用法向量求二面角的大小

1、a1教材教材106頁例頁例2：求二面角：求二面角-l-的余弦值。的余弦值。教材教材109頁例頁例4:求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。a2改編教材改編教材109頁頁 例例4如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中中,底面底面ABCD是正方形是正方形,側(cè)棱側(cè)棱PD底底面面ABCD,PD=DC,點點E是是PC的中點的中點,作作EFPB交交PB于點于點F.(1)求證求證:PA|平面平面EDB; (2)求證求證:PB平面平面EFD;(3)(改改)求二面角求二面角F-BD-E的余弦值的余弦值;用法向量求二面角的大小用法向量求二面角的大小成都七中高新校區(qū)成都七中高新校區(qū) 康盛康盛a4兩半平面的

2、法向量與二面角有怎樣的關(guān)系？兩半平面的法向量與二面角有怎樣的關(guān)系？ 根據(jù)上圖，分小組進行討論根據(jù)上圖，分小組進行討論-“兩法向兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系量的夾角與二面角的關(guān)系.”a5兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系 =- 互補互補= 相等相等a6如何判別互補還是相等？如何判別互補還是相等？a7根據(jù)教材根據(jù)教材109頁例頁例4改編改編如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中中,底面底面ABCD是正方形是正方形,側(cè)棱側(cè)棱PD底底面面ABCD,PD=DC,點點E是是PC的中點的中點,作作EFPB交交PB于點于點F.(1)求證求證:PA|平面平面EDB; (2)求證求證:P

3、B平面平面EFD;(3)(改改)求二面角求二面角F-BD-E的余弦值的余弦值;解解:建立如圖空間直角坐標系，建立如圖空間直角坐標系，A(2,0,0), C(0,2,0)B( 2,2,0) , E(0,1,1)易得平面易得平面BDF的法向量的法向量設平面設平面BDE的法向量的法向量 根據(jù)觀察，二面角為銳二面角，根據(jù)觀察，二面角為銳二面角， 故二面角故二面角F-BD-E的余弦值為的余弦值為 .( 2,2,0)AC ( , , )nxyz0(1, 1,1)220n DEyznn DBxy 6cos,3|AC nAC nAC n 63a8判斷互補還是相等的簡單的方法判斷互補還是相等的簡單的方法是：觀察

4、二面角的大小來判定是：觀察二面角的大小來判定.a9練習題練習題1 如圖，正四棱柱如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中中,A1A=4,AB=2,點點E在在CC1上，且上，且C1E=3EC.求二面角求二面角A1-DE-B的余弦值的余弦值;a10練習題練習題1如圖，正四棱柱如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，A1A=2AB=4,點點E在在CC1上，且上，且C1E=3EC.求二面角求二面角A1-DE-B的余弦值的余弦值;解解:建立如圖空間直角坐標系，建立如圖空間直角坐標系，D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), E(0,2,1),A1(2,0,4)平面平面BDE的

5、法向量的法向量 平面平面A1DE的法向量的法向量根據(jù)觀察，根據(jù)觀察，二面角為二面角為。 1(1,-1,2)n 2(4,1, 2)n 12121214cos,-42|n nn nnn a11齊相國老師刊登在齊相國老師刊登在數(shù)學通訊數(shù)學通訊2009年第年第4期的期的法向量法向量求二面角時法向量方向的判定方法求二面角時法向量方向的判定方法。李峰老師發(fā)表在李峰老師發(fā)表在數(shù)學通訊數(shù)學通訊2010年第年第9期的期的對對“法向法向量求二面角時法向量方向的判定方法量求二面角時法向量方向的判定方法”一文的改進一文的改進 a12 規(guī)定規(guī)定:如圖如圖,分別在半平面分別在半平面，內(nèi)各取一點內(nèi)各取一點M,N(不在棱上取

6、不在棱上取),我們稱我們稱 (與法向量不共線與法向量不共線) 為為內(nèi)部向量內(nèi)部向量。MN 內(nèi)部向量內(nèi)部向量MN判定法判定法a1310MN n 10MN n 異號互補異號互補同號相等同號相等內(nèi)部向量內(nèi)部向量MN判定法判定法20MN n 20MN n 10MN n 20MN n 10MN n 20MN n a14練習題練習題1如圖，正四棱柱如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，A1A=2AB=4,點點E在在CC1上，且上，且C1E=3EC.求二面角求二面角A1-DE-B的余弦值的余弦值;解解:建立如圖空間直角坐標系，建立如圖空間直角坐標系，D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,

7、2,0), E(0,2,1),A1(2,0,4)求得平面求得平面BDE的法的法向量向量 ，平面平面A1DE的的法向量法向量取取內(nèi)部向量內(nèi)部向量 故二面角故二面角A1-DE-B的余弦值為的余弦值為 .1(1,-1,2)n 2(4,1, 2)n 12121214cos,-42|n nn nnn 1(0,2, 4)AB 1112-100,100A B nA B n 1442a151、建立空間直角坐標系，寫出點的坐標。、建立空間直角坐標系，寫出點的坐標。用法向量求二面角的大小的一般步驟用法向量求二面角的大小的一般步驟:2、求出兩半平面的法向量，并求出其夾角。、求出兩半平面的法向量，并求出其夾角。3、用

8、觀察法，確定二面角的大小。或取、用觀察法，確定二面角的大小?；蛉?nèi)部向量內(nèi)部向量 （同號相等，異號互補）（同號相等，異號互補），判定二面角的大小。，判定二面角的大小。4、下結(jié)論。、下結(jié)論。a16練習題練習題2 如圖，底面為直角梯形的四棱錐如圖，底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中中,AD|BC,ABC=900,SA面面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求側(cè)面求側(cè)面SCD與面與面SBA所成的二面角的余弦值所成的二面角的余弦值;a17練習題練習題2 如圖，底面為直角梯形的四棱錐如圖，底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中中,AD|BC,ABC=900,SA面面ABCD,SA=AD=1,

9、AB=BC=2 ,求側(cè)面求側(cè)面SCD與面與面SBA所成的二面角的余弦值所成的二面角的余弦值;解解:建立如圖空間直角坐標系，建立如圖空間直角坐標系，A(0,0,0), B( 0,2,0),C(2,2,0), D(1,0,0),S(0,0,1)易知平面易知平面SAB的法的法向量向量 ，求出，求出平面平面SDC的法向量的法向量取取內(nèi)部向量內(nèi)部向量 故二面角的余弦值為故二面角的余弦值為 .(1,0,0)AD (2, 1,2)n 2cos,3|AD nAD nAD n (1, 2,0)BD 10,40BD ADBD n 23a18課堂小結(jié)課堂小結(jié)1、弄清楚兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系。、弄清楚兩法向量的夾角與二面角的關(guān)系。2、利用內(nèi)部向量判定二面角的大小。、利用內(nèi)部向量判定二面角的大小。5、分析、歸納問題的能力。、分析、歸納問題的能力。4、感知空間中