金鑰匙之一算謎問題睿達資優(yōu)教育首頁

1、一算謎問題湊湊、估估、揭謎底算謎問題是一類趣味性較強的數(shù)學游戲，它不僅加深對小學數(shù)學基本知 識的理解，對于培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力、推理判斷能力非常有益。1958 年開始，心理學家以算謎為例子，研究人類解決問題的思維過程。由于 算謎問題構思精巧，變化多端，并且具有不同的難度層次，所以經(jīng)常被智力 競賽和數(shù)學競賽所選用。算謎問題，一般指那些含有未知數(shù)或待定的運算符號的算式。這種不完 整的算式就像“謎”一樣，要我們根據(jù)運算法則和邏輯推理方法進行推理、 判斷把算謎“猜”出來，使不完整的算式補充完整。我們通過一些例子來講述解答算謎問題的思考方法和技巧。例 1 9137=1001425= 把+、-、&

2、#215;、÷分別填在適當?shù)膱A圈中，并在長方形中填上適當?shù)恼麛?shù)， 可以使上面的兩個等式都成立。這時長方形中的數(shù)是幾？（1986 年第一屆“華羅庚金杯賽”決賽試題） 解法：先考慮第一個等式，等式右邊是 100 比 9、13、7 大得多，所以等式的圓圈里首先應考慮“+”或“×”，但 9×13=117 比 100 大，所以得 913×7=100。 第二個等式中，題意要求在長方形中填整數(shù)，而且只剩下減號和除號，所以得 14÷2-5=2。 即長方形中的數(shù)是 2。例 2在 15 個 8 之間添上+、-、×、÷，使得下面的算式成立：8 8

3、 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1986（北京市第二屆小學生“迎春杯”數(shù)學決賽題） 分析：這個式子數(shù)字很大，我們先湊出與 1986 較接近的數(shù)，如： 8888÷8888=1999。這個數(shù)比 1986 大 13，這樣原問題就轉化為：能否用剩下的 七個 8 經(jīng)適當?shù)乃膭t運算得出一個等于 13 的算式呢？還是用上面的想法：11 與 13 較接近，而 88÷8=11 這樣一來問題就轉化為能否用剩下的四個 8 寫 出一個等于 2 的算式。而這是不難辦到的。如： 8÷88÷82解法： 8888÷8888-88÷8-8&#

4、247;8-8÷8=1986 用上面類似的方法你能找到另外的解答嗎？ 以上二例是填寫運算符號，例 1 是根據(jù)運算結果進行逆推，是解答算謎問題的常用方法。例 2 用逆推的方法比較麻煩，因此，我們先經(jīng)過估算，湊 出一個與結果較接近的數(shù)，然后湊湊、算算，使算式成立。下面我們來講述填補等式或豎式的算謎問題。例 3將 0，1，2，3，4，5，6 這七個數(shù)字填在圓圈和方格內(nèi)，每個數(shù) 字恰好出現(xiàn)一次，組成只有一位數(shù)和兩位數(shù)的整數(shù)算式。問填在方格內(nèi)的數(shù) 是幾？×=÷（1986 年第一屆“華羅庚金杯賽”復賽試題） 解法：要求用七個數(shù)字組成五個數(shù)，根據(jù)算式，應當三個數(shù)是一位數(shù)，兩個二

5、位數(shù)，二位數(shù)應是積和被除數(shù)。o 和 1 不宜做一位數(shù)，一位數(shù)如果是 2，則會出現(xiàn) 2×612（2 重復出 現(xiàn)）， 2×5=10（經(jīng)試驗不行）， 2×48（7 個數(shù)中沒有 8）， 2×3=6（6 不能成為商），因此，2 也不能做一位數(shù)。0、1 和 2 只能用來組成二位數(shù)，它可以組成 12 和 21，經(jīng)驗算，21 不能 填在方框內(nèi)，于是得到 3×4=12=60÷5。即填在方框內(nèi)的數(shù)是 12。例 4下面的算式里，每個方框代表一個數(shù)字。問：這 6 個方框中的數(shù) 字的總和是多少？（1991 年第三屆“華羅庚金杯賽”初賽試題）+ 1 9 9 1分

