桌球運動的MATLAB模擬在物理中的應用

1、天津市第三中學tianjin no.three middle school桌球運動的matlab模擬在物理中的應用 姓名： 李云龍 二一二年八月摘 要我的目的就是分析臺球運動過程中各個階段的受力情況，從運動生物力學的角度進行計算與分析，為臺球運動的普及與提高提供理論指導和實踐性建議。能夠更好的運用到教學之中。臺球運動的基本力學原理臺球作為一個球形對稱的剛體，它的質心在幾何中心（球心），根據(jù)力學中的質心運動定理，當臺球受到的力過球心時，形成平動，這種平動符合動量定理，其沖量等于動量的改變臺球可視為光滑、勻質、球形剛體，所以臺球的 碰撞可視為無摩擦、對心碰撞，碰撞過程中不會改變 彼此的轉動動量矩；

2、另一方面，臺球是等質量的，如果不考慮能量損失，碰撞后主球將其法向沖量全部 傳遞給目標球，切向方向動量不變關鍵詞：受力 ；摩擦 ；碰撞 ；能量 ；動量守恒abstractthere are many of the physics of billiards; it is affected by the action of force in the process of its movement. it is calculated and analyzed to provide theoretical guidance and practical advice for the popularizat

3、ion and improvement of the billiards sports from the perspective of sports biomechanics. it is treated as a spherically symmetric rigid body in the basic principles of mechanics of billiards sports, its center of mass at the geometric center (globe). according to the mechanical center of mass motion

4、 in the theorem, the billiards sports are formed translational, when the force over the center of the sphere. the translational is consistent with the theorem of momentum; its impulse is equal to the momentum change. the billiards can be regarded as smooth, homogeneous, spherical rigid body, billiar

5、ds collision can be regarded as no friction, the heart of the collision, the collision process does not change each other's rotational moment of momentum; on the other hand, billiards is a quality, if you do not take into account the energy loss. the target ball is passed by the emperor balls en

6、tirely normal impulse after the collision, and the tangential direction of the momentum is constant. key words： force; friction; collision; energy; conservation of momentum目 錄1引 言11.1桌球運動研究方法11.2matlab的特點11.3matlab在物理中的應用22桌球運動原理32.1桌球運動的基本原理32.2桌球運動的擊球碰撞原理42.2.1安全擊球范圍42.2.2擊球位置52.2.3圖格式要求與目標球碰撞后主球運

7、動的力學分析52.2.4主球為下旋球時62.2.5主球為上旋球時82.2.6斜碰后主球的運動83 桌球運動的相關實驗研究103.1 桌球實驗概述103.2 桌球實驗數(shù)據(jù)圖標記錄104 matlab程序中桌球運動的運動狀態(tài)145桌球運動的matlab模擬程序19結 論21參考文獻221引 言隨著以丁俊輝、田鵬飛、傅家俊為代表的一代臺球 新星在國際賽場上的崛起，臺球運動已經(jīng)漸漸風靡中國，臺球運動日益成為大眾體育的重要內(nèi)容。臺球大師戴維斯說過：“臺球最重要的是力度?！痹诖蚯虻臅r候，合理使用桿法的同時，力度的掌握相當重要。力度的掌握歸根結底還是為了讓主球的走位比較好一些，能夠有利于下一次擊球。因此，對

8、臺球運動進行生物力學分析，找到其力學規(guī)律非常必要。我的目的就是分析臺球運動過程中各個階段的受力情況，從運動生物力學的角度進行計算與分析，為臺球運動的普及與提高提供理論指導和實踐性建議。1.1桌球運動研究方法我認為有必要揭示其中的運動學原理，在前人的腳步上進行分析，通過實戰(zhàn)實驗來粗略驗證其準確性，再通過計算機模擬出桌球的運動軌跡。在開始研究前，我認為桌球的碰撞與其擊球位置及擊球力度有極大的關系，兩者共同造成的母球旋轉是改變球碰撞后行進路線的重要主觀因素。根據(jù)調(diào)查，之前少有關于此的研究，但是相關物理力學公式卻已存在我們認為，在擊球時擊球點的限制區(qū)域（超過則會導致疵桿或跳球犯規(guī)）大致為橢圓形，離心率

