20202021高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2向量的減法學(xué)案北師大版必修4經(jīng)典實(shí)用

1、2.2向量的減法內(nèi)容要求1.知道向量減法的定義，理解相反向量的意義(重點(diǎn)).2.掌握向量減法的運(yùn)算及幾何意義，能作出兩個(gè)向量的差向量(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)1相反向量與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，記作a.(1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)(a)a；(3)a(a)(a)a0；(4)若a與b互為相反向量，則ab，ba，ab0.【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1).(×)(2)aa0.()(3)零向量的相反向量仍是零向量()知識(shí)點(diǎn)2向量的減法(1)定義，向量a加上b的相反向量，叫作a與b的差，即aba(b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫作向量的減法(2)

2、幾何意義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o，作a，b，則向量ab，如圖所示(3)文字?jǐn)⑹觯喝绻褍蓚€(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1在abc中，a，b，則()aabbbacabdab答案a2.可以寫(xiě)成；.其中正確的是()abcd答案d題型一向量減法法則的應(yīng)用【例1】如圖所示，已知向量a、b、c、d，求作向量ab，cd.解如圖所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o，作a，b，c，d.則ab，cd.規(guī)律方法利用向量減法進(jìn)行幾何作圖的方法(1)已知向量a，b，如圖所示，作a，b，利用向量減法的三角形法則可得ab，利用此方法作圖時(shí)，把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，則這

3、兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量(2)利用相反向量作圖，通過(guò)向量求和的平行四邊形法則作出ab.如圖所示，作a，b，b，則a(b)，即ab.【訓(xùn)練1】如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量abc.解如圖所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o，作a，b，則ab，再作c，則abc.題型二向量減法的運(yùn)算【例2】化簡(jiǎn)下列式子：(1)；(2)()()解(1)原式0.(2)原式()()0.規(guī)律方法化簡(jiǎn)向量的和差的方法(1)如果式子中含有括號(hào)，括號(hào)里面能運(yùn)算的直接運(yùn)算，不能運(yùn)算的去掉括號(hào)(2)可以利用相反向量把差統(tǒng)一成和，再利用三角形法則進(jìn)行化簡(jiǎn)(3)化簡(jiǎn)向量的差時(shí)注意共起點(diǎn)，由減數(shù)向量的終

4、點(diǎn)指向被減數(shù)向量的終點(diǎn)特別提醒利用圖形中的相等向量代入、轉(zhuǎn)化是向量化簡(jiǎn)的重要技巧【訓(xùn)練2】化簡(jiǎn)：(1)()()；(2)()()解(1)()().(2)()()()0.方向1用已知向量表示未知向量【例31】已知o為平行四邊形abcd內(nèi)一點(diǎn)，a，b，c，試用a，b，c表示.解方法一如圖所示：aa()acb.方法二()0()a(bc)abc.方向2求向量的?！纠?2】已知非零向量a、b滿足|a|1，|b|1，且|ab|4，求|ab|的值解設(shè)a，b，則|ab|.以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb，則|ab|.(1)2(1)242，|2|2|2，oaob.平行四邊形oacb是矩形矩形的對(duì)角線相等，|

5、4，即|ab|4.方向3判斷形狀【例33】設(shè)平面內(nèi)四邊形abcd及任一點(diǎn)o，a，b，c，d，若acbd且|ab|ad|.試判斷四邊形abcd的形狀解由acbd得abdc，即，于是ab綊cd，四邊形abcd為平行四邊形又|ab|ad|，從而|，|，四邊形abcd為菱形規(guī)律方法1.關(guān)于向量的加法和減法，一種方法就是依據(jù)三角形法則通過(guò)作圖來(lái)解決，另一種方法就是通過(guò)表示向量的有向線段的字母符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決2用幾個(gè)向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的解題步驟是：第一步，觀察向量位置；第二步，尋找(或作)有關(guān)的平行四邊形或三角形；第三步，利用三角形或平行四邊形法則找關(guān)系；第四步，化簡(jiǎn)結(jié)果.課堂達(dá)標(biāo)1化簡(jiǎn)的結(jié)果等于()a.

