義 kkzkfzF)()(|z| 將上式兩邊對z求導(dǎo)數(shù)得 kkkkkkkkzkfkzzkkfzkfzkfzzF)()()(dzd)()(dzdd)(d11第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 兩邊同乘-z,得 )()()()(kkfZzkkfzFdzdzkk即 )(dzd)()(zFzkkf|z| 可見,K域?qū)π蛄械某薻運算相當(dāng)于Z域象函數(shù)對z求導(dǎo)后再乘以-z的運算。由于F(z)是復(fù)變量z的

24、冪級數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是具有相同ROC的另一個冪級數(shù)，故式(7.213)ROC也與F(z)ROC相同。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 上述結(jié)果推廣至f(k)乘以k的正整數(shù)m次冪的情況，可得 |),(dzd)(zzFzkfkmm(7.214) 式中, 表示 )(dzdzFzm)(dzddzddzdzFzzz即在Z域?qū)ο蠛瘮?shù)求一次導(dǎo)數(shù)后再乘以-z,這樣的運算共進(jìn)行m次。式(7.214)一般不會改變象函數(shù)的極點，故其ROC仍為|z|a| (7.2-15)(7.2-16)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 式(7.2 - 16)重復(fù)應(yīng)用位移性質(zhì)和Z域微分性質(zhì)，可得如下重要變換對： 1)()() 1

25、()2)(1(!1mmkazzkamkkkkm于是得 3)(2)()(azzkfzzF|z|a| (7.217) 利用類似的方法由ak(-k-1)的雙邊Z變換，可以得到下面的重要變換對： 1)() 1() 1()2)(1(!1mmkazzkamkkkkm|z|a| (7.218) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 7.K域除域除(k+m)(Z域積分域積分) 若f(k) F(z)， |z|，則有 zmmdFzmkkf1)()(|z|0。 若m=0，k0, 則有 zmdFmkkf1)()(|z| (7.2 - 19)(7.2 -20)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 證證 由雙邊Z變換的定

26、義 kkzkfzF)()(|z|0，故上式為 kkmmkkzmzmkkfzmkzkfdF)()()()()()(1上式兩端乘以zm，得 mkkfzzmkkfdFzkkzmm)()()()(1即 zmmdFzmkkf1)()(|z|2 根據(jù)Z域積分性質(zhì)式(7.2 - 19) ， 則有 212212)2(11)(2)(zznznzdzkkzzFzzk|z|2 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 8. K域反轉(zhuǎn)域反轉(zhuǎn) 若f(k) Fb(z)，|z|，則有11 zkmkmkkzFzmfzkfkfZ)()()()(11令f(-k)F(z-1)即 (7.221) 表明K域坐標(biāo)軸正方向翻轉(zhuǎn)180,對應(yīng)于Z

27、域Fb(z)中將變量z置換為z-1。因為Fb(z)的ROC為|z|,所以F(z-1)的ROC為|z-1|a(其中a0)。求a-k(-k-1)的雙邊Z變換。解解由已知,|z|a,分別應(yīng)用K域反轉(zhuǎn)和雙邊Z變換移位性質(zhì)，得 azzkak)(azzkak)(azazzazzzkaazazazzkakk1| ,1) 1(1| ,)(111111即第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 將序列數(shù)乘a,由線性求得 azazzazazkak1| ,11) 1(若令b=a-1,將上式寫成 bzbzzkbk| ,) 1(第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 ,1)(zzk1z所以，由卷積和性質(zhì)，得 例例7.212已

28、知序列f(k)的雙邊Z變換為F(z),其ROC為|z|1和|z|的公共部分，即max (1,)|z|時，則有 ),(1)()(0zFzzifkgki), 1max(z(7.223) 應(yīng)用中常稱g(k)為f(k)的部分和序列，故也稱式(7.222)、式(7.223)結(jié)論為Z變換的部分和性質(zhì)。第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 210)2() 1 ()0()()(zfzffzkfzFkk9.初值定理初值定理設(shè)f(k)為因果序列，由于 (7.2-24)當(dāng)z時，上式右邊除了第一項f(0)外，其余諸項均趨于零。所以 )(lim)0(zFfz(7.225) 此結(jié)論稱為初值定理。它表明序列域中f(k)的初

