初中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(2)

1、一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx b(k,b 是常數(shù)， k0)，那么 y 叫做 x 的一次函數(shù) .當(dāng) b=0 時(shí)， y=kx b 即 y=kx ，所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b (k 不為零 ) k 不為零 x 指數(shù)為 1 b 取任意實(shí)數(shù)一次函數(shù)y=kx+b 的圖象是經(jīng)過(guò)（0， b）和（ - b ， 0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b, 它k可以看作由直線 y=kx 平移 |b| 個(gè)單位長(zhǎng)度得到 . （當(dāng) b>0 時(shí)，向上平移；當(dāng) b<0 時(shí)，向下平移）（ 1）解析式 ： y=kx+b(k 、b 是常數(shù)，

2、k 0)（ 2）必過(guò)點(diǎn) ：（ 0，b）和（ - b ， 0）k（ 3）走向：k 0 b 0k 0 b 0直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限k 0 b 0k 0 b 0直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限（ 4）增減性 ： k>0 ， y 隨 x 的增大而增大；k<0， y 隨 x 增大而減小 .（ 5）傾斜度 ： |k| 越大，圖象越接近于y 軸； |k| 越小，圖象越接近于x 軸.（ 6）圖像的平移： 當(dāng) b>0 時(shí)，將直線y=kx 的圖象向上平移b 個(gè)單位；當(dāng) b<0 時(shí)，將直線y=kx 的圖象向下平移b 個(gè)單位 .b>0b<0

3、b=0經(jīng)過(guò)第一、二、三象限經(jīng)過(guò)第一、三、四象限經(jīng)過(guò)第一、三象限k>0圖象從左到右上升，y 隨 x 的增大而增大經(jīng)過(guò)第一、二、四象限經(jīng)過(guò)第二、三、四象限經(jīng)過(guò)第二、四象限k<0圖象從左到右下降，y 隨 x 的增大而減小反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)1.定義：一般地，形如yk （ k 為常數(shù)， k o）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。 y k 還可以寫(xiě)xx成 y kx 12. 反比例函數(shù)解析式的特征：等號(hào)左邊是函數(shù)y ，等號(hào)右邊是一個(gè)分式。 分子是不為零的常數(shù)k （也叫做比例系數(shù)k ），分母中含有自變量x ，且指數(shù)為 1.比例系數(shù) k0自變量 x 的取值為一切非零實(shí)數(shù)。函數(shù) y 的取值是一切非零實(shí)數(shù)。3. 反比

4、例函數(shù)的圖像圖像的畫(huà)法：描點(diǎn)法 列表（應(yīng)以 O為中心，沿 O的兩邊分別取三對(duì)或以上互為相反的數(shù)） 描點(diǎn)（有小到大的順序） 連線（從左到右光滑的曲線）反比例函數(shù)的圖像是雙曲線， yk （ k 為常數(shù)， k0 ）中自變量 x0 ，函數(shù)值 y0 ，x所以雙曲線是不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斷開(kāi)的兩個(gè)分支， 延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)的圖像是是軸對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸是y x 或 yx ）。反比例函數(shù) yk （ k 0 ）中比例系數(shù) k 的幾何意義是：過(guò)雙曲線 yk （ k0 ）上任xx意引 x 軸 y 軸的垂線，所得矩形面積為 k 。4反比例函數(shù)性質(zhì)如下表：k 的取值圖像所在象限函數(shù)的增減

5、性ko一、三象限在每個(gè)象限內(nèi)， y 值隨 x的增大而減小ko二、四象限在每個(gè)象限內(nèi)， y 值隨 x的增大而增大二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念： 一般地，形如y ax2bx c a ，b ，c是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這（里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù) a 0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù) y ax2 bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：y

6、ax2 的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小。a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a00 ，0x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x0 時(shí)， y 隨向上y 軸x 的增大而減?。?x0 時(shí)， y 有最小值 0 a00 ，0x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x0 時(shí)， y 隨向下y 軸x 的增大而增大； x0 時(shí)， y 有最大值 0 2. y ax2 c 的性質(zhì)：上加下減。a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0向上0 ，cy 軸x0時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x 0時(shí)， y 隨x 的增大而減??； x 0時(shí)， y 有最小值 c a0向下0 ，cy 軸x0時(shí)， y 隨 x 的增

7、大而減??； x 0時(shí)， y 隨x 的增大而增大； x 0時(shí)， y 有最大值 c 3. ya x2的性質(zhì)：h左加右減。a 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0向上h ，0X=hxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；x h 時(shí)， y 隨x 的增大而減?。粁 h 時(shí)， y 有最小值 0 a0向下h ，0X=hxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；x h 時(shí)， y 隨x 的增大而增大；x h 時(shí)， y 有最大值 0 2k 的性質(zhì)：4. y a x ha 的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0h ，kxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x h 時(shí)， y 隨向上X=hx 的增大而減??； x h 時(shí)， y