9、由桌面的最大靜摩擦系數(shù)決定。同時，擊球的旋轉位置會導致球碰到障礙物時的分離角（與球碰撞）和反射角產(chǎn)生變化。兩者效果會有疊加。由于我自己本身就是個桌球愛好者，同時也較擅長物理，因而在參照了一定的物理知識及近期的桌球比賽時作出了如上分析。臺球運動的基本力學原理臺球作為一個球形對稱的剛體，它的質心在幾何中心（球心），根據(jù)力學中的質心運動定理，當臺球受到的力過球心時，形成平動，這種平動符合動量定理，其沖量等于動量的改變臺球可視為光滑、勻質、球形剛體，所以臺球的碰撞可視為無摩擦、對心碰撞，碰撞過程中不會改變彼此的轉動動量矩；另一方面，臺球是等質量的，如果不考慮能量損失，碰撞后主球將其法向沖量全部 傳遞給

10、目標球，切向方向動量不變。1.2matlab的特點matlab是美國mathworks公司自20世紀80年代中期推出的數(shù)學軟件，具有優(yōu)秀的數(shù)值計算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力，可以提供與矩陣有關的強大的數(shù)據(jù)處理和圖形顯示功能, 為軟件開發(fā)人員在程序編制過程中實現(xiàn)數(shù)值計算和圖形顯示新添了又一行之有效的開發(fā)平臺，所以一經(jīng)推出便使其很快在數(shù)學軟件中脫穎而出。隨著版本的不斷升級，它在數(shù)值計算及符號計算功能上得到了進一步完善。matlab已經(jīng)發(fā)展成為多學科、多種工作平臺的功能強大的大型軟件，在控制、通信、信號處理及科學計算等領域中得到廣泛的應用，已經(jīng)被認可為能夠有效提高工作效率、改善設計手段的工具軟件。m

11、atlab語言最大的特點是簡單和直接。1.3matlab在物理中的應用科學昌盛的今天，計算機應用無所不在。利用計算機技術來研究和分析物理學，對有大量的數(shù)學分析和計算的學科來說，尤為重要。這里推出的matlab程序，是專用于科學和工程計算的程序語言，是目前世界上應用最為廣泛的計算語言之一。通過學習，你會覺得編程原來也是輕而易舉；物理計算不再會覺得深奧復雜；物理圖像更是信手沾來。在國外有許多理工科類的書籍和教材已將matlab作為專用的科學計算語言融入到專業(yè)內(nèi)容之中，并得到廣泛認可。matlab程序具有以下幾方面特點：1.matlab語言與人們的思維方式和書寫習慣相適應，操作簡單、方便。2.可以方

12、便地將運算結果用圖形、圖象、聲音、動畫等形象地表達出來。3.無需編譯，鍵入命令即可解釋運行。4.能自動選擇合適的坐標范圍。5.有功能強大的工具箱。6.有算法先進的數(shù)值計算和符號計算功能。7.數(shù)據(jù)類型是矩陣，用戶不必定義變量和數(shù)據(jù)類型，且矩陣大小可任意改變。2桌球運動原理臺球是一種用球桿在臺上擊球、依靠計算得分確定比賽勝負的室內(nèi)娛樂體育項目。臺球也叫桌球。從物理角度說，臺球可以作為剛體運動的典型例證,主球與目標球的碰撞過程符合剛體運動的基本規(guī)律。2.1桌球運動的基本原理在桌球中，只有母球有初速度，此時正交分解此速度即可，可得到母球將兩球連線方向上的分速度完全“傳給”目標球而保留垂直于連心線方向上

