2020年九年級數(shù)學中考經(jīng)典幾何題講義系列：幾何輔助線專題講解

1、中考經(jīng)典幾何題講義系列：幾何輔助線專題講解目錄【常見輔助線做法】【常見輔助線口訣】【常見規(guī)律講解】一、線、角、相交線、平行線二、三角形部分的輔助線規(guī)律三、.四邊形部分的輔助線規(guī)律四、相似形和解直角三角形的輔助線規(guī)律五、_圓的輔助線規(guī)律【常見輔助線做法】等腰三角形1. 作底邊上的高，構成兩個全等的直角三角形，這是用得最多的一種方法；2. 作一腰上的高；3 .過底邊的一個端點作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構成直角三角形。梯形1. 垂直于平行邊2. 垂直于下底，延長上底作一腰的平行線3. 平行于兩條斜邊4. 作兩條垂直于下底的垂線5. 延長兩條斜邊做成一個三角形菱形1. 連接兩對角 2.做高平

2、行四邊形1.垂直于平行邊2作對角線一一把一個平行四邊形分成兩個三角形3. 做高一形內形外都要注意矩形1.對角線2.作垂線很簡單。無論什么題LI,第一位應該考慮到題U要求，比如AB=AC+BD.這類的就是 想辦法作出另一條AB等長的線段，再證全等說明AC+BD=另一條AB,就好了。還有一 些關于平方的考慮勾股，A字形等。三角形中有中線，延長中線等中線。解幾何題時如何畫輔助線？ 見中點引中位線，見中線延長一倍在兒何題中，如果給出中點或中線，可以考慮過中點作中位線或把中線延長一倍來解決 相關問題。 在比例線段證明中，常作平行線。作平行線時往往是保留結論中的一個比，然后通過一個中間比與結論中的另一個比

3、聯(lián)系 起來。 對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有1、過上底的兩端點向下底作垂線2、過上底的一個端點作一腰的平行線3、過上底的一個端點作一對角線的平行線4、過一腰的中點作另一腰的平行線5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交6、作梯形的中位線7、延長兩腰使之相交【常見輔助線口訣】三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等）。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試

4、試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線【常見規(guī)律講解】一、線、角、相文線平行線的規(guī)律規(guī)律1如果平面上有n(n>2)個點，其中任何三點都不在同一直線上，那么每兩點畫一 條直線，一共可以畫出丄/(/I 1)條.2規(guī)律2.平面上的"條直線最多可把平面分成(LiCn+D+l)個部分.2規(guī)律3如果一條直線上有”個點，那么在這個圖形中共有線段的條數(shù)為丄一 1)條.2規(guī)律4線段(或延長線)上任一點分線段為兩段，這兩條線段的中點的距離等于線段 長的一半例：如圖，B在線段AC上，M是AB

5、的中點，N是BC的中點.求證：MN=-AC證明:VM是AB的中點，N是BC的中點AAM = BM= -AB ,BN = CN= -BC 2 2AMN = MB+BN=丄 AB+ -BC= - (AB + BC)2 2 2 MN 二丄 AC2練習：1.如圖，點C是線段AB±的一點，M是線段BC的中點.求證：AM= - (AB + BC) 2如圖，點B在線段AC上，M是AB的中點，N是AC的中點求證:MN= -BC3如圖，點B在線段AC上，N是AC的中點，M是BC的中點 求證：MN= -AB,2AN BMC規(guī)律5.有公共端點的n條射線所構成的交點的個數(shù)一共有*(一1)個.規(guī)律6.如果平面

6、內有“條直線都經(jīng)過同一點，則可構成小于平角的角共有加G/-1) 個規(guī)律7.如果平面內有"條直線都經(jīng)過同一點，則可構成川(H-1)對對頂角.規(guī)律8.平面上若有” («>3)個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形 一共可作出1)(«2)個.6規(guī)律9.互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數(shù)為90。規(guī)律10.平面上有”條直線相交，最多交點的個數(shù)為如(”一1)個規(guī)律n互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補石的角的差的一半.規(guī)律12當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內錯角的角平分線互相平行，同旁內角的角平分線互相垂直.例：如圖，以下三種情況請同學們自

