第四節(jié)古典概型和幾何概型

1、第四節(jié)古典概型和幾何概型第四節(jié)古典概型和幾何概型 基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1. 基本事件在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個_稱為基本事件2. 古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概型(1)所有的基本事件_；(2)每個基本事件的發(fā)生都是_3. 古典概型的概率如果一次試驗的_基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是_如果某個事件a包含了其中m個等可能基本事件，那么事件a發(fā)生的概率為p(a)=_.4. 幾何概型的概念對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點

2、，這里的區(qū)域可以是_、_、_等用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型5. 幾何概型的特點(1)無限性：即在一次試驗中，基本事件的個數(shù)可以是_(2)等可能性：即每個基本事件發(fā)生的可能性是_因此，用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”，即隨機事件a的概率可以用“事件a包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長度)”與“試驗的基本事件所占的總面積(體積、長度)”之比來表示6. 幾何概型的計算公式一般地，在幾何區(qū)域d中隨機取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件a，則事件a發(fā)生的概率p(a)=.7. 幾何概型與古典概型的區(qū)別與聯(lián)系(1)共同點：_.(2)不同點：基本事

3、件的個數(shù)一個是無限的，一個是有限的基本事件可以抽象為點，對于幾何概型，這些點盡管是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域卻是有限的，根據(jù)等可能性，這個點落在區(qū)域的概率與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)答案：1. 基本結(jié)果2. (1)只有有限個(2)等可能的3. 等可能4. 線段平面圖形立體圖形5. (1)無限的(2)均等的7. (1)基本事件都是等可能的基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. 下列概率模型中，是古典概型的有_從區(qū)間1,10內(nèi)任意取出一個數(shù)，求取到1的概率；從110中任意取出一個整數(shù)，求取到1的概率；向一個正方形abcd內(nèi)投擲一點p，求p恰好與a點重合的概率；向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣，求正面朝

4、上的概率2. (教材改編題)從含有100個個體的總體中，一次性抽出20個個體，假定每個個體被抽到的概率相等，則總體中某個個體被抽到的概率為_3. 在線段0,3上任意取一點，則此點坐標(biāo)不大于2的概率是_4. (教材改編題)在40根纖維中，有12根的長度超過30 mm，從中任取一根，取到長度超過30 mm的纖維的概率_5. 在一杯2升的水中含有一個細(xì)菌，用一個小杯從這杯水中取出0.3升水，則小杯中含有這個細(xì)菌的概率是_. 1. 解析：本題主要考查相關(guān)概念2. 解析：由題意知，總體由差異比較明顯的幾部分組成，在抽樣時需采用分層抽樣；分層后農(nóng)民家庭中個體的數(shù)量仍然較大，適宜采用系統(tǒng)抽樣；工人家庭、知識

5、分子家庭需采用簡單隨機抽樣剔除部分個體故本題應(yīng)選. 答案： . . .45x3. 900解析：高二年級抽15人，設(shè)該校學(xué)生總數(shù)是x人，則 ，所以x900.4. 30,45,15解析：甲校應(yīng)抽取人數(shù)是 9030，乙校應(yīng)抽取人數(shù)是 9045，丙校應(yīng)抽取人數(shù)是 9015.5. 550解析：采用系統(tǒng)抽樣應(yīng)剔除3人，樣本容量為50，故分段間隔k為5. 45x15300360036005400 1800540036005400 1800180036005400 1800經(jīng)典例題經(jīng)典例題題型一古典概型的概念題型一古典概型的概念【例1】判斷下列命題正確與否(1)先后拋擲兩枚均勻硬幣，有人說：一共出現(xiàn)“兩枚正面

6、”，“兩枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三種結(jié)果，因此出現(xiàn)“一枚正面，一枚反面”的概率是.(2)射擊運動員向一靶心進(jìn)行射擊試驗的結(jié)果為：命中10環(huán)，命中9環(huán)，命中0環(huán)，這個試驗是古典概型(3)袋中裝有大小均勻的四個紅球、三個白球、兩個黑球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同(4)四個人抽4個簽，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到某號中獎簽的可能性肯定不同解將100件軸編號為1,2，100；方法一(抽簽法)：做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這100個號碼；將這些號簽放在一個不透明的容器內(nèi)，攪拌均勻；逐個抽取10個號簽；然后測量這10個號簽對應(yīng)的軸的直徑的樣本. 方法二(隨機數(shù)表法)：將100件軸編

7、號為00,01，99；在隨機數(shù)表中選定一個起始位置，如取第21行第1個數(shù)開(見教材附錄1：隨機數(shù)表)；規(guī)定讀數(shù)的方向，如向右讀；依次選取10個數(shù)為68,34,30,13,70,55,74,77,40,44，則這10個號簽相應(yīng)的個體即為所要抽取的樣本. 題型二求古典概型的基本事件題型二求古典概型的基本事件【例2】從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的驗中，有哪些基本事件？解可用系統(tǒng)抽樣法進(jìn)行抽樣，抽樣步驟如下：第一步，將905輛轎車用隨機方式編號；第二步，從總體中剔除5輛(剔除法可用隨機數(shù)表法)，將剩下的900輛轎車重新編號(分別為001,002，900)并分成90段；第三步，在第一段00