29、值f(0)可直接用Z域象函數(shù)的終值F()計算，而不必求F(z)的逆變換。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 對式(7.224)等號兩邊連續(xù)乘變量z,然后令z取極限，可推得 )()(lim)() 1 ()0()(lim)2()0()(lim) 1 (102miimzzzzifzFzmfzffzFzffzFzf(7.226) 即從F(z)出發(fā)，可按遞推方式求出任一序列值f(m)。實際上，根據(jù)單邊Z變換位移性質(zhì)，式(7.226)右端表示對f(k+m)的Z變換求極限，按初值定理確定位移序列的初值，自然就是f(k)中第m號序列值。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 10.終值定理終值定理設(shè)f(k

30、)是因果序列，且 0)()()(kkzkfzFkf則 )() 1(lim)(1zFzfz(7.227) 證明證明應(yīng)用線性、位移性質(zhì)，得 )0()() 1()()0()()() 1(zfzFzzFfzFzkfkfZ于是 0)() 1()0()() 1()0()() 1(kkzkfkfzfkfkfZzfzFz第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 對上式取z1的極限，得 )()2()3()1 ()2()0() 1 ()0()() 1(lim)0()() 1(lim011ffffffffzkfkffzFzkkzz故式(7.227)成立。終值定理表明，序列終值可由Z域表達(dá)式(z-1)F(z)在z1時的極

31、限值來計算。注意，只有當(dāng)(z-1)F(z)的ROC包含單位圓，或者F(z)除在z=1處有一階極點外，其余極點均位于單位圓內(nèi)時，式(7.227)右端取z1極限有意義，此時f()存在,終值定理才可應(yīng)用。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.213已知因果序列f1(k)、f2(k)的Z變換分別為和,求 (1)f1(0)、f2(0)和f2(1);(2)f1()和f2()。解解(1)應(yīng)用初值定理和式(7.226)，求得 5 . 05 . 1)5 . 12()(21zzzzzF1)(2zzzF11lim)0()(lim) 1 (111lim1lim)(lim)0(25 . 05 . 115 .

32、12lim5 . 05 . 1)5 . 12(lim)(lim)0(22122211211zzfzFzfzzzzFfzzzzzzzzFfzzzzzzzz第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 (2)因 15 . 05 . 05 . 1)5 . 12()(21zzzzzzzzzF極點z=0.5位于單位圓內(nèi)，極點z=1是一階極點，終值定理成立，故有 115 . 0) 1(lim)() 1(lim)(1111zzzzzzFzfzz對于 ,1)(2zzzF在z=-1處有極點，(z-1)F2(z)在單位圓 上不收斂，故終值定理不適用。事實上，容易求得，可見序列值隨k的增長交替呈現(xiàn)為1和-1,故終值f2()

33、是不確定的。此時，若不考察F2(z)極點情況，直接應(yīng)用終值定理求得 )() 1()()(212kzFZkfk第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 01) 1(lim)() 1(lim)(121zzzzFzfzz其結(jié)果自然是錯誤的。最后，將Z變換的性質(zhì)歸納列于表7.2中，以便于查閱和應(yīng)用。為簡潔表中省略了收斂域，使用時應(yīng)明確所有性質(zhì)均適用于Z變換ROC內(nèi)。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 表表7.2Z變換的性質(zhì)和定理變換的性質(zhì)和定理 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 7.3 Z 逆逆 變變 換換 1.直接法直接法所謂直接法，就是從象函數(shù)及其收斂域出發(fā)，直接利用f(k)F(z)關(guān)系求得原

34、序列。其f(k)F(z)關(guān)系，除用表7.1中列出的Z變換對公式外，還可用表7.2中的Z變換性質(zhì)來描述。對于組成形式較為簡單的象函數(shù)而言，直接法常常是比較簡便和實用的。第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.31試求下列象函數(shù)的Z逆變換。 (1) ; 5 . 0| ,121)(1zzzF(2) ; 5 . 0| ,121)(2zzzF(3) 0| ,11)(513zzzzF第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 解解分別記F1(z)、F2(z)和F3(z)的Z逆變換為f1(k)、f2(k)和f3(k)。(1)將F1(z)改寫為 5 . 0| ,5 . 02121)(11zzzzzzF應(yīng)用Z變

35、換公式|z|a|,結(jié)合線性、單邊Z變換位移性，求得 ,)(azzkak) 1()2() 1()5 . 0(21| )()5 . 0(21)()(11111kkkzFZkfkkkkk第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 (2)同樣先將F2(z)改寫為 5 . 0,5 . 02121)(12zzzzzzF然后應(yīng)用Z變換對公式 ,) 1(azzkak|z|a| 并結(jié)合線性和雙邊Z變換位移性，求得 )()2(| ) 1()5 . 0(21)()(1212kkzFZkfkkkk第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 (3)把F3(z)的分母視為Z域周期因子，考慮到,并結(jié)合Z變換線性和位移性，得 1)(k)