8、 有最小值 k a0h ，kxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x h 時(shí)， y 隨向下X=hx 的增大而增大； x h 時(shí)， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h2h ，kk ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線 yax2 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k 處，具體平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|個(gè)單位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移

9、 |k|個(gè)單位平移 |k|個(gè)單位平移 |k|個(gè)單位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|個(gè)單位y=a( x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|個(gè)單位y=a (x-h)2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”方法二： yax2bxc 沿 y 軸平移 :向上（下）平移m 個(gè)單位， yax2bxc 變成yax2bx cm （或 yax2bx cm ） yax2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個(gè)單位， yax 2bxc 變成ya( xm) 2b( xm)c

10、（或 ya( xm) 2b( x m)c ）四、二次函數(shù) ya2k 與 y2bxc 的比較x hax從解析式上看，ya xh22bxc 是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前k 與 y axb24acb2b ，k4ac b2者，即 ya x，其中 h2a4a2a4a五、二次函數(shù) y2bxc 圖象的畫(huà)法ax五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bx c 化為頂點(diǎn)式 y a(x2h) k ， 確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖. 一般我們選取的五點(diǎn)為： 頂點(diǎn)、與 y 軸的交點(diǎn)0 ，c、以及 0 ，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h，c、與 x 軸的交點(diǎn)x1 ，0

11、， x2 ，0 （若與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x 軸的交點(diǎn)，與 y 軸的交點(diǎn) .六、二次函數(shù) y ax2bxc 的性質(zhì)1. 當(dāng) a 0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4ac b22a2 a4a當(dāng) xb時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。划?dāng)xb時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb 時(shí)， y 有最小2a2a2a值 4acb24a2. 當(dāng) a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為xb ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4acb2當(dāng) xb時(shí)，2a2a4a2ay 隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；當(dāng) xb時(shí)， y

12、 有最大值 4acb22a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式： y2bx c （ a ， b， c 為常數(shù)，a0 ）；ax2.頂點(diǎn)式： ya(xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a 0 ）；3.兩根式： ya( xx1)( xx2 ) （ a0 ， x1 ， x2是拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x 軸有交點(diǎn)，即 b24ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù) a二次函數(shù)

13、 yax2bx c 中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0 當(dāng) a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，a 的值越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開(kāi)口越大； 當(dāng) a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，a 的值越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開(kāi)口越大總結(jié)起來(lái)，a 決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，a 的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a 的大小決定開(kāi)口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) b在二次項(xiàng)系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對(duì)稱軸 在 a0 的前提下，當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)；2a當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線對(duì)稱軸在y 軸的右側(cè)2a 在 a0 的前提下，結(jié)論剛

14、好與上述相反，即當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)；2a當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線對(duì)稱軸在y 軸的左側(cè)2a總結(jié)起來(lái)，在a 確定的前提下，b 決定了拋物線對(duì)稱軸的位置ab 的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸xb 在 y 軸左邊則 ab 0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab 0 ，概括的說(shuō)就是2a“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng) c0時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c0時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 ； 當(dāng) c0時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，

15、即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來(lái)，c 決定了拋物線與y 軸交點(diǎn)的位置總之，只要a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式

16、或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱y2b xcyax2bxca x；關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是ya x2k 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是ya xh2k ；h2. 關(guān)于 y 軸對(duì)稱y2b xcyax2bxca x；關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是ya x2k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是ya xh2k ；h3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y2b x關(guān)c于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2關(guān)k于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2hk ；4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）y2b xc2b2a xyaxbxc；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是

17、2aya x2k 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2hk 5. 關(guān)于點(diǎn) m，n 對(duì)稱2k 關(guān)于點(diǎn)2y a x hm，n 對(duì)稱后，得到的解析式是 y a x h 2m2n k根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a 永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax2bx c

18、0 是二次函數(shù) y ax2bx c 當(dāng)函數(shù)值 y0時(shí)的特殊情況 .圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)b 24ac0 時(shí)，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) A x1 ，0，B x2 ，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2bx c0 a 0 的兩根這兩點(diǎn)間的距離ABx2 x1b24ac .a 當(dāng)0 時(shí)，圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)0 時(shí)，圖象與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn) .1'當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在x 軸的上方，無(wú)論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y0 ；2'當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在x 軸的下方，無(wú)論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y0 2. 拋物線 y2c 的圖象與 y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 ， c) ；axbx3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc 中 a ， b ， c 的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a ， b