統(tǒng)計學(xué)第四章數(shù)據(jù)的描述性分析

1、第四章數(shù)據(jù)的描述性分析本章內(nèi)容一、 集中趨勢的描述二、 離散程度的描述三、 分布的偏態(tài)與峰度集中趨勢的描述數(shù)值平均數(shù)1. 算術(shù)平均數(shù)2. 調(diào)和平均數(shù)3. 幾何平均數(shù)集中趨勢的描述位置平均數(shù)1. 中位數(shù)2. 眾數(shù)對比離散程度的描述絕對指標(biāo)1. 極差與四分位差2. 平均差3. 標(biāo)準(zhǔn)差與方差相對指標(biāo)離散系數(shù)離散程度的描述數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化分布的偏態(tài)與峰度原點距中心距分布的偏態(tài)與峰度分布的偏態(tài)分布的峰度集中趨勢 集中趨勢（central tendency）是一組數(shù)據(jù)向其中心靠攏的傾向。測定集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。集中趨勢往往使用平均指標(biāo)來測度 算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)（arithmetic

2、 mean）是總體中各個體的某個數(shù)量標(biāo)志的總和與個體總數(shù)的比值，一般用符號 表示。 x對應(yīng)的個體總數(shù)某數(shù)量標(biāo)志的總和算術(shù)平均數(shù) 簡單算術(shù)平均數(shù)簡單算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì) 簡單算術(shù)平均數(shù)簡單算術(shù)平均數(shù)nxnxxxxniin121.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)分組niiniiinnnffxffffxfxfxx11212211. 某廠某車間某廠某車間2020名工人加工某種零件的產(chǎn)量資料如下：名工人加工某種零件的產(chǎn)量資料如下：- -單項式變量分布數(shù)列單項式變量分布數(shù)列 2020名工人零件生產(chǎn)數(shù)量分組資料名工人零件生產(chǎn)數(shù)量分組資料按

3、日產(chǎn)量分組（件）x工人人數(shù)（人）f總產(chǎn)量（件）xf14151617182485128601288518合計20319加權(quán)算術(shù)平均數(shù)權(quán)數(shù)組距式組距式加權(quán)均值(權(quán)數(shù)對均值的影響) 甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績及其分布數(shù)據(jù)如下 甲組：甲組： 考試成績（考試成績（x ）: 0 20 100 人數(shù)分布（人數(shù)分布（f ）：）：1 1 8 乙組：乙組： 考試成績（考試成績（x ）: 0 20 100 人數(shù)分布（人數(shù)分布（f ）：）：8 1 1選擇-4權(quán)數(shù) 次數(shù)次數(shù)f f的作用：當(dāng)變量值比較大的次數(shù)多時，平均數(shù)就接近于變量的作用：當(dāng)變量值比較大的次數(shù)多時，平均數(shù)就接近于變量值大的一方；當(dāng)變量值比較小

4、的次數(shù)多時，平均數(shù)就接近于變量值小的一值大的一方；當(dāng)變量值比較小的次數(shù)多時，平均數(shù)就接近于變量值小的一方?？梢?，次數(shù)對變量值在平均數(shù)中的影響起著某種權(quán)衡輕重的作用，因方?？梢姡螖?shù)對變量值在平均數(shù)中的影響起著某種權(quán)衡輕重的作用，因此被稱為權(quán)數(shù)。此被稱為權(quán)數(shù)。有時權(quán)數(shù)也用比重（頻率）來表示有時權(quán)數(shù)也用比重（頻率）來表示11niiniiifxxf算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)各變量值關(guān)于算術(shù)平均各變量值關(guān)于算術(shù)平均數(shù)的偏離，在平方的意數(shù)的偏離，在平方的意義下達到最小義下達到最小1()0niiixxf21()minniiixxf調(diào)和平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean）是各變量值

5、倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。由于它是根據(jù)變量值倒數(shù)計算的，所以又稱作倒數(shù)平均數(shù)，通常用 表示。簡單調(diào)和平均數(shù)簡單調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形 hx調(diào)和平均數(shù) 某蔬菜批發(fā)市場三種蔬菜的日成交量數(shù)據(jù)如下，計算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價格。蔬菜名稱批發(fā)價格(元)x成交量(公斤)f甲乙丙1.200.500.8015000250008000合計-48000369000.76948000iiix fxf（元）算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù) 若已知成交額，未知成交量，資料如下：若已知成交額，未知成交量，資料如下：蔬菜名稱蔬菜名稱批發(fā)價格批發(fā)價格(元