8、1,002，010這10個編號中用簡單隨機抽樣法抽出一個作為起始號碼(如006)；第四步，把起始號碼依次加間隔10，可獲得樣本題型三用枚舉法求簡單古典概型的概率題型三用枚舉法求簡單古典概型的概率【例3】(2011蘇北四市聯(lián)考)一個質(zhì)地均勻的正四面體(側(cè)棱長與底面邊長相等的正三棱錐)玩具的四個面上分別標(biāo)有1,2,3,4這四個數(shù)字若連續(xù)兩次拋擲這個玩具，則兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是_解：用分層抽樣來抽取樣本，步驟是：(1)分層：按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工，35歲至49歲的職工，50歲以上的職工(2)確定每層抽取個體的個數(shù). 抽樣比為 ，則在不到35歲的職工中抽取12

9、5 25人，在35歲至49歲的職工中抽取280 56人，在50歲以上的職工中抽取95 19人. 10015005151515變式3-1某市一公交線路某區(qū)間內(nèi)共設(shè)置六個站點(如圖所示)，分別為a0、a1、a2、a3、a4、a5，現(xiàn)有甲、乙兩人同時從a0站點上車，且他們中的每個人在站點ai(i=1,2,3,4,5)下車是等可能的. 求：(1)甲在a2站點下車的概率；(2)甲、乙兩人不在同一站點下車的概率.答案：40,60,100 解析：三個區(qū)分成三層，用分層抽樣來抽取樣本. 在a、b、c三個區(qū)分別抽取的學(xué)生人數(shù)之比也是235，所以抽取的學(xué)生人數(shù)分別是200 40,200 60， 200 10022

10、35 3235 5235 題型四用排列組合知識求古典概型的概率題型四用排列組合知識求古典概型的概率【例4】下圖中有一個信號源和五個接收器接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導(dǎo)線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是_解 解左端的6個點平均分成三組(無序)有 種方法，右端的6個點平均分成三組(無序)也有 種方法，所以基本事件數(shù)是 2種，基本事件中使得這五個接收器能同時接收到信號(即5個接受器與信號源串聯(lián))的方法數(shù)是a種故p .26 24 2

11、233ccca26 24 2233ccca55262422233accca81526 24 2233ccca變式變式4-14-1如圖，在某城市中，m，n兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，a1、a2 、a3、a4是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網(wǎng)m、n處的甲、乙兩人分別要到n，m處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，同時以每10分鐘一格的速度分別向n，m處行走，直到到達(dá)n，m為止(1)求甲經(jīng)過a2的概率；(2)求甲、乙兩人相遇經(jīng)a2點的概率(1)甲經(jīng)過a2到達(dá)，可分為兩步：第一步：甲從m經(jīng)過a2的方法數(shù)為 種；第二步：甲從a2到n的方法數(shù)為 種；所以甲經(jīng)過a2的方法數(shù)為( )2

12、；所以甲經(jīng)過a2的概率p .(2)由(1)知：甲經(jīng)過a2的方法數(shù)為( )2；乙經(jīng)過a2的方法數(shù)也為( )2；所以甲、乙兩人相遇經(jīng)a2點的方法數(shù)為( )481；甲、乙兩人相遇經(jīng)a2點的概率p .13c13c13c21336cc92013c13c13c4133366ccc81400題型五求一維幾何概型的概率題型五求一維幾何概型的概率【例5】平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑是r(ra)的硬幣任意投擲在這個平面上，求硬幣不與任意一條平行線相碰的概率 解硬幣不與任意一條平行線相碰的概率 cdab的測度的測度222ara1ra解析：基本事件是在圓o上任意取一點m，若poaqoa ，則要求事件

13、是在圓o的上任意取一點 ，則p =343223變式5-1點a是圓上固定的一點，在圓周上等可能地任取一點與a連結(jié)，弦長超過半徑的概率為_23解基本事件為“在半徑為1的圓周上隨機取三點a，b，c構(gòu)成三角形abc”，設(shè) x， y， 2(xy)三點a，b，c構(gòu)成 abc 所以基本事件的對應(yīng)區(qū)域是aob的內(nèi)部，其測度為22.abc是鈍角三角形x2或y2或0 xya的概率是_知識準(zhǔn)備： 1. 會利用列舉法一一列舉出來各種情況； 2. 會利用古典概率公式求解 解析：從集合1,2,3,4,5中取一個數(shù)a有5種取法，從集合1,2,3中取一個數(shù)b有3種取法，使ba有(1,2)，(1,3)，(2,3)3種，所以所求

14、概率p = .311553. (2010山東)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4 .(1)從袋中隨機抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求nm2的概率知識準(zhǔn)備：1. 會利用列舉法求基本事件； 2. 會用對立事件求概率解 (1)從袋子中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4，2和3，2和4,3和4，共6個從袋中隨機取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個，因此所求事件的概率為 .(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