7、己證明.規(guī)律13已知ABDE，如圖，規(guī)律如下:ZABC+ZBCD-ZCDE=360°ZBCD = ZABC + ZCDEZBCD = ZCDE - ZABC/BCD = ZABC - ZCDEZCDE = ZBCD + ZABCZABC = ZBCD + ZCDEBA XbD(21規(guī)律14成“8”字形的兩個三角形的一對內角平分線相交所成的角等于另兩個內角和的 一半.例：已知，BE、DE分別平分ZABC和ZADC,若ZA = 45°,ZC = 55°,求ZE的度數(shù).解：ZA+ZABE 二ZE+ZADE + ZE +ZC+ ZCDE =ZE+ ZCBE +得ZA+ZA

8、BE+ZC+ZCDE 二ZE+ZADEZCBEVBE 平分ZABC、DE 平分ZADC,AZABE=ZCBE, ZCDE =ZADEA2ZE=ZA+ZC r.ZE= |(ZA+ZC)VZA=45°,ZC=55°, ZE =50°二.三角形的輔助線規(guī)律證法（一）：將DE向兩邊延長，分別交AB、ACM、NA /在厶AMN 中， AM+ AN>MD + DE+NE/<F 在BDM 中，MB + 在 ACEN 中，CN +MD > BDNE > CE1規(guī)律15.在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩 點或延長某邊構造三角

9、形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再 利用三邊關系定理及不等式性質證題.例：如圖，已知D、E為ZABC內兩點，求證：AB + AOBD + DE+CE于 +得AM+AN + MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE AB + AOBD + DE+CE證法(二)延長BD交AC于F,延長CE交BF于G 在ZXABF和ZXGFC和AGDE中有， AB + AF>BD + DG+GF GF+FC>GE+CE DG+GE>DE:+有AB + AF+GF+FC + DG+GE>BD + DG+GF+GE+CE+DE AB + AOBD + DE+CE注意

10、：利用三角形三邊關系定理及推論證題時，常通過引輔助線，把求證的量（或與 求證有關的量）移到同一個或幾個三角形中去然后再證題練習：已知：如圖P為AABC內任一點,求證：丄（AB + BC+AC）VPA + PB + PC<AB + BC + AC2規(guī)律16.三角形的一個內角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角，等于第三個內 角的一半例：如圖，已知BD為AABC的角平分線，ABC的外角ZACE的平分線，它 與BD的延長線交于D.求證：ZA=2ZD證明:VBD. CD分別是ZABC. ZACE的平分線A ZACE =2Z1. ZABC =2Z2 VZA= ZACE -ZABC AZA=2Z1-

11、2Z2 又 VZD=Z1-Z2AZA=2ZD規(guī)律17.三角形的兩個內角平分線相交所成的鈍角等于93加上第三個內角的一半.例：如圖，BD、CD 分別平分ZABC、ZACB,求證：ZBDC = 90°+izA 2 證明：VBD. CD分別平分ZABC、ZACBAZA+2Z1+2Z2= 180°A2(Z1 + Z2)= 180°-Z A® V ZBDC =180°-(Zl + Z2).(Z1 + Z2)= 180°-ZBDC 把式代入式得2(180°-ZBDC)= 180°-Z AB|J： 360°-2ZBDC

12、 =180°-ZAA2ZBDC= 180°+ZAAZBDC = 9O°+1ZA2規(guī)律三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90。減去第三個內角的一半.例：如圖，BD、CD分別平分ZEBC、ZFCB,求證：ZBDC = 90°一丄ZA2證明：TBD、CD分別平分ZEBCs ZFCBr.ZEBC = 2Zl. ZFCB = 2Z2A2Z1 =ZA+ZACB 2Z2=ZA+ZABC +得2 (Z1 + Z2) = ZA+ZABC+ZACB + ZA 2 (Z1 + Z2) = 180°+ZA (Z1 + Z2) =90°+-ZA 2VZB