6、析：解決這樣的問題，我們需要認真審題，抓住式中的某些特點，尋 找突破口。這個題目的突破口在百位上，由于十位至多向百位進 1，且百位上兩個內(nèi)數(shù)字之和加上十位向百位的進位等于 19，可以推出百位上兩個內(nèi)數(shù)字 均填 9，且十位向百位進 1；同理，由于十位上兩個內(nèi)數(shù)字之和加上個位向 十位的進位等于 19，可以推出十位上兩個內(nèi)數(shù)字均填 9，且個位向十位進1；由此推出個位上兩個內(nèi)數(shù)字之和等于 11。 解法：由于兩個加數(shù)的十位和百位數(shù)字均為 9，兩個加數(shù)的個位數(shù)字之和為 11，因此所有內(nèi)數(shù)字之和為 9×4+11=47。7，8，9”中的某一個數(shù)字，使得該除式成立。（上海市 1988 年小學數(shù)學競賽試

7、題） 分析：根據(jù)除式條件，首先可知除數(shù)的十位數(shù)字是 1，第一次相除后，余數(shù)是 32，由此推出商數(shù)的個位數(shù)字只能是 2，除數(shù)的個位數(shù)字也只能是 6。 解法：例 6在中填上適當?shù)臄?shù)字，使算式成立。分析：因為除數(shù)是三位數(shù)，并且百位數(shù)為 6，它和商的首位的乘積也是 三位數(shù)，所以商的首位是 1；因為第一行的個位數(shù)是 7，所以除數(shù)的個位數(shù)也是 7； 因為第二行的個位為 1，所以商的個位為 3。因為 3×7= 21，必須向十位進 2，所以根據(jù)十位上的 6，推知除數(shù)的十位是 8。商與除數(shù)確定后，其他 數(shù)字都易于確定。解法：例7表示一個四位數(shù)，abcd表示一個三位數(shù)，efga、 、bc、d、e、f、g

8、、代表19中的不同的數(shù)字。已知abcd + efg = 1993，問：乘積abcd×efg的最大值與最小值差多少？（1993 年第三屆“華羅庚金杯賽”決賽第一試試題） 分析：這是一道數(shù)字謎的最值問題，要選擇好“突破口”通常從首位或未位數(shù)字入手。 解法：由已知條件+a b c d e f g1993首先確定 a1，然后再看被加數(shù)與加數(shù)的個位數(shù)字之和：d+g=3 或 13， 由題意 a、d、g 代表不同的數(shù)字，于是 dc23=5，因此有 dg=13。同 理，被加數(shù)與加數(shù)的十位數(shù)字之和：c+f89=17。這樣可以斷定 cf=8， 最后可以推知，被加數(shù)與加數(shù)的百位數(shù)字之和 be=9，下面考慮

9、乘法算式1bcd×efg。為了使乘積最大，顯然乘數(shù)的首位數(shù)字 e 應該盡可能大，而 be=9。于 是 b 應該盡可能小，這樣可以斷定取 b =2，e=9，根據(jù)同樣理由，可以確定 乘數(shù)的十位數(shù)字 f 應該取 5，因為這時 c 的最小值可取 3；最后確定 c=9，d = 4，所以乘積abcd×efg的最大值是1234×759=936606。 類似地，為了使乘積最小，可以依次確定 b=7，e=2，c=5，f=3，d=9，c = 4，所以乘積abcd×efg的最小值是1759×234=411606。936606-411606=525000。 所以，乘積

10、 abcd×efg 的最大值與最小值差 525000。例 8在右邊的算式中 a、b 代表不同的數(shù)字，若算式成立，求出 a、b。ab×ba11430 431 54（1980 美國長島小學數(shù)學奧林匹克競賽試題）解法：算式中， ab×a=114 將 114 分解因式， 114=2×3×19，然后 將 114 寫成一個二位數(shù)與一個一位數(shù)的積。114=52×2=38×3=19×6，顯然 38×3 符合要求，所以 a=3，b8。例 9右邊乘法算式中的來參加數(shù)學邀請賽“來參加數(shù)學邀請賽”八個 字各代×賽表一個

11、不同的數(shù)字，其中賽代表來來來來來來來來來 9，來代表，參代表，加代表，數(shù)代表 ，學代表，邀 代表，請代表。（1986 年“小學生數(shù)學報”數(shù)學邀請賽試題）解法：已知賽代表 9，賽×賽9×9=81，所以來代表 1，即乘積為111111111。根據(jù)積÷一個因數(shù)另一個因數(shù)，可以求得被乘數(shù) 111111111÷9=123456789。從而得出：參代表 2，加代表 3，數(shù)代表 4，學代表 5，邀代表6，請代表 7。例 10下面乘式中的“趣味數(shù)學”四個字各代表一個互不相同的數(shù)字， 每個方框中可以填 0 至 9 任何一個數(shù)字，但最高位不能填 0，試確定算式中 的每一個數(shù)