13、的分速度，得到了球-球碰撞后的分離角在母球沒有旋轉的情況下為90°。同時，由動量守恒定理、桌球中各球質量幾乎相等，但由于球-球碰撞并不完全是非彈性碰撞，所以，經(jīng)過對正擊母球后碰撞現(xiàn)象的分析，我們猜測其保留了5%10%的連心線方向上的分動量，使得分離角在正擊時的實際值在85°到88°左右。經(jīng)過與老師的討論后，猜測高、低桿的旋轉效果在球行進過程中，由于球的速度較高而難以發(fā)揮效果；但是在碰撞后，球的速率大幅下降，使得球的旋轉效果顯現(xiàn)出來。偏干的效果解釋起來相對簡單：偏桿使球產(chǎn)生的側旋在球碰撞并瞬間陷入庫邊時產(chǎn)生效果，進而改變了球彈出時的反射角。圖2-1-1兩球碰撞前圖2

14、-1-2兩球碰撞后2.2桌球運動的擊球碰撞原理2.2.1安全擊球范圍用球桿擊打主球而不至于打滑的范圍稱為安全擊球區(qū)。下面左圖確定安全擊球區(qū)的范圍:圖2-2-1擊球受力圖由圖2-2-1可知,不發(fā)生滑桿的條件是擊球桿皮頭在擊點的切線方向受到的摩擦力不超過最大靜摩擦力 ,其中為球和球桿之間的靜摩擦系數(shù), 為擊球角度,即 (假定每次都是水平擊球)2.2.2擊球位置撞擊主球中上點(推桿球) 圖2-2-2-1沿水平方向擊打球的上半部撞擊主球中下點(拉桿球)圖2-2-2-2沿水平方向擊打球的下半部假設質量為m ,半徑為r 的臺球,受到球桿沿水平方向擊打的沖擊力為f ,力的水平作用線距球心的距離為h。2.2.

15、3目標球碰撞后主球運動的力學分析臺球可視為光滑、勻質、球形剛體,所以臺球的碰撞可視為無摩擦、對心碰撞,碰撞過程中不會改變彼此的轉動動量矩; 另一方面,臺球是等質量的,如果不考慮能量損失,碰撞后主球將其法向沖量全部傳遞給目標球,切向方向動量不變,如圖2-2-3 圖2-2-3碰撞俯視圖圖2-2-3中，定義偏角:目標球行進方向與主球撞前行進方向的夾角。假定平動速度v ,轉動速度為的主球,以偏角撞擊目標球,則目標球以v 水平速度沿法線方向(軸的正方向) 運動。主球保持原來的轉動速度,以速度v 垂直向切向方向(軸方向) 運動。2.2.4主球為下旋球時圖2-2-4-1下旋球碰撞前圖2-2-4-2下旋球碰撞

16、后設在作下旋滾動的a 球沿x 軸正方向運動,如圖2-2-4-1 所示。而后與其正前方的一個靜止的b 球發(fā)生了正碰。根據(jù)剛體的動量守恒和能量守恒定律可知,相撞后兩球的平動速度互換,而a 球的轉動速度不變。如圖2-2-4-2所示。相撞后, a 球將沿逆時針轉動,并朝著x 軸負方向推去,形成“縮桿球”。下面分析相撞后a 球(主球) 的運動情況。相撞后a 球的平動速度: (2-2-4-1)a 球沿逆時針轉動的角速 (2-2-4-2)則a 球與桌面接觸點的速度為: (2-2-4-3)顯然,接觸點沿x 軸正向滑動,故施于a 球的摩擦力朝負x 方向, （2-2-4-4）ff 施于相對于球心的力矩為順時針方向

17、。若從兩球相撞后分開瞬間開始計時,則相撞后t 時刻a 球球心的平動速度和轉動角速分別為 (2-2-4-5) （2-2-4-6）則a 球與桌面接觸點的速度為: (2-2-4-7)令,可得所需時間: (2-2-4-8)當時臺球沿負x 軸方向做無滑滾動,將代入,則無滑滾動的質心速度和轉動角速度分別為: (2-2-4-9) (2-2-4-10)2.2.5主球為上旋球時與主球為下旋球的道理相同,如果主旋球為上旋球,則與目標球碰撞后跟進,形成“跟進球”。 如果主球不旋轉,則與目標球碰撞后會停留在目標球相撞的位置,形成“定位球”。2.2.6斜碰后主球的運動斜碰就是偏球碰撞,即主球不再正面撞擊目標球,只撞擊目