6、元)x成交額成交額(元元)m甲甲乙乙丙丙1.200.500.8018000125006400合計合計-36900369000.76948000ihiimxmx（元）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)1211121112.1.hnniiniinnniiiiniimmmmmxmmmmmxxxxx變量值倒數(shù)變量值倒數(shù)簡單調(diào)和平均數(shù)簡單調(diào)和平均數(shù)niinxnxxxnxh12111.11調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形1111iiihnnmletfiiixiinniiiiimx fxxmfx調(diào)和平均數(shù)是標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù),它和算術(shù)平均數(shù)的實際意義是相同的,計算公式也可以互推幾

7、何平均數(shù) 幾何平均數(shù)（geometric mean）是n個變量值連乘積的n次方根。它主要用于計算比率或速度的平均，當(dāng)所掌握的變量值本身是比率的形式，而且各比率的乘積等于總的比率時，就應(yīng)采用幾何平均法計算平均比率。 簡單幾何平均數(shù)簡單幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)gx簡單幾何平均數(shù)簡單幾何平均數(shù)nniinnxxxxxg121.案例：案例：某水泥廠某水泥廠19951995年的水泥產(chǎn)量為年的水泥產(chǎn)量為100100萬噸，萬噸，19961996年與年與19951995年年相比增長率為相比增長率為9 9，19971997年比年比19961996相比增長率為相比增長率為6 6，19981998年比年

8、比19971997年相比增長率為年相比增長率為2020，求這三年的年平均增長率，求這三年的年平均增長率319951995(19%)(16%)(120%)(1)yyr簡單幾何平均數(shù)簡單幾何平均數(shù)案例2：一位投資者在1996年初買進一種股票，1996，1997，1998，1999這四年的收益率分別為4.5，2，3.5，5.4，計算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率r419961241996(1)(1).(1)(1)yrrryr41241(1)(1).(1)rrrr4124(1)(1).(1)1rrrr簡單幾何平均數(shù)簡單幾何平均數(shù)nniinnxxxxxg121.6126ap ppap加權(quán)幾何平均數(shù)加權(quán)幾

9、何平均數(shù)ffniiffffnffginnxxxxx1.212121.4551419901990(110.2% ) (18.7% ) (19.6% )(1)yyr初初位置平均數(shù)1. 中位數(shù)2. 眾數(shù)中位數(shù) 中位數(shù)（median）是一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的那個變量值，通常用 表示。由未分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù)由未分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù)由單項數(shù)列確定中位數(shù)由單項數(shù)列確定中位數(shù)em分位數(shù)數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (5個數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 24 22 21 26 20排排 序序: 20 21 22 24 26位位 置置: 1 2 3 4 5321521n位置數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (

10、6個數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8排排 序序: 5 6 8 9 10 12位位 置置: 1 2 3 4 5 6由未分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù)由未分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù) 對未分組數(shù)據(jù)資料，需先將各變量值按大小順序排列，并按公式 確定中位數(shù)的位置。21n當(dāng)一個序列中的項數(shù)為奇數(shù)時，則處于序列中間位置的變量值就是中位數(shù)。 例： 7、6、8、2、3 當(dāng)一個序列的項數(shù)是偶數(shù)時，則應(yīng)取中間兩個數(shù)的中點值作為中位數(shù)，即取中間兩個變量值的平均數(shù)為中位數(shù)。 例： 2、5、7、8、11、12 未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(計算公式)為偶數(shù)時當(dāng)為奇數(shù)時當(dāng)nxxnxmnnne1222121分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù)分組

11、數(shù)據(jù)確定中位數(shù)-單項式，組距式單項式，組距式( (見分位數(shù)）見分位數(shù)）由單項數(shù)列確定中位數(shù)由單項數(shù)列確定中位數(shù)l按公式 確定中位數(shù)的位置l并對照累計次數(shù)確定中位數(shù)。211niif由單項數(shù)列確定中位數(shù)由單項數(shù)列確定中位數(shù) 先計算各組的累計次數(shù)，再按公式 確定中位數(shù)的位置，并對照累計次數(shù)確定中位數(shù)。211niif分位數(shù) 三個數(shù)值可以將變量數(shù)列劃分為項數(shù)相三個數(shù)值可以將變量數(shù)列劃分為項數(shù)相等的四部分，這三個數(shù)值就定義為四分位數(shù)等的四部分，這三個數(shù)值就定義為四分位數(shù)(quartiles)(quartiles)。九個數(shù)值可以將變量數(shù)列劃分為項數(shù)相等的十部九個數(shù)值可以將變量數(shù)列劃分為項數(shù)相等的十部分，這九