13、DC= 180°-(Zl + Z2) ZBDC = 180°-(90°+1 ZA)AZBDC = 90°-ZA2規(guī)律19.從三角形的一個頂點作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個 角差(的絕對值)的一半.例：已知，如圖，在AABC中，ZC>ZB, AD丄BC于D, AE平分ZBAC.求證：ZEAD= -(ZC-ZB)2證明：VAE平分ZBAC ZBAE =ZCAE=- ZBAC 2 ZBAC =180°-(ZB + ZC)A ZE AC = F (180°-(ZB+ZC)VAD 丄 BC .- ZD AC = 90&#

14、176; -ZC : ZEAD = ZEAC- ZD ACA ZE AD = 土 (180°-(ZB + ZC) - (90°-ZC)90° +=90°-|(ZB+ZC)-zc=|(ZC-ZB)如果把AD平移可以得到如下兩圖，F(xiàn)D丄BC其它條件不變，結論為ZEFD = y(ZC-ZB).注意：同學們在學習幾何時，可以把自己證完的題進行適當變換，從而使自己通過解 一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應變的能力.規(guī)律20在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角證明角的不等關系時，如果直 接證不出來，司建結兩皆或癥長:某還，初造三角形，使求證的大角在某個

15、三 角形外角的位置上，小角處在內角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為AABC內任一點，求證：ZBDOZBAC角,AA證法（一）：延長BD交AC于E, VZBDC 是ZEDC 的外 AZBDOZDEC 同理：ZDEOZBAC A ZBDOZBAC證法（二）：連結AD,并延長交BC VZBDFftAABD 的外角,AZBDF>ZBAD同理 ZCDF>ZCAD ZBDF+ ZCDF> ZBAD+ ZCADB|J： ZBDOZBAC規(guī)律21 有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形. 例：已知，如圖，AD為AABC的中線且Zl = Z2, Z3= Z4,求證：BE

16、+CF>EF則 DN = DC證明：在DA上截取DN二DB,連結NE、NF, 在ZXBDE 和 ANDE 中，DN = DBZl = Z2ED = ED/.ABDEANDE BE = NE同理可證：CF = NF 在ZXEFN 中，EN + FN>EFBE+CF>EF規(guī)律22有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ZABC的中線，且Zl = Z2, Z3= Z4,求證：BE+CF>EF 證明：延長ED到使DM = DE,連結CM、FMABDE和厶CDM中，BD = CDZl = Z5ED = MDAABDEACDMACM = B

17、E乂VZ1 = Z2, Z3= Z4Z1 + Z2+Z3 + Z4 = 180° Z3 + Z2 = 90° 即 ZEDF = 90°AZFDM = ZEDF = 90°AEDF 和MDF 中ED = MDZFDM = ZEDFDF=DFAAEDFAMDFAEF = MFVSACMF 中，CF+CM >MFBE+CF>EF（此題也可加倍FD,證法同上）規(guī)律23.在三角形中有中線時，常加倍延長中線構造全等三角形. 例：已知，如圖，AD為ZABC的中線，求證：AB+AO2AD證明：延長AD至E,使DE二AD,連結BEVAD為ZiABC的中線EAB

18、D=CD在AACD和AEBD中BD = CDZl = Z2AD = EDAAACDAEBDVAABE 中有 AB + BE>AEA AB + AC >2 AD規(guī)律24截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法當已知或求證中涉及到線段“、b、C、有下列情況之一時用此種方法: ®a>b®a±b = ca±b = c±d例：已知，如圖，在ZABC中，AB>AC, Zl = Z2, P為AD上任一點， 求證：AB-AOPB-PC證明：截長法：

19、在AB上截取AN二AC,連結PN在ZiAPN 和AAPC 中，AN = AC<BNZl = Z2AP = APAAAPNAAPCPC = PNVABPN 中有 PB-PCAPB-PC<AB-AC補短法：延長AC至M,使AM二AB,連結PM-PC在厶ABP和厶AMP中AB = AMZl = Z2AP = AP.AABPAAMPPB = PM又在ZPCM 中有 CM >PMAAB-AOPB-PC練習：1 已知，在AABC中，ZB = 60（AD. CE是AABC的角平分線，并且它們交于點O求證：AC 二 AE+CD2.已知，如圖，ABCDZ1 二 Z2,Z3 二 Z4.求證：BC

