工程力學(xué)(靜力學(xué)與材料力學(xué))-9-應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

1、tsinghua university 范欽珊教育教學(xué)工作室 fan qin-shanfan qin-shan s s education & teaching studio education & teaching studio 返回總目錄返回總目錄tsinghua university返回總目錄返回總目錄tsinghua universitytsinghua universitytsinghua university返回總目錄返回總目錄tsinghua university返回返回tsinghua universitytsinghua universitytsinghua

2、universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universityxx y xxyxxtsinghua universityx y xxy xyyxxyyxtsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universi

3、tytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua university 微元及其各面上微元及其各面上一一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的的描述描述tsinghua universityyxz x y z xy yx yz zy zx xztsinghua university( plane state of stresses )xyx y yx xytsinghua university( one dimensional state of stresses )( shearing state of stresses )

4、tsinghua universitytsinghua universityfpl/2l/2s平面平面tsinghua university123s平面平面5 54 44 43 33 32 22 21 1tsinghua universityfplatsinghua university4321s平面平面tsinghua universityyxzmz fqymx4321143tsinghua university返回返回tsinghua universitytsinghua universityxxxxtsinghua universityx y yx xy剪應(yīng)力tsinghua unive

5、rsityyxxyq方向角qtsinghua university y yxxx y daq qx xytsinghua universityx y x xy y yxdaq qx y x y x y x tsinghua universityx xy y yxdaq qxxxx y x tsinghua universityx y xx xy yy xy yx y xtsinghua universitytsinghua universityxyxxtsinghua universityxyxxtsinghua universityxyxxtsinghua university yx xyx

6、ytsinghua university yx xyxytsinghua university yx xyxytsinghua university返回返回tsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua university y yx xyxxy x y y y x xxy py pxy

7、pxptsinghua university y yx xyxxy tsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua university 考察微元三對(duì)面上分考察微元三對(duì)面上分別 作 用 著 三 個(gè) 主 應(yīng) 力別 作 用 著 三 個(gè) 主 應(yīng) 力（123 0）的應(yīng)力）的應(yīng)力狀態(tài)。狀態(tài)。 tsinghua universityx=3, ,y=2，xy022421xyyx 這就是這就是組方向面內(nèi)的最大剪應(yīng)力組方向面內(nèi)的最大剪應(yīng)力。232 在平行于主應(yīng)力在平行于主應(yīng)力1方向的任意方向面方向的任意方向面上，正應(yīng)力和剪應(yīng)力都

8、上，正應(yīng)力和剪應(yīng)力都與與1無關(guān)。因此，當(dāng)研究平行于無關(guān)。因此，當(dāng)研究平行于1的這一組方向面上的應(yīng)力時(shí)，所的這一組方向面上的應(yīng)力時(shí)，所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)：研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)： tsinghua university 在平行于主應(yīng)力在平行于主應(yīng)力2方向的任意方向面方向的任意方向面上，正應(yīng)力和剪應(yīng)力都與上，正應(yīng)力和剪應(yīng)力都與2無關(guān)。因此，當(dāng)無關(guān)。因此，當(dāng)研究平行于研究平行于2的這一組方向面上的應(yīng)力時(shí)，的這一組方向面上的應(yīng)力時(shí)，所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)：所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)： x=1, ,y=3，xy0。 22421xyyx 132這就是這就

9、是組方向面內(nèi)的最大剪應(yīng)力組方向面內(nèi)的最大剪應(yīng)力。tsinghua universityx=1, ,y=2，xy0。 22421xyyx 122 在平行于主應(yīng)力在平行于主應(yīng)力3方向的任意方方向的任意方向面向面上，正應(yīng)力和剪應(yīng)力都與上，正應(yīng)力和剪應(yīng)力都與3無無關(guān)。因此，當(dāng)研究平行于關(guān)。因此，當(dāng)研究平行于3的這一組的這一組方向面上的應(yīng)力時(shí)，所研究的應(yīng)力狀方向面上的應(yīng)力時(shí)，所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)：態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài)： 這就是這就是組方向面內(nèi)的最大剪應(yīng)力組方向面內(nèi)的最大剪應(yīng)力。tsinghua universitytsinghua university 薄壁圓管受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時(shí)作用薄壁