12、個數(shù)值就定義為十分位數(shù)分，這九個數(shù)值就定義為十分位數(shù) (dectile)(dectile)9999個數(shù)值可以將變量數(shù)列劃分為項數(shù)相等的個數(shù)值可以將變量數(shù)列劃分為項數(shù)相等的100100部分，這部分，這9999個數(shù)值就定義為百分位數(shù)個數(shù)值就定義為百分位數(shù) (percentile)(percentile)四分位數(shù) 第一個四分位數(shù)稱為下四分位數(shù) 第三個四分位數(shù)稱為上四分位數(shù)1.1.集中趨勢的測度值之一集中趨勢的測度值之一2.2.排序后處于排序后處于25%25%和和75%75%位置上的值位置上的值未分組資料和單項資料的四分位數(shù) 先排序，若為單項分組資料，需計算累計頻數(shù) 再通過公式確定位置： 如果四分位數(shù)

13、的位置不在某變量值上，必須按比例分?jǐn)傋兞恐?，以確定四分位數(shù)。4) 1(34) 1(241fqfqfquml數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (7個數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 23 21 30 32 28 25 26排排 序序: 21 23 25 26 28 30 32位位 置置: 1 2 3 4 5 6 7 數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù) (6個數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù): 23 21 30 28 25 26排排 序序: 21 23 25 26 28 30位位 置置: 1 2 3 4 5 62、分組資料 先求累積頻數(shù) 再確定位置 最后依公式求四分位數(shù)（也是按比例分?jǐn)偅﹗uufuummmfmmlll

14、fllifslqifslqifslqfqul的位置的位置其中其中為該分位數(shù)組的下限；為該分位數(shù)組的下限；為總次數(shù)；為總次數(shù)；為較小累計該分位數(shù)所在組前一組的累計次數(shù)為較小累計該分位數(shù)所在組前一組的累計次數(shù)為分位數(shù)組的次數(shù)；為分位數(shù)組的次數(shù)；為分位數(shù)組的組距。為分位數(shù)組的組距。lf 1lslfli以第一四分位數(shù)公式說明參數(shù)眾數(shù) 眾數(shù)(mode)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個變量值，通常用 表示。om由未分組數(shù)據(jù)確定眾數(shù)由未分組數(shù)據(jù)確定眾數(shù)由單項數(shù)列確定眾數(shù)由單項數(shù)列確定眾數(shù)由組距數(shù)列確定眾數(shù)由組距數(shù)列確定眾數(shù)由未分組數(shù)據(jù)確定眾數(shù)由未分組數(shù)據(jù)確定眾數(shù)例1： 7、6、8、2

15、、3例2： 7、6、8、2、3 、4、3、2、3例3： 7、6、8、2、3 、4、3、2、3、2由單項數(shù)列確定眾數(shù)由單項數(shù)列確定眾數(shù)由由組距式數(shù)列確定眾數(shù)確定眾數(shù)先確定眾數(shù)組；再用下述公式計算：上限公式下限公式iumilmoo212211按成績分組按成績分組人數(shù)人數(shù)5050 以下以下5050606060607070(l)(l)70708080(u)(u)808090909090 以上以上101020203030(f(fm-1m-1) )5050(f(fm m) )4040(f(fm+1m+1) )3030合計合計180180符號含義：（a）l為眾數(shù)組的下限，u為上限；（b）i為眾數(shù)組的組距；（

16、c）1=fmfm-1，即眾數(shù)組的次數(shù)與前一組次數(shù)之差； 2=fm fm+1，即眾數(shù)組的次數(shù)與后一組次數(shù)之差。stat40 50 60 70 80 90 10050 40 30 20 10bcedx y(l) (u)mo=l+x=u-yo121211121212oa cf db exyib oa ca c oo d fo ef dxximliix 相似于af重點考察眾數(shù)位置和相鄰兩組次數(shù)的關(guān)系重點考察眾數(shù)位置和相鄰兩組次數(shù)的關(guān)系眾數(shù)取值的特點：眾數(shù)取值的特點： 眾數(shù)的數(shù)值始終偏向相鄰組中次數(shù)較大的組，當(dāng)相鄰兩組眾數(shù)的數(shù)值始終偏向相鄰組中次數(shù)較大的組，當(dāng)相鄰兩組的次數(shù)相等時，眾數(shù)則是眾數(shù)組的組中值

