素材111平方根與立方根

1、全品中考網(wǎng) 11.1平方根與立方根 重、難點(diǎn)研習(xí)研習(xí)點(diǎn)1：平方根概念如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根(二次方根)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)即為：若x2=a，則x叫做a的平方根求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方的運(yùn)算【歸納整理】1.平方根的表示方法一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，用符號(hào)“”表示，a叫做被開(kāi)方數(shù)，2叫做根指數(shù)，正數(shù)a的負(fù)的平方根用符號(hào)“- ”表示，a的平方根合起來(lái)記作 ，其中 讀作“二次根號(hào)”，讀作“二次根號(hào)下a”根指數(shù)為2時(shí)，通常將這個(gè)2省略不寫(xiě)，所以正數(shù)a的平方根也可記作“ ”讀作“正、負(fù)根號(hào)a”.2.平方運(yùn)算與開(kāi)平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算根據(jù)這種關(guān)系，我們可以通過(guò)平方運(yùn)算來(lái)求一個(gè)數(shù)的

2、平方根與其他運(yùn)算法則不同之處在于只能對(duì)非負(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算.典例1下列各數(shù)的平方根：（1）81；（2）；（3）；（4）0.49.【研析】(1)(±9)2=81，81的平方根為±9即：；（2）， 的平方根是，即；（3），的平方根是，即；(4)(±0.7)2=0.49，0.49的平方根為±0.7.研習(xí)點(diǎn)2：平方根的性質(zhì)1一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)20有一個(gè)平方根，它是0本身3負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根【探索發(fā)現(xiàn)】數(shù)a是否有平方根，應(yīng)根據(jù)a的取值而定，一般地，當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，a有兩個(gè)平方根，它們是互為相反數(shù)；當(dāng)a是0時(shí)，只有一個(gè)平方根是它本身；而當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，則沒(méi)有平方

3、根，所以判斷一個(gè)數(shù)a是否有平方根一定要注意a的隱含條件，即a一定是非負(fù)數(shù)典例2求下列各式中x的值：（1）；（2）.【研析】這里要求靈活運(yùn)用開(kāi)平方的知識(shí)來(lái)解方程，如果把方程左邊展開(kāi)，則走入誤區(qū)，必須運(yùn)用開(kāi)平方的知識(shí)求解.解：（1） ， ， ，則 （2） ， ，則 本題不要將原方程利用乘法公式變形展開(kāi)，把括號(hào)里的看作整體處理，因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求平方根問(wèn)題.但要注意一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè).研習(xí)點(diǎn)3：算術(shù)平方根0的平方根也叫做0的算術(shù)平方根，因此0的算術(shù)平方根是0，即【辨析比較】算術(shù)平方根的符號(hào)“”不僅是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)，如a0時(shí)，表示對(duì)非負(fù)數(shù)a進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，另一方面也是一個(gè)性質(zhì)符號(hào)，即表示非負(fù)數(shù)a的正

4、的平方根典例3求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：【研析】(1)因?yàn)?02=100，所以100的算術(shù)平方根是10，即(4)因?yàn)?0.7)2=0.49，所以0.49的算術(shù)平方根是0.7，即研習(xí)點(diǎn)4：平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別及聯(lián)系 區(qū)別：（1）定義不同：“如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根”；“非負(fù)數(shù)a的非負(fù)平方根叫做a的算術(shù)平方根”. （2）個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，而一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè).（3）表示方法不同：正數(shù)a的平方根表示為±，正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為.（4）取值范圍不同：正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；正數(shù)的平方根則一正一負(fù)，兩數(shù)互為相反數(shù).聯(lián)系：（1）具有包含關(guān)系：

5、平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的一種.（2）存在條件相同：平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有.（3）0的平方根、算術(shù)平方根均為0.【辨析比較】平方根的符號(hào)有三種形式：±，它們的意義分別是：非負(fù)數(shù)a的平方根，非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，非負(fù)數(shù)a的負(fù)平方根.要特別注意.典例4填空：(1)1的平方根是_；立方根為_(kāi)；算術(shù)平方根為_(kāi)(2)平方根是它本身的數(shù)是_(3)立方根是其本身的數(shù)是_(4)算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是_(5) 的立方根為_(kāi).(6) 的平方根為_(kāi).(7) 的立方根為_(kāi) .解：(1)±1；1；1(2)0(此題學(xué)生容易把1也算進(jìn)去，注意糾正他們的錯(cuò)誤)(3)

6、7;1和0(由此題，再?gòu)?fù)習(xí)一道立方根的性質(zhì))(4)0，1(此題有學(xué)生可能會(huì)忘掉0)(5)-2（此題學(xué)生易得出-4的答案，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將 翻譯為-8，在求立方根，也有學(xué)生將 看成 得到 ，講解時(shí)注意）(6) （此題首先讓學(xué)生把 計(jì)算出來(lái)，再求平方根，而且平方根有兩個(gè)）(7)-2研習(xí)點(diǎn)5：立方根1.立方根的概念：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根(也稱數(shù)a的三次方根)用數(shù)學(xué)式表示為：若x3=a，則x叫做a的立方根，或稱x叫做a的三次方根2.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方開(kāi)立方運(yùn)算與立方運(yùn)算互為逆運(yùn)算3立方根的表示方法：類(lèi)似于平方根德表示方法，數(shù)a的立方根我們用符號(hào)來(lái)表示.讀作“三次根號(hào)下a”，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)，3叫做根指數(shù).4.立方根的性質(zhì)：正數(shù)的兩方法供是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，0的立方根是0.【類(lèi)比擴(kuò)展】方根概念的拓展概念：若，則x叫a的n次方根表示為 ，（的整數(shù)）n為偶數(shù)時(shí)，可對(duì)比平方根時(shí)，a有n次方根；時(shí)，a的n次方根不存在.n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意的a都有n次方根.歸納：a：n為偶數(shù)時(shí)，；b：n為奇數(shù)時(shí)：.典例5求下列各數(shù)的立方根： 【研析】(1)(-2)3=-8， (2)23=8， (4)  (0.6)3=0.216， (5)03=0， 全品中考網(wǎng)全品中