10、圓管受扭轉(zhuǎn)和拉伸同時(shí)作用（如圖所示如圖所示）。已知圓。已知圓管的平均直徑管的平均直徑d50 mm，壁厚壁厚2 mm。外加力偶的力。外加力偶的力偶矩偶矩me600 nm，軸向載荷，軸向載荷fp20 kn。薄壁管截面的。薄壁管截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)可近似取為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)可近似取為 22pdw 1圓管表面上過圓管表面上過d點(diǎn)與圓管母線夾角為點(diǎn)與圓管母線夾角為30的斜截的斜截 面上的應(yīng)力；面上的應(yīng)力； 2. d點(diǎn)主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。點(diǎn)主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。 tsinghua university取微元，確定微元各個(gè)面上的應(yīng)力取微元，確定微元各個(gè)面上的應(yīng)力 圍繞圍繞d點(diǎn)用橫截面、縱截面和圓柱面截取微元。點(diǎn)用橫

11、截面、縱截面和圓柱面截取微元。 利用拉伸和圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力公利用拉伸和圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力公式計(jì)算微元各面上的應(yīng)力：式計(jì)算微元各面上的應(yīng)力： tsinghua university取微元，確定微元各個(gè)面上的應(yīng)力取微元，確定微元各個(gè)面上的應(yīng)力 利用拉伸和圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力公利用拉伸和圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力公式計(jì)算微元各面上的應(yīng)力：式計(jì)算微元各面上的應(yīng)力： 3pp-3-320kn 1063 7mpa 50mm 102mm 10.ffad22-3-3p22 600n m76 4mpa50mm 102mm 10.xmmewdtsinghua

12、university求斜截面上的應(yīng)力求斜截面上的應(yīng)力 在在本例中有本例中有： x63.7 mpa，y0， xy一一76.4 mpa，120。 qq2sin2cos22xyyxyxxqq2cos2sin2xyyxyxqq2sin2cos2230 xyyxyxmpa3501202sinmpa4761202cos20mpa76320mpa763.tsinghua university求斜截面上的應(yīng)力求斜截面上的應(yīng)力 在在本例中有本例中有： x63.7 mpa，y0， xy一一76.4 mpa，120。 qq2sin2cos22xyyxyxxqq2cos2sin2xyyxyxqq2cos2sin230

13、 xyyxmpa7101202cosmpa4761202sin20mpa763.tsinghua university確定主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力確定主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力 224212xyyxyxmpa6114mpa47640mpa7632120mpa76322.224212xyyxyx mpa950mpa47640mpa7632120mpa76322.0 tsinghua university確定主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力確定主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力114 6mpa.50 9mpa.0 根據(jù)主應(yīng)力代數(shù)值大小順序排列，根據(jù)主應(yīng)力代數(shù)值大小順序排列，d點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為1114 6mpa.350 9mp

14、a.20d點(diǎn)的最大剪應(yīng)力為點(diǎn)的最大剪應(yīng)力為 13max114.6mpa50.9mpa82.75mpa22 tsinghua university例 題 6應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。1.確定主應(yīng)力確定主應(yīng)力 應(yīng)用平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力公式應(yīng)用平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力公式 1寫出主應(yīng)力寫出主應(yīng)力 1、 2、 3的表達(dá)式；的表達(dá)式； 2若已知若已知 x63.7 mpa， xy=76.4 mpa，當(dāng)坐標(biāo)軸，當(dāng)坐標(biāo)軸x、y反時(shí)針方向反時(shí)針方向 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)q q=120 后至后至x、y ，求求: x、xy 。221422xyxyxy 221422xyxyxy tsinghua university1.確定主

15、應(yīng)力確定主應(yīng)力應(yīng)用平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力公式應(yīng)用平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力公式 因?yàn)橐驗(yàn)?y0，所以有，所以有0421222xyxx0421222 xyxx又因?yàn)槭瞧矫鎽?yīng)力狀態(tài)，故有又因?yàn)槭瞧矫鎽?yīng)力狀態(tài)，故有0 221422xyxyxy 221422xyxyxy tsinghua university于是，根據(jù)于是，根據(jù) 1 2 3的排列順序，得的排列順序，得 2232221421204212xyxxxyxx0421222xyxx0421222 xyxx0 tsinghua university2.計(jì)算方向面法線旋轉(zhuǎn)后的應(yīng)力分量計(jì)算方向面法線旋轉(zhuǎn)后的應(yīng)力分量 將已知數(shù)據(jù)將已知數(shù)據(jù) x63.7 mpa， y

16、0， xy yx=76.4 mpa，q q=120 等代入任等代入任意方向面意方向面上應(yīng)力分量的表達(dá)式上應(yīng)力分量的表達(dá)式 ，求得：，求得：66663 7010 cos 2 1202 76 4 10 sin 2 120282.1 10 pa82.1mpax .66637 010sin 2 120764 10 cos 2 1202xy .mpa865pa108656.tsinghua university三向應(yīng)力狀態(tài)如圖所三向應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，圖中應(yīng)力的單位為示，圖中應(yīng)力的單位為mpa。例例 題題 7主應(yīng)力及微元內(nèi)的最主應(yīng)力及微元內(nèi)的最大剪應(yīng)力。大剪應(yīng)力。tsinghua university故微