17、。的次數(shù)相等時，眾數(shù)則是眾數(shù)組的組中值。注意問題注意問題（1 1）優(yōu)點：不易受極端值的影響。）優(yōu)點：不易受極端值的影響。（2 2）缺點：未利用所有信息，）缺點：未利用所有信息，缺乏敏感性和不適合代數(shù)運算缺乏敏感性和不適合代數(shù)運算對比1. 眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系確定分布是否確定分布是否有偏，偏斜情況如何有偏，偏斜情況如何已知某班學(xué)生的平均年齡為17.8歲，18歲的人數(shù)最多，則該分布屬于（ ）。a正態(tài) b左偏c右偏 d無法判斷對比2. 眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的特點與應(yīng)用場合眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的特點與應(yīng)用場合l位置平均數(shù)不易受極端值的影響，比較穩(wěn)健。位置

18、平均數(shù)不易受極端值的影響，比較穩(wěn)健。l位置平均數(shù)的取值只與中間位置的一或兩個數(shù)值有關(guān)，利用信位置平均數(shù)的取值只與中間位置的一或兩個數(shù)值有關(guān)，利用信 息不充分，忽略了其它數(shù)據(jù)的大小，并且不適合于代數(shù)運算息不充分，忽略了其它數(shù)據(jù)的大小，并且不適合于代數(shù)運算。l平均數(shù)所用的的數(shù)據(jù)信息比較完整，但易受極端值影響平均數(shù)所用的的數(shù)據(jù)信息比較完整，但易受極端值影響 1.計算平均指標(biāo)最常用的方法和最基本的形式是（）。a.中位數(shù) b.眾數(shù) c.算術(shù)平均數(shù) d.調(diào)和平數(shù) 2受極端數(shù)值影響最小的集中趨勢值是（ ）。a算術(shù)平均數(shù) b調(diào)和平均數(shù)c幾何平均數(shù) d眾數(shù)4位置平均數(shù)是指（）a算術(shù)均值b調(diào)和均值c幾何均值d眾數(shù)

19、e中位數(shù)極差與四分位差極差與四分位差 極差（極差（rangerange）也叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值）也叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之離差，即與最小值之離差，即：)min()max(iixxr 四分位差（四分位差（interquartile rangeinterquartile range）是指第三四分位）是指第三四分位數(shù)與第一四分位數(shù)之差，也稱為內(nèi)距或四分間距，用表數(shù)與第一四分位數(shù)之差，也稱為內(nèi)距或四分間距，用表示。四分位差的計算公式為：示。四分位差的計算公式為： 13qqqr離散程度刻畫指標(biāo)極差：極差： 是數(shù)據(jù)離散程度的一種簡單刻畫，其中只考慮是數(shù)據(jù)離散程度的一種簡單刻畫，其中只考慮

20、了兩端數(shù)值，沒有體現(xiàn)各單位變量值的變異程度，且易了兩端數(shù)值，沒有體現(xiàn)各單位變量值的變異程度，且易受極端值影響受極端值影響 四分位差：反映了數(shù)據(jù)排序后中間四分位差：反映了數(shù)據(jù)排序后中間50%50%數(shù)據(jù)的離散程數(shù)據(jù)的離散程度，其值越小，說明中間度，其值越小，說明中間50%50%數(shù)據(jù)越集中；四分位差是數(shù)據(jù)越集中；四分位差是由位置平均數(shù)定義，不易受極端值影響，在某種程度上由位置平均數(shù)定義，不易受極端值影響，在某種程度上彌補了極差的不足，但同樣沒有考慮所有數(shù)據(jù)彌補了極差的不足，但同樣沒有考慮所有數(shù)據(jù) 特點平均差 平均差（mean deviation）也稱平均離差，是各變量值與其平均數(shù)離差絕對值的平均數(shù)，

21、通常用 md表示。簡單式平均差簡單式平均差加權(quán)式平均差加權(quán)式平均差簡單式平均差簡單式平均差nxxmnid1平均差：avedev( )甲組乙組日產(chǎn)量離差離差絕對值日產(chǎn)量離差離差絕對值xx8090100110120-20-10010202010010209095100105110-10-505101050510合計60合計30 xxxx xxxx加權(quán)式平均差加權(quán)式平均差iiiinidffxxm11標(biāo)準(zhǔn)差與方差 標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）又稱均方差，它是各單位變量值與其平均數(shù)離差平方的平均數(shù)的方根，通常用 表示。它是測度數(shù)據(jù)離散程度的最主要方法。方差（variance）是各變量值