36、 1()(11kkz再應(yīng)用周期性，求得 0313)51()5()()(iikikzFZkf顯然，這是一單邊周期序列。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 2.部分分式展開法部分分式展開法若F(z)為有理分式，則F(z)可表示為 01110111)()()(azazazabzbzbzbzAzBzFnnnnmmmm|z| (7.31) 式中，ai(i=0，1,2,n)、bj(j=0，1,2,m)為實數(shù)，取an=1。若mn，F(xiàn)(z)為假分式，可用多項式除法將F(z)表示為 nmnmnmnmzczczcczNzAzDzNzAzDzczczcczF22102110)()()()()()()(7.32)

37、 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 用部分分式展開法求Z逆變換與部分分式展開法求拉氏逆變換類似。但由于常用指數(shù)函數(shù)Z變換的形式為，因此，一般先把展開為部分分式，然后再乘以z，得到用基本形式表示的F(z)，再根據(jù)常用Z變換對求Z逆變換。設(shè)為有理真分式，可表示為 azzzzF)(azzzzF)()()()()()()(21mzzzzzzzBzMzBzzF式中，zi(i=1,2,m)為的極點，可能為一階極點，也可能為重極點；可能為實極點，也可能為虛極點或復(fù)極點。zi為復(fù)極點(虛極點)時，必共軛成對出現(xiàn)。 zzF)(第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 (1) 的極點為一階極點。 zzF)(zzF

38、)(的部分分式展開式為 miiimmzzKzzKzzKzzKzMzBzzF12211)()()(7.33) 式中的系數(shù)Ki的計算方法為 izziizzFzzK)()(7.34) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 式(7.3 - 10)兩端乘以z， 得 imiizzzKzF1)(|z|zi| |z|2，所以f(k)為因果序列。 的極點全為一階極點，可展開為 zzF)(由式(7.34)求K1、 K2、K3， 得 1)(01zzzFzK第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 3)()2(3)() 1(2312zzzzFzKzzFzK于是得 23131)(zzzzzF故 23131)(zzzzzF|

39、z|2 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 由于 1)(k1)(21)(zzkzzkk21zz 并且以上三個常用函數(shù)變換的收斂域的公共部分為|z|2， 所以得F(z)的原函數(shù)為 )()2( 3)(3)()(kkkkfk第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例 7.3-3 已知 , 2,) 3)(2()(2zzzzzF求F(z)的原函數(shù)f(k)。 解解 因為F(z)的收斂域為|z|2，所以f(k)為反因果序列。對 進(jìn)行部分分式展開， 得 zzF)(2233) 3)(2()(zzzzzzzF于是得 3233)(zzzzzF|z|2 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 2) 1()2(3) 1

40、() 3(zzkzzkkk|z|3 |z|2 ) 1()2() 3() 1() 3( 3)2(2)(11kkkfkkkk由式(7.36(b)，得 所以，以上兩個Z變換的收斂域的公共部分為|z|2。因此得 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.3-4 已知 , 32 ,) 3)(2)(1(3)(2zzzzzzzF求F(z)的原函數(shù)f(k)。 332512) 3)(2)(1(3)(zzzzzzzzzF故有 332512)(zzzzzzzF2|z|3 解解 由于F(z)的收斂域為2|z|1 |z|2 |z|2 |z|3 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 ) 1(33)(25)(2)(kk

41、kkfkk上面兩個Z變換的收斂域的公共部分為2|z|3。 于是得 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 (2) zzF)(有重極點。 設(shè) 在z=z0有m階重極點，另有n個一階極點zi(i=1, 2, ，n)， 則 可表示為 zzF)(zzF)()()()()()(210nmzzzzzzzzzBzzF則 可展開為以下部分分式： zzF)(niimmmmzizKzzKzzKzzKzzF1011101101)()()()(第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 系數(shù)K1i(i=1, 2, , m)、Ki(i=1, 2, , n)的計算方法為 izzzziimiiizzFzzKmizzFzzziK)()