17、元上平行于故微元上平行于 的方向面上的應(yīng)力值與的方向面上的應(yīng)力值與 無關(guān)。因此，無關(guān)。因此，當(dāng)確定這一組方向面上的應(yīng)力，以及這一組方向面中的主當(dāng)確定這一組方向面上的應(yīng)力，以及這一組方向面中的主應(yīng)力應(yīng)力 和和 時(shí)，可以將所給的應(yīng)力狀態(tài)視為平面應(yīng)力狀態(tài)。時(shí)，可以將所給的應(yīng)力狀態(tài)視為平面應(yīng)力狀態(tài)。 所給的應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主應(yīng)力是已知的，即所給的應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主應(yīng)力是已知的，即60mpatsinghua university這與這與中的平面應(yīng)力狀態(tài)相類似。于是，中的平面應(yīng)力狀態(tài)相類似。于是，中所中所得到的主應(yīng)力得到的主應(yīng)力 和和 公式可直接應(yīng)用公式可直接應(yīng)用 0421222xyxx0421222 x

18、yxx所給的應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主應(yīng)所給的應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主應(yīng)力是已知的，即力是已知的，即60mpatsinghua university 本例中本例中 x x=20 mpa， xyxy=40 mpa。據(jù)此，求得。據(jù)此，求得 622662010120 10440 10pa=31.23mpa22622662010120 10440 10pa51.23mpa22 60mpa0421222xyxx0421222 xyxxtsinghua university根據(jù)根據(jù) 1 2 3的排列順序，可以寫出的排列順序，可以寫出 mpa2351mpa2331mpa60321.微元內(nèi)的最大剪應(yīng)力微元內(nèi)的最大剪應(yīng)力 5

19、5.6mpampa1055.6pa21023511060266631max.622662010120 10440 10pa=31.23mpa22622662010120 10440 10pa51.23mpa22 60mpatsinghua university返回返回tsinghua universitytsinghua universitytsinghua universityr rxyxy 12422 xy 2 x x y o otsinghua universitytsinghua university點(diǎn)面對(duì)應(yīng) x x y aatsinghua university x x y adnq

20、 q dxa2q q轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)二倍角對(duì)應(yīng)tsinghua universitytsinghua university x x y oca( x , xy) y yxb y yxbb( y , yx) xya y yxbxx xyax xya y yxb y yxbtsinghua university x x y oca( x , xy) y yxb y yxbb( y , yx) xya y yxbxx xyax xya y yxb y yxbtsinghua universitytsinghua university x x xy xo245245beadadcbee eb b4545tsi

21、nghua universityc xy xo245245adbe x xebeb x xtsinghua universityeb x x 軸向拉伸時(shí)軸向拉伸時(shí)45方向方向面上面上既有既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力，但正應(yīng)力不正應(yīng)力又有剪應(yīng)力，但正應(yīng)力不是最大值，剪應(yīng)力卻最大。是最大值，剪應(yīng)力卻最大。tsinghua universityo xy x245245 y x beda a d(0,- )ca (0, )ebtsinghua university y x beda a y x betsinghua university 在純剪應(yīng)力狀態(tài)下，在純剪應(yīng)力狀態(tài)下，4545方向面上方向面上只有只有正應(yīng)

22、力沒有剪應(yīng)正應(yīng)力沒有剪應(yīng)力，而且正應(yīng)力為最大值。力，而且正應(yīng)力為最大值。da a y x betsinghua university xy x y yx xy xoada ad主平面主平面（p principal plane）：）： = 0,= 0,與應(yīng)力圓上和橫軸交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的面。與應(yīng)力圓上和橫軸交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的面。cbeq qpbq qpe2q qptsinghua university x y yxa ad xyq qpeq qpb xy xoadcbe2q qp 主應(yīng)力主應(yīng)力（p principal stresses）：）：主平面上的正應(yīng)力。主平面上的正應(yīng)力。tsinghua universit

23、ytsinghua university xy xoadcbe adcbe adcbe 主應(yīng)力主應(yīng)力（p principal stresses）：）：主平面上的正應(yīng)力。主平面上的正應(yīng)力。tsinghua university 有幾個(gè)主應(yīng)有幾個(gè)主應(yīng)力力？ xy xoadcbe 123tsinghua university xy xoadcbe 有幾個(gè)主應(yīng)有幾個(gè)主應(yīng)力力？123tsinghua university 224212xyyxyx 224212xyyxyx 0 2q qp xy xocbead tsinghua university 對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上的最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上的最高點(diǎn)的面上剪應(yīng)力最