22、與其算術(shù)平均數(shù)離差平方和的平均數(shù)，即是標(biāo)準(zhǔn)差的平方；用 表示總體的方差；用 表示樣本的方差標(biāo)準(zhǔn)差。，而樣本標(biāo)準(zhǔn)差記為s 22s標(biāo)準(zhǔn)差的表達式總體與樣本標(biāo)準(zhǔn)差總體與樣本標(biāo)準(zhǔn)差簡單式標(biāo)準(zhǔn)差簡單式標(biāo)準(zhǔn)差 加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差簡單式標(biāo)準(zhǔn)差簡單式標(biāo)準(zhǔn)差nxxnii12)(總體標(biāo)準(zhǔn)差stdevp( )結(jié)論：平均差和標(biāo)準(zhǔn)差的大小，dm甲組乙組日產(chǎn)量離差離差平方日產(chǎn)量 離差離差平方xx8090100110120-20-100102040010001004009095100105110-10-5051010025025100合計1000合計25007. 752501 .145100022nxxnxx乙甲xx

23、xx2xx 2xx加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)式標(biāo)準(zhǔn)差niiiniiffxx121)(總體與樣本標(biāo)準(zhǔn)差總體與樣本標(biāo)準(zhǔn)差nxxnii12)(niiiniiffxxs1121)(1)(12nxxsniiniiiniiffxx121)(簡單式加權(quán)式總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差stdev( ) 總體標(biāo)準(zhǔn)差stdevp( )方差：樣本方差var( ) 總體方差varp( )離散系數(shù) 對于平均數(shù)不等或計量單位不同的不同組別的變量值，是不能對于平均數(shù)不等或計量單位不同的不同組別的變量值，是不能直接用離散程度的絕對指標(biāo)比較其離散程度的。為了消除變量平均數(shù)直接用離散程度的絕對指標(biāo)比較其離散程度的。為了消除變量平均數(shù)不等和計量

24、單位不同對離散程度測度值的影響，需要計算離散程度的不等和計量單位不同對離散程度測度值的影響，需要計算離散程度的相對指標(biāo)，即離散系數(shù)，又稱標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)相對指標(biāo)，即離散系數(shù)，又稱標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)( (無名數(shù)無名數(shù)）。其一般公式是：）。其一般公式是：對應(yīng)的平均指標(biāo)離散程度的絕對指標(biāo)離散系數(shù) ( )100%svx離散系數(shù)例：某地隨機抽取一組男青年和女青年，測量他們的平均體重和標(biāo)準(zhǔn)差如下55.59,4.26548.52,3.985xkg skgxkg skg男女離散系數(shù)為( )100%7.67%( )100%8.21%svxsvx男女說明女青年間體重的差異比男青年要大一些數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化判斷是否有離群點判斷是否有離群

25、點 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值是變量值與其平均數(shù)的離差除以標(biāo)準(zhǔn)差后的值，也稱為z分?jǐn)?shù)或標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值為z，則有：xxzi 度量的是數(shù)據(jù)偏離平均值有多少個標(biāo)準(zhǔn)差；度量的是數(shù)據(jù)偏離平均值有多少個標(biāo)準(zhǔn)差；經(jīng)驗表明：當(dāng)數(shù)據(jù)分布對稱時經(jīng)驗表明：當(dāng)數(shù)據(jù)分布對稱時約有約有68.27%68.27%的數(shù)據(jù)與平均值的偏離在的數(shù)據(jù)與平均值的偏離在1 1個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，約有約有95.45%95.45%的數(shù)據(jù)與平均值的偏離在的數(shù)據(jù)與平均值的偏離在2 2個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，約有約有99.73%99.73%的數(shù)據(jù)與平均值的偏離在的數(shù)據(jù)與平均值的偏離在3 3個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)；個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)；可見