42、(), 2 , 1( ,)()(dd)!1(100111F(z)的部分分式展開式為 niiimiimizzzKzzzKzF11101)()(|z| (7.3-7)(7.3-8)(7.3-9)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例 7.3-5 已知已知 , 21 ,)2)(1(2)(2zzzzzF求F(z)的原函數(shù)f(k)。 解解 f(k)為雙邊序列。 zzF)(的部分分式展開式為 zzzzzKzKzKzKzzzzzzF2113225)2(21)2()2()2)(1(2)(2211121222113225)2(2)(2zzzzzzzF1|z|2 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 1)(1

43、) 1(2) 1(2)2() 1(221kzzkzzkzzkkkk|z|2 |z|1 所以 )(21)(3) 1(2)25()(21)(3) 1(225) 1(22)(11kkkkkkkkkkfkkk第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例 7.3-6 已知 :84)(2zzzzF若F(z)的收斂域為, 求原函數(shù)f(k)； (2) 若F(z)的收斂域為，求原函數(shù)f(k)。 22z22z(3) 有共軛復(fù)極點。 zzF)( 若有共軛復(fù)極點， 展開為部分分式的形式和系數(shù)的計算方法與實極點情況時相同，但計算略為復(fù)雜。下面舉例說明。 zzF)(zzF)(第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 解解 (1

44、) F(z)的收斂域為 22z 這種情況下，f(k)為因果序列。F(z)的極點為z1,2=2j2， 可展開為 zzF)()22()22()22()22(1)(21jzKjzKjzjzzzF2*122221414141)()22(jjjzejKKejzzFjzK第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 于是得于是得 4j -2j4j2j2j2je22e4122e41)2 j2(e41)2 j2(e41)(zzezzzzzzzF)(24cos)22(21kkk)()22(41)()22()22(41)(24244442keekeeeezFkjkjkkjjkjj第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 (2

45、) F(z)的收斂域為 .22z) 1(24cos)22(21)(kkkfk一般情況下，若F(z)有共軛復(fù)極點z1,2=cjd，并且令 jjrejdczrejdcz21則復(fù)極點對應(yīng)的部分分式為 jjjjrezeKrezzeK11(7.3 - 11)(7.3 - 10)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 若式(7.3 - 11)的收斂域為|z|r，則其Z逆變換為 )()cos(21kkrKk若式(7.3 - 11)的收斂域為|z|r，則其Z逆變換為)()cos() 1(cos(22121111kkrKkkrKkk若式(7.3 - 14)的收斂域為|z|r，則其Z逆變換為(7.3 - 15)(7

46、.3 - 16)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 *3.圍線積分法圍線積分法(留數(shù)法留數(shù)法)Z逆變換也可以用復(fù)變函數(shù)中的圍線積分法或留數(shù)法來計算，計算公式為 CkzzzFjkfd)(21)(1-k (7.317)式中，F(xiàn)(z)為f(k)的Z變換，收斂域為|z|的部分決定，該部分用F1(z)表示。F1(z)的極點在半徑為|z|=的圓上和圓內(nèi)區(qū)域中，即在積分路徑C的內(nèi)部。第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 內(nèi)極點CkzzzFskfi)(Re0)(1100kk根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理，因果序列f1(k)等于積分路徑C內(nèi)F(z)zk-1的極點留數(shù)之和，即 (7.318) 第 7 章 離散信號

47、與系統(tǒng)的Z域分析 反因果序列f2(k)由F(z)中收斂域為|z|的部分決定，該部分用F2(z)表示。F2(z)的極點在半徑為|z|=的圓上和圓外區(qū)域中，即在積分路徑C的外部。根據(jù)留數(shù)定理，f2(k)等于積分路徑C的外部區(qū)域內(nèi)F(z)zk-1的極點留數(shù)之和并取負(fù)號， 即 )(Re)(Re)()()(1121kCzkCzzzFszzFskfkfkfii外極點內(nèi)極點0)(Re)(12kCzzzFskfi內(nèi)極點k0k0 f(k)等于f1(k)與f2(k)之和，即 (7.3 - 19)(7.320) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 F(z)為有理分式時，F(xiàn)(z)zk-1的極點留數(shù)計算方法如下： 若