6、 b. c. d.答案b2如圖所示，在abcd中，a，b，則用a，b表示向量和分別是()aab和ab bab和bacab和ba dba和ba解析由向量的加法、減法得，ab，ba.故選b.答案b3若菱形abcd的邊長(zhǎng)為2，則|_.解析2.答案24已知a，b，若|12，|5，且aob90°，則|ab|_.解析|12，|5，aob90°，|2|2|2，|13.a，b，ab，|ab|13.答案135如圖，o是平行四邊形abcd的對(duì)角線ac，bd的交點(diǎn)，設(shè)a，b，c，用a，b，c表示.解cba.課堂小結(jié)1向量減法是向量加法的逆運(yùn)算即減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量如aba(b)

7、2在用三角形法則作向量減法時(shí)，要注意“差向量連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”解題時(shí)要結(jié)合圖形，準(zhǔn)確判斷，區(qū)分ab與ba.3以向量a，b為鄰邊作平行四邊形abcd，則兩條對(duì)角線的向量為ab，ba.基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1在平行四邊形abcd中，等于()a. b. c. d.解析.答案a2下列等式中，正確的個(gè)數(shù)為()0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)；a(a)0.a3b4c5d6解析根據(jù)相反向量的概念知正確，所以正確的個(gè)數(shù)為5.故選c.答案c3在平行四邊形abcd中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()a.0 b.c. d.0解析，0，a正確；，b正確；，c錯(cuò)誤；，0，d正確答案c4已知o、a、b是平面上的

8、三個(gè)點(diǎn)，直線ab上有一點(diǎn)c，滿足20，則可用、表示為_(kāi)解析22()，2.答案25若向量a，b滿足|a|8，|b|12，則|ab|的最小值為_(kāi)，|ab|的最大值為_(kāi)解析當(dāng)a與b方向相反時(shí)，|ab|取得最小值，其值為1284；這時(shí)|ab|取得最大值，其值為12820.答案4206若a0，b0，且|a|b|ab|，求a與ab所在直線的夾角解設(shè)a，b，則ab，|a|b|ab|，|，oab是等邊三角形，boa60°.ab，且在菱形oacb中，對(duì)角線oc平分boa.a與ab所在直線的夾角為30°.7.如圖所示，已知正方形abcd的邊長(zhǎng)等于1，a，b，c，試作出下列向量，并分別求出其長(zhǎng)度

9、：(1)abc；(2)abc.解(1)由已知得abc，所以延長(zhǎng)ac到e，使|.則abc，且|2.所以|abc|2.(2)作，連接cf，則，而ab.所以abc，且|2，所以|abc|2.能力提升8.如圖，d、e、f分別是abc的邊ab、bc、ca的中點(diǎn)，則()a.0b.0c.0d.0解析()0.答案a9在平行四邊形abcd中，|，則有()a.0 b.0或0cabcd是矩形dabcd是菱形解析與分別是平行四邊形abcd的兩條對(duì)角線，且|，abcd是矩形答案c10邊長(zhǎng)為1的正abc中，|的值為_(kāi)解析如圖所示，延長(zhǎng)cb到點(diǎn)d，使bd1，連接ad，則.在abd中，abbd1，abd120°，易

10、求ad，|.答案11已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，|ab|2，求|ab|的值解在平面內(nèi)任取一點(diǎn)a，作a，b，利用平行四邊形法則，得ab，ab.由題意知：|2，|1.如圖所示，過(guò)點(diǎn)b作bead于點(diǎn)e，過(guò)點(diǎn)c作cfab交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f.abbd2，aeedad.在abe中，coseab，在cbf中，cbfdab，coscbf，bfbc·coscbf1×，cf，afabbf.在rtafc中，ac，|ab|.12在平行四邊形abcd中，a，b，先用a，b表示向量和，并回答：當(dāng)a，b分別滿足什么條件時(shí)，四邊形abcd為矩形、菱形、正方形？解由向量加法的平行四邊形法則，得ab，同樣，由向量的減法知ab.則有：當(dāng)a，b滿足|ab|ab|時(shí)，平行四邊形的兩條對(duì)角線相等，四邊形abcd為矩形；當(dāng)a，b滿足|a|b|時(shí)，平行四邊形的兩條鄰邊相等，四邊形abcd為菱形；當(dāng)a，b滿足|ab|ab|且|a|b|時(shí)