18、標球的偏側部分.受力情況如圖2-2-3所示。角度,則主球與目標球撞擊后瞬間的線速度不等于零,角速度為。如果主球不旋轉,顯然撞后的主球與目標球分離角(分離角: 撞后主球和目標球運動方向的夾角) 為90度 ,主球與目標球的運動方向由偏角決定,其中主球偏離原來方向度。主球為上旋球時,斜碰后即刻,主球保持撞前的轉動速度,同時以線速度向切向方向運動。主球的旋轉使主球受到臺呢一個沿撞前速度v 方向的摩擦力,摩擦力的作用一方面減小主球的旋轉,同時使主球在撞前速度v方向獲得一個 (越大, 越大) 的線速度。最終主球運動的方向是以和為鄰邊的平行四邊形的對角線。這樣在主球撞后運動方向() 與撞點切線方向() 形成

19、一個撞擊偏差角(其大小為主球實際運動方向與撞點切線方向的夾角,記為。臺球運動中打偏球常常利用這種撞擊偏差角(靠改變值) 來達到主球走位的目的。主球下旋時可得到同樣結論。3 桌球運動的相關實驗研究3.1 桌球實驗概述主要實驗在桌球房完成，主要變量為擊球力度（定性為三級：較輕、中等和較重）、擊球位置（定性為五個方位：上、下、左、右、正擊，試驗中都在限制區(qū)邊緣擊球，即能產(chǎn)生“最大旋轉”的擊球點）以及擊球點限制區(qū)域的大小與擊球力度的關系（以備理論研究使用）。主要因變量為球-球碰撞的分離角與行進路線，以及球-庫碰撞的反射角（以上均為定量記錄，由于誤差較大，所以計算實際值與理論值時以10°為單位

20、），用作定性分析。主要實驗分兩組進行： 母球碰撞紅球，分0°和45°進行（45°以上角度太大，不實行），距離為半球臺寬，排列組合擊球位置和擊球力度，分別進行3×5=15次試驗。 母球直接對庫邊擊出，角度、試驗次數(shù)、距離同上，所有變量分離并控制變量?？傆?×3×5=30次試驗。由于實驗者技術不夠專業(yè)，進行了多次試驗并進行描述。注：分離角：球-球碰撞后兩球運行軌跡之間的夾角研究結果由于實驗者技術不夠專業(yè)，因而進行了多次試驗并只對實驗結果進行描述，不再做準確數(shù)據(jù)記錄，也不對紅球被擊中后的行進路線進行記錄（沒有參考價值）。3.2 桌球實驗數(shù)據(jù)

21、圖標記錄根據(jù)表格中的記錄，母球直接對心擊中目標球擊打母球上部可以使球（相對正擊，下同）在擊中目標球后受到一個與擊出方向相同的力；擊打母球下部可以使球在擊中目標球后受到一個與擊出方向相反的力。而擊打母球左、右側則在該情況下效果不大，僅對母球行進方向有輕微影響。圖表3-2-1 母球0°對心碰撞紅球 碰撞后母球行進狀態(tài)記錄較輕中等較重上向前繼續(xù)運動1cm左右向前繼續(xù)行進5-7cm向前繼續(xù)行進10cm以上下直接停止向后運動3cm左右向后運動6-7cm左略向前繼續(xù)運動，接近于直接停止向前方略偏左左右繼續(xù)前進1-2cm向前方偏左5°左右繼續(xù)前進約3cm右略向前繼續(xù)運動，接近于直接停止向

22、前方略偏左左右繼續(xù)前進1-2cm向前方偏左5°左右繼續(xù)前進約3cm正略向前繼續(xù)運動，接近于直接停止向前方繼續(xù)行進約2cm 向前方繼續(xù)行進約4cm圖表3-2-2 母球碰撞紅球右側45°處 碰撞后母球行進狀態(tài)記錄較輕中等較重上分離角約80°繼續(xù)前進約2cm分離角約70°繼續(xù)前進7-9cm分離角約55°繼續(xù)前進約10cm下分離角約120°繼續(xù)前進約1cm分離角約150°繼續(xù)前進3-4cm分離角約200°繼續(xù)運動約6-7cm左分離角約90°繼續(xù)前進約1cm分離角約85°繼續(xù)前進4-5cm分離角約85&#