12、字。解法：為敘述方便，把每行中的數(shù)字從上到下稱為第一行，第二行， 從第二行看，“數(shù)”代表 0。 從第三行看，“趣”代表的數(shù)自乘后仍是一位數(shù)，所以這個數(shù)必須小于等于 3。而且當“趣”代表 3 時，“味”必須小于等于 2。 從第四行看，第三行的第一個數(shù)字必須是 9，因此“趣”代表 3。 又因“數(shù)”代表 0，如果“味”代表 1，那么第二行的第一個數(shù)“3”與第三行的第二個數(shù)“3”相加就沒法進行。所以，“味”必須是 2。于是“趣”、“味”、“數(shù)”分別為“3”、“2”、“0”。 最后看第一行“學”不能大于 3，否則第一行將是五位數(shù)，又因為四個數(shù)字表示互不相同的數(shù)，所以學只能是“1”。 通過上面例題分析，解

13、答算謎問題要注意：1.首先要注意算式中的各個文字、字母、符號都只能取 0 至 9 中的某一 個數(shù)字。2.要認真分析已知算式中給出的各種數(shù)量關系，根據(jù)這些數(shù)量關系，選 擇“突破口”。3.突破口的選擇往往從確定一個數(shù)（乘數(shù)，被乘數(shù)，除數(shù)或商）的個位、 首位或其他數(shù)位上的數(shù)字入手。4.必要時要采用枚舉和篩選相結合的方法，淘汰那些不合題意的解，尋 找正確答案。5.運用估算的方法，縮小枚舉和試驗范圍以減少試驗次數(shù)。習題一1.在 1199 之間填上適合的運算符號，使等式成立。119910（天津市第一屆小學生“我愛數(shù)學”邀請賽試題）2.填上合適的符號，使等式成立。4444=14444=24444=34444

14、=44444=5（天津市第二屆小學生“我愛數(shù)學”預賽試題）3.在下面式中填上算術運算符號、括號，使式子成立：（1）1 2 3=1；（2）1 2 3 4=1；（3）1 2 3 4 5=1；（4）1 2 3 4 5 6=1；（5）1 2 3 4 5 6 7=1。（1984 年重慶市小學數(shù)學競賽試題）4. 填上適當?shù)倪\算符號，使下式成立：1 2 3 4 5100（1983 年小學生報數(shù)學邀請賽）5.在下面十五個 9 之間添上+、-、×、÷、（）使下面算式成立：9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 920006.在被除數(shù)小于 100 的情 況下，在右圖內(nèi)填上適當?shù)?/p>

15、數(shù)： = 44÷ = 55 = 66（1983 年小學生報數(shù)學邀請賽試題）7.在下面的中，分別填上 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中的一個數(shù)字（每個只許填一次）使得帶分數(shù)算式（每式只要一個填法）：（上海第一屆“從小愛數(shù)學”邀請賽試題）8.在下面乘法豎式的內(nèi)各填上適合的數(shù)字，使算式成立：9.在下面的方框中填上適當?shù)臄?shù)字，使算式成立：10.關于下面的算式，只知道一個數(shù)字 8，你能確定其他數(shù)字嗎？11.把下面除法算式中的*號填出來，成為一完整的算式。12.下式中不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，求 出這些字母各代表什么數(shù)字，算式才能成立：he he( )1+h e h e ah(2)+abcd d cb aabcd013.將下面式中的字母用數(shù)字代替，使算式成立。賽 競 學 數(shù) 年 少 匙 鑰 金+864197532金 鑰 匙 少 年 數(shù) 學 競 賽（1984 年上?！敖痂€匙”數(shù)學競賽題）14.下面算式中每一個字代表一個數(shù)字，不同的字代表不同的數(shù)字，當算 式成立時，求每個字所代表的數(shù)字。努力學習 向 上我 們天天向上（1986 年北京奧林匹克學校入學試題）15.在下面的算式中“三”、“好”、“學”、“生”四個漢字各代表一 個阿拉伯數(shù)字，其中“三”代表，“好”