20、 二 AB+CD規(guī)律25證明兩條線段相等的步驟： 觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。 若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們 所在的三角形全等. 如果沒有相等的線段代換，可設法作輔助線構造全等三角形.例:如圖，已知，BE、CD相交于F, ZB= ZC, Z1 = Z2,求證：DF = EF證明：TZADF二ZB+Z3ZAEF= ZC+Z4又 VZ3= Z4ZB = ZCAZADF= ZAEF 在ZADF 和ZkAEF 中 ZADF= ZAEFZ1 = Z2AF = AFA AADFAAEF/. DF = EF規(guī)律26在一個圖形中，有多個

21、垂直關系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個 角相等例:已知,如圖RtAABC中,AB二AC, ZBAC = 90%過A作任一條直線AN,作BD丄AN 于 D, CE丄AN 于 E,求證：DE = BD-CE證明：V ZBAC = 90°, BD丄 ANAZ1 + Z2 = 9O° Zl + Z3 = 90°AZ2= Z3VBD丄ANCE丄ANAZBDA=ZAEC = 90° 在AABD和ACAE中， ZBDA=ZAECZ2= Z3AB=AC AAABDACAEBD二AE且AD二CE AEAD 二 BDCEADE=BD-CE規(guī)律27三角形一邊的兩端點

22、到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為ZiABC的中線，且CF丄AD于F, BE丄AD的延長線于E 求證：BE = CF證明：（略）規(guī)律2&條件不足時延長已知邊構造三角形.例：已知AC二BD, AD丄AC于A, BCBD于B 求證：AD = BC證明：分別延長DA、CB交于點EEVAD丄AC BC±BD ZCAE = ZDBE = 90° 在厶DBE和厶CAE中 ZDBE二ZCAEBD = ACZE 二ZEAADBEACAEED 二 EC, EB = EA ED EA 二 EC EB:.AD = BC規(guī)律29連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉化成三角形來解決問

23、題. 例：已知，如圖，ABCD, AD/7BC求證：AB = CD證明：連結AC （或BD）TABCD, AD/7BC AZ1 = Z2在AABC和ACDA中, Zl = Z2AC = CAZ3= Z4AAABCACDAAB = CD練習：已知，如圖，AB 二 DC, AD = BC, DE = BF, 求證：BE = DF規(guī)律30有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長?？蓺w結為“角分垂等腰歸匕 例：已知，如圖，在 RtAABC 中，AB = AC, ZB AC = 90°, Zl = Z2 , CE 丄 BD 的 延長線于E求證：BD = 2CE證明：分別延長BA、CE交于F

24、TBE 丄 CFZBEF=ZBEC = 90° 在ABEF和ABEC中 Zl = Z2BE = BEZBEF=ZBECAABEFABECCE 二 FE 二丄CF2V ZBAC = 90° , BE丄CF ZBAC = ZCAF = 90°Zl + ZBDA = 90°Zl + ZBFC = 90°ZBDA= ZBFC在ZABD 和ZACF 中ZBAC = ZCAFZBDA= ZBFCAB=ACAAABDAACFABD = CFABD = 2CE練習：已知，如圖，ZACB = 3ZB, Z1 =Z2,CD丄AD于D,求證：AB-AC = 2CD規(guī)

25、律31當證題有困難時，可結合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構造全等三角形例：已知，如圖，AC、BD相交于6且AB二DC, AC 求證：ZA= ZD證明：（連結BC,過程略）二 BD,規(guī)律32當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件. 例：已知，如圖，AB = DC, ZA= ZD求證：ZABC= ZDCB證明：分別取AD、BC中點N、M, 連結NB、NM、NC （過程略）規(guī)律33有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到 角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，Zl = Z2 , P為BN上一點，且PD丄BC于D, AB + BC = 2BD,求證