48、F(z)zk-1在z=zi有一階極點，則極點zi的留數(shù)為 iizzkrirrkzzzFzzzrzzFs)()(dd)!1(1)(Re1111若F(z)zk-1在z=zi有r重極點 ，則極點zi的留數(shù)為 iizzkikzzzFzzzzFs11)()()(Re(7.321) (7.322) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 圖圖7.3-1 F(z)的收斂域及反演積分路徑的收斂域及反演積分路徑第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例 7.3-9 已知已知 ,) 3() 1(4)(2zzzzF1|z|3，求F(z)的原函數(shù)f(k)。 解解 F(z)的原函數(shù)為雙邊序列。F(z)zk-1為 ) 3(

49、) 1(4)(21zzzzzFkk極點z1和z2的留數(shù)分別為 )()()(zHzFkyZf第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 由式(7.3 -20)得 ) ()( z Yky Zffk0 k0 k 即H(z)是系統(tǒng)單位序列響應(yīng)h(k)的單邊Z變換。 H(z)稱為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，zk稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征函數(shù)。 式(7.5 - 3)表明，離散系統(tǒng)對基本信號zk的響應(yīng)等于zk與系統(tǒng)函數(shù)H(z)的乘積。 式(7.43)中 (7.4-4)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 7.4.3 一般信號一般信號f(k)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng) 若離散系統(tǒng)的輸入為因果信

50、號f(k)，其單邊Z變換為F(z)，則f(k)可以分解為基本信號zk之和，如式(7.4 - 1)所示。 對于圍線C上任一z，根據(jù)式(7.4-3)，信號zk產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為zkH(z)。 zk與其響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系表示為 )2()1()()()(1)(0101201122011yayzaazMzbzbbzBzazazA根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，對于圍線C上任一z， 為復(fù)常數(shù)，則信號 產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為 )()()()()()(zFzAzBzAzMzY)()(zAzM)()(zAzM第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 )()(zAzM根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性，由于f(k)可以分解為圍線C上不同z的

51、信號 之和(積分)， 因此，系統(tǒng)對f(k)的零狀態(tài)響應(yīng)就等于不同z的信號 產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)之和(積分)。 表示為 )()(zAzM)()(zAzM(7.45) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 另一方面，由于yf(k)=f(k)*h(k)，因此 )()()(zFzAzB 由于f(k)、h(k)為因果信號，所以yf(k)也是因果信號。令 ， 則得到以下變換對： )()()()()()()()()()()()()(111zFzAzBZkyzAzMZkyzFzAzBzAzMZkyfx2011201121)()()(zazazbzbbzAzBzH(7.46) (7.47) (7.48) (7.49

52、) 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 在Z域，離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可按以下方法求解： (1) 求系統(tǒng)輸入f(k)的單邊Z變換F(z)； (2) 求系統(tǒng)函數(shù)H(z), H(z)=Zh(k)； (3) 求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊Z變換Yf(z), Yf(z)=F(z)H(z)； (4) 求零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)，yf(k)=Z-1Yf(z)。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例7.4-1 已知離散系統(tǒng)輸入為f1(k)=(k)時，零狀態(tài)響應(yīng)y1f(k)=3k(k)。求輸入為f2(k)=(k+1)(k)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y2f(k)。 mjjmniinjkfbikya00)()(第 7 章 離散信號

53、與系統(tǒng)的Z域分析 由式(7.47)，y2f(k)的單邊Z變換為 nnnmmmmz azazaz bzbzbbzAzBzH02211022111) () () (|z|3 于是得 )()()(kykykyfx第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 7.5 離散系統(tǒng)差分方程的離散系統(tǒng)差分方程的Z域解域解 7.5.1 差分方程的差分方程的Z域解域解 以二階離散系統(tǒng)為例，設(shè)二階離散系統(tǒng)的差分方程為 )()()()()()()(iyiyiyiyiyiyiyfxxfx 設(shè)y(k)的單邊Z變換為Y(z)，根據(jù)單邊Z變換的位移性質(zhì)，對式(7.5- 1)兩端取單邊Z變換，得 (7.5- 1) () 2(2) 1(

54、 3) (kfkykyky(7.5- 2)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 1)1()0(3)1(21)1(fyyy分別令 23)0 () 1(3) 0 (21) 2(fyyy) 1() 2( 6) 1( 5) (k fk yk yk y則整理寫成 (7.5- 3)(7.5- 4)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 只與y(k)的初始值y(-1)、y(-2)有關(guān)，而與F(z)無關(guān)，y(-1)、y(-2)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，所以 是系統(tǒng)零輸入響應(yīng)yx(k)的單邊Z變換Yx(z)； 只與F(z)有關(guān)，而與初始狀態(tài)無關(guān)，因此，它是系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)的單邊Z變換Yf(z)； A(z)稱為系統(tǒng)