24、大，稱為的面上剪應(yīng)力最大，稱為“ “ 面內(nèi)最大剪應(yīng)力面內(nèi)最大剪應(yīng)力” ” （maximum shearing stress in plane）。 224212xyyx xy xoc tsinghua university 考察微元三對(duì)面上分考察微元三對(duì)面上分別 作 用 著 三 個(gè) 主 應(yīng) 力別 作 用 著 三 個(gè) 主 應(yīng) 力（123 0）的應(yīng)力）的應(yīng)力狀態(tài)。狀態(tài)。 tsinghua university xy x由由 2 、 3可作出應(yīng)力圓可作出應(yīng)力圓 i 3 2ii 1 2 3tsinghua university由由 1 、 3可作出應(yīng)力圓可作出應(yīng)力圓iiiiii 1 3iii 2 3 x

25、y xo 2 3 1tsinghua universityiii xy xo 3由由 1 、 2可作出應(yīng)力圓可作出應(yīng)力圓 iiiiii 2 1iii 2 1 3tsinghua university 1iii 3iii 2o xy x 微元任意方微元任意方向面上的應(yīng)力對(duì)向面上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)著三個(gè)應(yīng)力圓應(yīng)著三個(gè)應(yīng)力圓之間某一點(diǎn)的坐之間某一點(diǎn)的坐標(biāo)。標(biāo)。tsinghua universitytsinghua university 例例 題題 8 yx xo max20030050(mpa)平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力 1 1、 2 2 、 3 3和和最大切應(yīng)最大切應(yīng) 力力 max。tsin

26、ghua university xo x y 2005030050(mpa) max平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力 1 1、 2 2 、 3 3和最大剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 max。tsinghua university o x x y 300100(mpa) max例 題 10平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力 1 1、 2 2 、 3 3和和最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 max。batsinghua university返回返回tsinghua university11 泊松比泊松比tsinghua universitytsinghua universityxy y x tsinghu

27、a universitytsinghua university返回返回tsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitydw =dv tsinghua universitytsinghua university2 13 321tsinghua university2 13 321tsinghua university2 13 321tsinghua universitytsinghua university 321tsinghua universitytsinghua university 321tsinghua universi

28、tytsinghua university返回返回tsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua university返回返回tsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universitytsinghua universityomaxmax1(0)tsinghua university123 = btsinghua university123 = btsinghua universitytsinghua universit

29、ytsinghua university123 = btsinghua university123 = btsinghua university返回返回tsinghua universitytsinghua universitytsinghua university 第三強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論又稱為又稱為最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則（maximum shearing stress criterion）。）。 tsinghua university 根據(jù)根據(jù)第三強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論， tsinghua university123 =s 根據(jù)根據(jù)第三強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論，tsinghua unive

30、rsity123 =s 根據(jù)根據(jù)第三強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論，tsinghua universitytsinghua university 根據(jù)根據(jù)第四強(qiáng)度理論第四強(qiáng)度理論，tsinghua university123 =s 根據(jù)根據(jù)第四強(qiáng)度理論第四強(qiáng)度理論，tsinghua university123 =s 根據(jù)根據(jù)第四強(qiáng)度理論第四強(qiáng)度理論，tsinghua universitytsinghua universitytsinghua university鑄鐵構(gòu)件上危險(xiǎn)鑄鐵構(gòu)件上危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。鑄鐵拉伸許點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。鑄鐵拉伸許用應(yīng)力用應(yīng)力 =30mpa。該點(diǎn)的強(qiáng)度。該點(diǎn)的強(qiáng)度。tsinghua

31、 university首先根據(jù)材料和應(yīng)首先根據(jù)材料和應(yīng)力狀態(tài)確定失效形式，選力狀態(tài)確定失效形式，選擇設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。擇設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。 脆性斷裂，由最大拉脆性斷裂，由最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則得到應(yīng)力準(zhǔn)則得到 max= 1 其次是確定主應(yīng)力其次是確定主應(yīng)力tsinghua university224212xyyxyx224212xyyxyx 0 其次是確定主應(yīng)力其次是確定主應(yīng)力tsinghua university最后應(yīng)用第一強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度最后應(yīng)用第一強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度129.28mpa,23.72mpa, 30 max= 1= 29.28mpa = 30mpa危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度是安全的。危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度是安全的。tsinghua university 和和 。第三強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論的表達(dá)式。和第四強(qiáng)度理論的表達(dá)式。tsinghua university確定主應(yīng)力確定主應(yīng)力2214212223421202tsinghua univers