26、：ZBAP+ZBCP= 180° 證明：過P作PE丄BA于EVPD丄BC, Zl = Z2 PE = PDN在 RtABPE 和 RtABPD 中 BP=BPPE = PDARtABPERtABPDBE = BDVAB + BC = 2BD, BC = CD + BD, AB = BEAEAE = CDVPE丄BE, PD丄BCZPEB=ZPDC = 90°在APEA和APDC中PE = PDZPEB =ZPDCAE =CD.APEAAPDCAZPCB= ZEAPVZBAP+ZEAP= 180°r.ZBAP+ZBCP= 180°練習：1.已知，如圖，PA

27、、PC分別是ZABC外角ZMAC與ZNCA的平分線，它們交 于P,PD丄BM于M, PF丄BN于F,求證：BP為ZMBN的平分線2.已知，如圖，在AABC 中，ZABC =100°,ZACB = 20°,CE是ZACB的平分線，D是AC上一點，若ZCBD = 20°,求ZCED的度數(shù)。助線交 BC 于 E,則Z1 = Z2=1ZBAC規(guī)律34有等腰三角形時常用的輔作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線 例：已知，如圖，AB=AC, BD丄AC于D,求證：ZBAC = 2ZDBC證明：（方法一）作ZBAC的平分線AE,又 AB = ACAE丄BCAZ2+ZACB=90&

28、#176;VBD丄AC AZDBC+ZACB=90° Z2 = ZDBCA ZBAC = 2ZDBC（方法二）過A作AE丄BC于E （過程略）（方法三）取BC中點E,連結AE （過程略）有底邊中點時，常作底邊中線例：已知，如圖，ZiABC中，AB=AC, D為BC中點，DE丄AB于E, DF丄AC于F,求證：DE = DF證明：連結AD.D為BC中點，BD 二 CD 乂 AB =AC/.AD 平分 ZB ACVDE丄AB, DF丄AC DE = DF將腰延長一倍，構造直角三角形解題例：已知，如圖，AABC中，AB=AC,在BA延長線和AC ±各取一點E、F,使AE = AF

29、,求證：EF丄BC證明：延長BE到N,使AN二AB,連結CN,則AB=AN=AC ZB = ZACB, ZACN = ZANCVZB+ZACB+Z ACN + Z ANC = 180° A2ZBCA+2ZACN= 180°AZBCA+ZACN = 90°即 ZBCN = 90°NC丄BCIAE = AFAZAEF= ZAFEXVZBAC= ZAEF +ZAFEZBAC = ZACN +ZANC ZBAC =2ZAEF = 2 ZANCAZAEF= ZANCEFNCEF 丄 BC常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線例：已知，如圖，在AABC中，AB=AC

30、, D在AB上，E在AC延長線上，且BD二CE, 連結DE交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過 D 作 DNAE,交 BC 于 N,貝IJZDNB 二 ZACB, ZNDE 二 ZE, TAB 二 AC,AZB= ZACBAZB=ZDNBABD = DNXVBD = CEDN = ECftADNF和厶ECF中Z1 = Z2ZNDF=ZEDN = ECA ADNFAECFEE/. DF = EF（證法二）過E作EM/7AB交BC延長線于M,則ZEMB二ZB （過程略）常過一腰上的某一已知點做底的平行線例：已知，如圖，AABC中，AB二AC, E在AC上，D在BA延長線上，且AD二AE

31、,連結DE求證：DE丄BC證明：（證法一）過點E作EF/ BC交AB于F,則ZAFE=ZBZAEF=ZC AB = ACZB 二ZCAZAFE=ZAEF T AD = AE AZAED=ZADEX V ZAFE+ ZAEF+ ZAED+ ZADE = 180° .2ZAEF+2ZAED = 90°即 ZFED = 90°DE 丄 FE 乂EFBCADE 丄 BC（證法二）過點D作DNBC交CA的延長線于N,（過程略）（證法三）過點A作AMBC交DE于（過程略）常將等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形等邊三角形例：已知，如圖，AABC中，AB=AC, ZBAC =80&