55、的特征多項式系統(tǒng)的特征多項式，A(z)=0稱為系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的特征方程，其根稱為特征根特征根。. 1 ) 2 ( , 1 ) 1 ( ), ( 2 ) ( yy kk fk22)( 2 ) (zzzkZz Fk) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )( 1321132112 121z Gz Hz Gz Hz Gz Hz Gz HL LLL (7.5- 7)(7.5- 5)(7.5-6)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 由于Yf(z)=H(z)F(z)，因此，由式(7.6 - 7)得到系統(tǒng)函數(shù)為 )()()()(321241zGzGzGPzGP設(shè)n階離

56、散系統(tǒng)的差分方程為 11式中，mn，an=1，ai(i=0, 1, , n-1)、bj(j=0, 1, , m)為實常數(shù)。則系統(tǒng)函數(shù)為 12(7.5-8)(7.5-9)(7.5-10)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 對于n階線性時不變離散系統(tǒng)，若輸入f(k)為因果信號，則yf(-i)(i=1, 2, , n)等于零， 但yf(i)一般不等于零。 由于 )()()()()()()()(1)()()()()(32113211321421zGzHzGzHzGzHzGzHzGzGzGzGPzHiii因此y(k)、yf(k)、yx(k)的初始值有以下關(guān)系： 0120122)(azazbzbzbzH

57、i=1, 2, , n i=0, 1, 2, , n 初始值y(i)和y(-i)可根據(jù)系統(tǒng)差分方程應(yīng)用遞推法相互轉(zhuǎn)換。 例如，設(shè)二階離散系統(tǒng)的差分方程為 )(1)(201120112zazazbzbbzH(7.5-11)(7.5-12)(7.5-13)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 f(k)=(k), y(0)=1，y(1)=2。 對式(7.5 - 13)，令k=1，得 令k=0, 得 )65)(1()23()(2zzzzzzH第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 例例 7.5-1 已知二階離散系統(tǒng)的差分方程為 )()()(21zHzHzH)65(1236523)(212122zzzzz

58、zzzH求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(k)、零輸入響應(yīng)yx(k)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。解解方法方法1 輸入f(k)的單邊Z變換，得)(111)(11zzzzH第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 （7.5第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 )127)(2(16239)(223zzzzzzzHyf(k)滿足的差分方程為)()(127221)(212zHzHzzzzzzHyf(k)的初始條件yf(-1)、yf(-2)均為零。(7.5-15)(7.5-16)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 7.5.2 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 1. 離散系統(tǒng)對正弦序列的響應(yīng)離散系統(tǒng)對正弦序列的響應(yīng)設(shè)離散系

59、統(tǒng)的輸入為 )127(121272)(212122zzzzzzzzH-k 式中，A、T、為正實數(shù)，稱模擬角頻率，稱數(shù)字角頻率，f(k)可以看作連續(xù)正弦時間函數(shù)的抽樣值序列，抽樣周期為T。設(shè)系統(tǒng)的初始時刻k0=-，系統(tǒng)的響應(yīng)為y(k)，并且設(shè)y(-）=0，則y(k)也是零狀態(tài)響應(yīng)。為了討論方便，令=0，但不失一般性， 則系統(tǒng)輸入f(k)可以表示為 )2(1121)(111zzzzzH(7.5-17)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 設(shè)系統(tǒng)對ejk的零狀態(tài)響應(yīng)為y1(k)，根據(jù)離散系統(tǒng)時域分析的結(jié)論： 01110111) () () (az azaz abz bzbz bz Az BzHnnn

60、nmmmm對于因果離散系統(tǒng)，單位序列響應(yīng)h(k)為因果序列。 因此得 (7.5 - 18)第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點全部在單位圓內(nèi)，則H(z)的收斂域包含單位圓，即H(z)在單位圓|z|=1上收斂，因此，H(z)在z=ej時也收斂。于是，式(7.5 - 18)可以表示為 niimjjmnmmpzzzbpzpzpzzzzzzzbzH112121)()()()()()()(設(shè)系統(tǒng)對e-jTk的響應(yīng)為y2(k)， 同理可得 (7.5 - 19)(7.5 - 20)式中，H(ej)為復(fù)數(shù)，H*(ej)是H(ej)的共軛復(fù)數(shù)。 第 7 章 離散信號與系統(tǒng)的Z域分析 n