23、176;繼續(xù)前進約8cm右分離角約90°繼續(xù)前進約1cm分離角約95°繼續(xù)前進4-5cm分離角約100°繼續(xù)前進7-8cm正分離角90°繼續(xù)前進約1cm分離角90°繼續(xù)前進約5cm分離角約85°繼續(xù)前進約9cm根據(jù)表格中的記錄，母球碰撞紅球右側45°處時，各種擊打的效果不盡相同，但分解去慣性力后，可以得到力的基本效果與上一個表格的分析相似。這個實驗充分表現(xiàn)出了左、右塞的碰撞旋轉效果：而如果將慣性力分離，則高、低桿的效果和上表類似，但被擊球力度變化所造成的慣性力大小變化而弱化。圖表3-2-3 母球0°垂直碰撞庫邊 反

24、彈后母球行進狀態(tài)記錄較輕中等較重上反射角0°回到距原位約4cm處反射角0°回到原位處反射角0°回到原位并繼續(xù)行進3-4cm下反射角0°回到接近原位處反射角0°回到原位并繼續(xù)行進約5cm反射角0°回到原位并繼續(xù)行進10-12cm左左反射角10°回到接近臺面中線處左反射角20°回到接近臺面中線處左反射角40°回到臺面中線并繼續(xù)行進約3cm右右反射角10°回到接近臺面中線處右反射角20°回到接近臺面中線處右反射角40°回到臺面中線并繼續(xù)行進約3cm正反射角0°回到距原位約

25、1cm處反射角0°回到距原位約4cm處反射角0°回到原位并繼續(xù)行進7-8cm注：左塞、右塞：即左偏桿、右偏桿。偏桿：用球桿擊打主球的兩側叫“偏桿”，擊打主球的右側叫“右偏桿”，擊打主球的左側叫“左偏桿”。偏桿可使主球產(chǎn)生側向旋轉。高桿：臺球的一種基本技巧，擊打母球中點上方，使母球擊打到目標球后繼續(xù)向前移動。低桿：臺球的一種基本技巧，擊打母球中點下方，使母球擊打到目標球后向后移動或停止。注：原始平面：指被擊中球原始停留位置所在的與其所碰撞的庫邊平行的平面在這個實驗中，上述的高桿、低桿與偏桿效果被很好地分離了，可以通過控制變量的觀察方法來驗證之前三個表格中得出的實驗結論。經(jīng)研究

26、，得出的主要結論為：高桿與低桿控制球-球碰撞中的分離角，偏桿則控制球-庫碰撞中的分離角。同時還得出，理論上，擊球點的理論可偏移中心的最大距離，在縱向上與球桿與球之間的動摩擦因數(shù)成正比，在橫向上則與球與桌面之間的動摩擦因數(shù)成正比。研究與之前的設想大致相同，為了在理論上論證我們的結論，我們參考了斜碰理論和動量守恒定理。圖表3-2-4 母球45°垂直從右向左碰撞庫邊 反彈后母球行進狀態(tài)記錄較輕中等較重上反射角45°距原始平面2-3cm反射角40°回到原始平面反射角40°回到原始平面并繼續(xù)行進4-5cm下反射角45°距原始平面3-4cm反射角50

27、76;距原始平面1-2cm反射角50°回到原始平面左反射角50°距原始平面2-3cm反射角60°回到原始平面反射角65°回到原始平面并繼續(xù)行進2-3cm右反射角40°距原始平面2-3cm反射角30°回到原始平面反射角25°回到原始平面并繼續(xù)行進3-4cm正反射角45°距原始平面2-3cm反射角45°回到原始平面反射角40°回到原始平面并繼續(xù)行進3-4cm斜碰理論為我們提供了計算分離角的理論，圖示是兩物體均有初速度時的計算解決方法：正交分解。通過以上的數(shù)據(jù)可以為matlab模擬的桌球運動提供依據(jù)。