32、#176; ,P為形內一點，若ZPBC =10° ZPCB = 30° 求 ZPAB 的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結CE則 ZBAE=ZABE = 60°AE = AB = BEVAB=AC/ AE = AC ZABC=Z ACB ZAEC =ZACE ZE AC =ZBAC-ZBAE= 80° -60° = 20°80°50°r. ZACE = i(180°-ZEAC)= ZACB= y (180°- ZBAC)= ZBCE =ZACE-ZACB=80°-50

33、6; = 30°J ZPCB = 30° ZPCB = ZBCE ZABC =ZACB = 50°, ZABE = 60° ZEBC =ZABE-ZABC = 60°-50° =10°I ZPBC = 10° ZPBC = ZEBC 在APBC和厶EBC中 ZPBC = ZEBCBC = BCZPCB = ZBCEA APBCAEBCA BP = BETAB 二 BEAB = BPAZBAP=ZBPAJ ZABP=ZABC-ZPBC = 50°-10° = 40° ZPAB = y(1

34、80°-ZABP)= 70°解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形ABCE,連結AE,則EB = EC = BC, ZBEC=ZEBC = 60°VEB = ECE垂線= ZPCBE在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上EA所在的直線是BC的中 /.EA 丄 BCZAEB = - ZBEC = 30°2由解法一知：ZABC = 50° ZABE = ZEBC-ZABC = 10° =ZPBC ZABE 二ZPBC.BE = BC,ZAEB =ZPCB AAABEAPBC AB 二 BP.ZBAP

35、= ZBPAJ ZABP=ZABC-ZPBC = 50°-10° = 40°*. ZPAB = |(180°-ZABP)= | (180°-40°)= 70° 規(guī)律35 有二倍角時昏用的輔助線構造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角 例：已知，如圖，在AABC 中，Zl = Z2, ZABC = 2ZC, 求證：AB + BD 二 AC證明：延長AB到E,使BE二BD,連結DE則 ZBED= ZBDEVZABD=ZE+ZBDEA ZABC =2ZEVZABC = 2ZC ZE = ZC在AAED和ZACD中ZE 二 Z

36、CZl = Z2AD=ADAAAEDAACD AC = AE TAE 二 AB + BEAC 二 AB + BE 即 AB + BD = AC平分二倍角例：已知，如圖，在AABC中，BD丄AC于D, ZBAC = 2ZDBC 求證：ZABC= ZACB證明：作ZBAC的平分線AE交BC于E,貝iJZBAE = ZCAE = ZDBC VBD丄ACA ZCBD + ZC = 90°ZCAE+ZC二 90°I ZAEC= 180°- ZCAE-ZC= 90° AE丄BCAZABC+ZBAE = 90°VZCAE+ZC= 90°ZBAE=

37、ZCAE ZABC = ZACB加倍小角例：已知，如圖，在AABC中，BD丄AC于D, ZBAC = 2ZDBC 求證：ZABC = ZACB證明：作ZFBD二ZDBC,BF交AC于F （過程略）規(guī)律36有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結起來.例：已知，如圖，AABC中，AB = AC, ZBAC = 120°, EF為AB的垂直平分線，EF 交BC于F,交AB于E求證：BF=丄FC2證明：連結AF,則AF二BFAZB=ZFAB AB = ACZB 二ZCI ZBAC = 120°= 30°=90°/.ZB =ZCZBAC =| (180

38、°-ZBAC) ZFAB = 30°A ZFAC =ZBAC-ZFAB = 120°-30° 又 V ZC = 30°/. AF = -FC2BF 二丄 FC2練習：已知，如圖，在AABC中，ZCAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于 點D, DM丄AB于DN丄AC延長線于N求證：BM = CN規(guī)律37.有垂直時常構造垂直平分線例：已知，如圖，在AABC中，ZB=2ZC, AD丄BC于D 求證：CD=AB + BD證明：()在CD上截取DE = DB,連結AE,貝ijAB二AEAZB=ZAEB連結AF則VZB = 2ZCAZAEB = 2Z