26、，偏離可見，偏離3 3個標(biāo)準(zhǔn)差之外的數(shù)據(jù)時很少的；個標(biāo)準(zhǔn)差之外的數(shù)據(jù)時很少的；一般，偏離一般，偏離3 3個標(biāo)準(zhǔn)差之外的數(shù)據(jù)就稱為是離群點或異常值個標(biāo)準(zhǔn)差之外的數(shù)據(jù)就稱為是離群點或異常值也就是說，標(biāo)準(zhǔn)化之后約有也就是說，標(biāo)準(zhǔn)化之后約有99.73%（95.45%）的結(jié)果是在）的結(jié)果是在+-3（+-2）之間）之間-實際中有此特性的是正態(tài)分布變量實際中有此特性的是正態(tài)分布變量數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化判斷是否有離群點判斷是否有離群點如果我們認(rèn)為偏離超過3個標(biāo)準(zhǔn)差即為離群點，那么-3.6所對應(yīng)的數(shù)值為離群點數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化判斷是否有離群點判斷是否有離群點normsdist(z)=p(x1.5)=2(normsdist(-1.

27、5)=0.1336normsinv (probability):返回p(xz)=probability所對應(yīng)的znormsinv (0.975)= 1.96根據(jù)對稱性，有normsinv(0.025)=-1.96標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的有關(guān)函數(shù)課后單選12 ：-normsinv (0.01)=2.33 -normsinv (0.06)=1.55 數(shù)據(jù)分成k組，每組的次數(shù)ni,i=1.2.k,記 為第i組的第j個數(shù)據(jù)， 為第i組的平均數(shù)ijxix2i為第i組的組內(nèi)方差，則212,1,.,inijijiixxikn各組內(nèi)方差的加權(quán)平均數(shù)：22112111inkkijiiiijiikkiiiixxnnn 總方

28、差，組間方差，組內(nèi)方差組內(nèi)離差平方和組內(nèi)離差平方和記 為總平均數(shù)x組間方差：11kiiikiixnxn總方差：2211kiiikiixxnn()()ixx組間方差：各組平均數(shù)對總平均數(shù)的方差。222i總方差組間方差平均組內(nèi)方差可證明也被稱為方差加法定理2121inkijijkiixxn 組間離差平方和總離差平方和stat例題：教材數(shù)據(jù)（ch4-方差分解）原點矩原點矩kexk階原點矩一階原點矩ex二階原點矩2exk階樣本原點矩1nkiixn一階樣本原點矩1niixn二階樣本原點矩21niixn中心矩中心矩()ke xuk階原點矩二階原點矩2()e xuk階樣本原點矩1()nkiixxn二階樣本原

29、點矩21()niixxnniinikiikfxfu11一般式-k階原點矩一階原點矩-加權(quán)算術(shù)平均數(shù)niiniiifxfu111對于分組數(shù)據(jù)中心矩niiniikikffxxv11)(一般式-k階中心矩三階中心矩3131()niiiniixxfvf四階中心矩4141()niiiniixxfvf二階中心矩-分組數(shù)據(jù)的方差2121()niiiniixxfvf偏態(tài) 偏態(tài)（偏態(tài)（skewnessskewness）是對分布偏斜方向和程度的測度。）是對分布偏斜方向和程度的測度。變量分組后，總體中各個體在不同的分組變量值下分布變量分組后，總體中各個體在不同的分組變量值下分布并不均勻?qū)ΨQ，而呈現(xiàn)出偏斜的分布狀況，

30、統(tǒng)計上將其并不均勻?qū)ΨQ，而呈現(xiàn)出偏斜的分布狀況，統(tǒng)計上將其稱為偏態(tài)分布。稱為偏態(tài)分布。313133niiiniiffxxv 偏態(tài)系數(shù)偏態(tài)系數(shù) 的數(shù)值一般在的數(shù)值一般在0 0與與3 3之間，越接近之間，越接近0 0，分布的偏斜度越??；越接近分布的偏斜度越?。辉浇咏? 3，分布的偏斜度越大。，分布的偏斜度越大。大于大于0 0稱為是正偏稱為是正偏( (右偏右偏), ),小于小于0 0稱為是負(fù)偏稱為是負(fù)偏( (左偏左偏) )例題偏斜度：skew( )偏態(tài)系數(shù)計算我國1997年農(nóng)村居民家庭按純收入分組的有關(guān)數(shù)據(jù)，計算偏態(tài)系數(shù)按純收入分組按純收入分組組中值組中值比重比重5 5以下以下5-105-1010-1510-1515-2015-2020-2520-2525-3025-3030-3530-3535-4035-4040-4540-4545-5045-505050以上以上2.52.57.57.512.512.517.517.522.522.527.52