28、4 matlab程序中桌球運動的運動狀態(tài)1初始狀態(tài)藍色球以速度v撞擊粉色球圖4-1桌球運動初始狀態(tài)2藍色色球與粉色色球發(fā)生碰撞圖4-2桌球運動碰撞狀態(tài)3粉色球與庫發(fā)生碰撞圖4-3碰撞上庫圖4-4碰撞右?guī)靾D4-5碰撞左庫圖4-6碰撞下庫圖4-7再次碰撞右?guī)?最終結果粉色球入袋圖4-8最終粉色球球入袋以上就是我運動matlab軟件模擬出的桌球運動過程，主要描述了兩球如何碰撞知道最后球以怎樣的路線進入袋中，由于時間的限制，加之計算機水平有限，并沒有加入較為復雜的運動過程，必須旋轉和摩擦系數(shù)等問題，一些缺點和不足將會在未來進行改進，隨著自身的不斷學習和改進，相信程序也會更加完美，相信此程序也會為我以后

29、的物理教學帶來不小的收益，使學生更有學習的性趣更好的理解和運動物理知識。5桌球運動的matlab模擬程序axis(-1.6,12.6,-1.6,10.7)%確定坐標軸參數(shù)范圍hold on %保持當前圖形及軸系的所有特性fill(-2,13,13,-2,-2,-2,11,11,0,1,0);%填充底座背景fill(-1,12,12,-1,-1,-1,10,10,0,0.5,0);%填充底座背景ball1=line(0,5,'color','r','marker','.','erasemode','xor&#

30、39;,'markersize',60);%設置小球顏色,大小,線條的擦拭方式ball2=line(8,9,'color','g','marker','.','erasemode','xor','markersize',60);%設置小球顏色,大小,線條的擦拭方式ball3=line(-1,-1,'color','g','marker','.','erasemode','xor&#

31、39;,'markersize',80);%設置左下角圓的顏色,大小,線條的擦拭方式ball4=line(12,-1,'color','g','marker','.','erasemode','xor','markersize',80);%設置右下角圓的顏色,大小,線條的擦拭方式ball3=line(-1,10,'color','g','marker','.','erasemode',&#

32、39;xor','markersize',80);%設置左上角圓的顏色,大小,線條的擦拭方式ball4=line(12,10,'color','g','marker','.','erasemode','xor','markersize',80);%設置右上角圓的顏色,大小,線條的擦拭方式title('完全非彈碰在模擬臺球比賽的應用', 'color','r','fontsize',15);%圖形標

33、題pause(1)%設定暫停時間的長度t=0;dt=0.005;%設制初始數(shù)值while t<7.2%設定橫軸范圍 t=t+dt;%設制橫軸計算公式 y=1/2*t+5;%設制縱軸計算公式 set(ball1,'xdata',t,'ydata',y)%設制球的運動 drawnow;%刷新屏幕end %結束while t<8.8%設定橫軸范圍 t=t+dt;%設制橫軸計算公式 y=1/2*t+5;%設制縱軸計算公式 set(ball2,'xdata',t,'ydata',y)%設制球的運動 drawnow;%刷新屏幕en

34、d %結束while t<11.5%設定橫軸范圍 t=t+dt;%設制橫軸計算公式 y=-1/2*t+14.3;%設制縱軸計算公式 set(ball2,'xdata',t,'ydata',y)%設制球的運動 drawnow;%刷新屏幕end%結束while t>-0.5%設制橫軸范圍 t=t-dt;%設制橫軸計算公式 y=1/2*t+2.90;%設制縱軸計算公式 set(ball2,'xdata',t,'ydata',y)%設制球的運動 drawnow;%刷新屏幕end%結束while t<6%設制橫軸范圍 t=t+dt;%設制橫軸計算公式 y=-1/2*t+2.40;%設制縱軸計算公式 set(ball2,'xdata',t,'ydata',y)%設制球的運動 drawnow;%刷新屏幕end%結束while t<11.5%設制橫軸范圍 t=t+dt;%設制橫軸計算公式 y=1/2*t-3.0;%設制縱軸計算公式 set(ball2,'xdata',t,'ydata',y)%設制球的運動 drawnow;%刷新屏幕end%結束while t>-2%設制橫軸范圍 t=t-dt;%設制橫軸計算公式 y=-t*