39、C乂 ZAEB = ZC+ ZE ACAZC=ZEAC :.AE = CE乂TCD二DE+CECD二BD+AB（二）延長 CB 到 F,使 DF二 DC,AF=AC （過程略）規(guī)律3&有中點時常構造垂直平分線.例：已知，如圖，在AABC 中，BC = 2AB, ZABC = 2ZC.BD = CD求證：AABC為直角三角形證明：過D作DE丄BC,交AC于E,連結BE,貝ij BE = CE,AZC=ZEBC中VZABC = 2ZC AZABE=ZEBC VBC = 2AB, BD = /.BD = AB在 ZkABE 和 ADBE AB = BDZABE=ZEBCBE = BE AAA

40、BEADBE AZBAE= ZBDEI ZBDE = 90° ZBAE = 90°即AABC為直角三角形規(guī)律39當涉及到線段平方的關系式時常構造直角三角形，利用勾股定理證題. 例：已知，如圖，在AABC中，ZA = 90% DE為BC的垂直平分線求證：be2-ae2=ac2 證明：連結CE,則BE二CEVZA = 90° ae2+ac2 = ec2 aae2+ac2=be2 abe2-ae2 = ac2練習：已知，如圖，在AABC中，ZBAC = 90°, AB二AC, P為BC上一點求證：PB2+PC2= 2PA規(guī)律40條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角

41、放在直角三角形中.例：已知，如圖，在ZABC中，ZB=45°, ZC = 30°, AB二血，求AC的長. 解：過A作AD丄BC于DAZB+ZBAD = 90°,VZB=45% ZB= ZBAD = 45°,AAD 二 BDVAB2=AD2+BD2, AB=>/2 AD = 1V ZC = 30°, AD丄 BC AC = 2AD = 2三、四邊形的輔助線規(guī)律規(guī)律41 平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.例：已知,uABCD的周長為60cm,對角線AC、BD相交于點O, AAOB的周長比ZXBOC 的周長多8cm,求這個四邊形

42、各邊長.解：四邊形ABCD為平行四邊形AAB = CD, AD = CB, AO = COVAB+CD + DA+CB = 60AO+AB+OB (OB + BC+OC) = 8AB + BC = 30, AB-BC =8AAB = CD= 19, BC = AD = 11答：這個四邊形各邊長分別為19cm、11cm、19cm、11cm.規(guī)律42.平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之 差.(例題如上)規(guī)律43 有平行線時常作平行線構造平行四邊形例：已知，如圖，RtAABC, ZACB=90°, CD丄AB 于 D, AE 平分ZCAB 交 CD 于 F

43、, 過F作FHAB交BC于H 求證：CE = BHc證明：過F作FPBC交AB于P,則四邊形FPBH為平行四邊形/ p >ZB 二ZFPA, BH = FP V Z ACB = 90°, CD±AB bAZ5+ZCAB =45°, ZB + ZCAB =90°AZ5=ZBAZ5=ZFPAXV Z1 =Z2, AF = AFAACAFAPAFACF = FPVZ4=Z1 + Z5, Z3=Z2+ZBAZ3=Z4ACF = CEACE=BH練習：已知，如圖，ABEFGH, BE = GC求證：AB = EF+GHA規(guī)律44.有以平行四邊形一邊中點為端點

44、的線段時常延長此線段.例：已知，如圖，在口ABCD中，AB = 2BC, M為AB中點 求證：CM丄DM證明：延長DM、CB交于N四邊形ABCD為平行四邊形/.AD = BC, AD/7BCAZA = ZNBAZADN=ZN乂VAM=BMAAAMDABMNAD = BNABN = BCVAB = 2BC, AM = BM.*.BM = BC = BNAZ1 =Z2, Z3=ZNVZ1 + Z2+Z3 + ZN= 180°,/.Zl + Z3 = 90° /.CM±DM規(guī)律45 平行四邊形對角線的交點到一組對邊距離相等.如圖：OE = OF規(guī)律46平行四邊形一邊（或

45、這邊所在的直線）上的任意一點與對邊的兩個端點的連線所構成的三角形的面積等于平行四邊形面積 的一半如圖：SABEC =丄SaABCD2規(guī)律47平行四邊形內任意一點與四個頂點的連線所構成的四個三角形中，不相鄰的兩個三角形的面積之和等于平行四邊形面積 一半.如圖：SAAOB + SADOC = SABOC + SAAOD =-SdABCD2規(guī)律4&任意一點與同一平面內的矩形各點的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等.如圖：AO2+OC2=BO2 +DO2規(guī)律49平行四邊形四個內角平分線所圍成的 為矩形如圖：四邊形GHMN是矩形（規(guī)律45規(guī)律49請同學們自己證明） 規(guī)律50有垂直時可作垂線構造

46、矩形或平行線.例：已知，如圖，E為矩形ABCD的邊AD±一點,且BE = ED, P為對角線BD上一 點，PF丄BE于F, PG丄AD于G求證：PF+PG 二 AB證明：證法一：過P作PH丄AB于H,則四邊形AHPG為矩形AH 二 GP PH/7ADAZADB=ZHPB90°VBE = DE ZEBD = ZADBAZHPB=ZEBDX V ZPFB =ZBHP =AAPFBABHP HB = FPAH + HB 二 PG + PF即 AB = PG + PF證法二：延長GP交BC于N,則四邊形ABNG為矩形，（證明略）規(guī)律51直角三角形常用輔助線方法：作斜邊上的高例：已知

47、，如圖，若從矩形ABCD的頂點C作對角線BD的垂線與ZBAD的平分線交于 點E求證：AC = CE 證明：過A作AF丄BD,垂足為F,則 A ZFAE = ZAEG四邊形ABCD為矩形A ZBAD = 90° OA=OD ZBDA=ZCADTAF 丄 BD ZABD + ZADB = ZABD + ZBAF =ZADB =ZCAD VAE為ZBAD的平分線 AZBAE=ZDAE ZBAE-ZBAF =ZDAE- ZD AC 即 ZFAE=ZCAEAZCAE=ZAEGAC = EC作斜邊中線，當有下列情況時常作斜邊中線： 有斜邊中點時例：已知，如圖，AD、BE是ZXABC的高，F(xiàn) G是

48、AB的中點求證：GF1DE 證明：連結GE、GDTAD、BE 是AABC 的高，G 是 AB GE 二丄 AB, GD= - AB2 2AF/7EGZBAF = 90°是DE的中點,的中點AGE=GDIF是DE的中點A GF丄 DE有和斜邊倍分關系的線段時例：已知，如圖，在AABC中，D是BC延長線上一點，且DAI BA于A, AC =丄BD 2 求證：ZACB = 2ZB證明：取BD中點E,連結AE,則AE = BE= IbDAZ1 =ZBAC = -BD2 AC = AE/.ZACB=Z2VZ2=Z1 + ZBAZ2 = 2ZBAZACB = 2ZB規(guī)律52正方形一條對角線上一點

49、到另一條對角線上的兩端距離相等例：已知，如圖，過正方形ABCD對角線BD±一點P,作PE丄BC于E,作PF丄CD 于F求證：AP=EF證明:連結AC、PC四邊形ABCD為正方形ABD 垂直平分 AC, ZBCD = 90°AP = CPTPE丄BC, PF丄CD, ZBCD = 90°四邊形PECF為矩形PC = EF AP = EF規(guī)律53有正方形一邊中點時常取另一邊中點.例：已知,如圖，正方形ABCD中，M為AB的中點，MN丄MD, BN平分ZCBE并交MN于N求證：MD = MN證明：取AD的中點P,連結PM,則DP二PA二丄AD2四邊形ABCD為正方形AA

50、D=AB, ZA=ZABC = 90°/.Zl + ZAMD = 90°, 乂 DM丄MNAZ2+ZAMD = 90°Z1 =Z2M為AB中點AM 二 MB 二丄 AB2Z.DP=MB AP = AMAZAPM=ZAMP = 45°AZDPM=135°VBN 平分ZCBE ZCBN = 45°A ZMBN =ZMBC+ ZCBN = 90°+45°= 135°即 ZDPM=ZMBNAADPMAMBN DM = MN注意：把M改為AB上任一點，其它條件不變，結論仍然成立。練習：已知，Q為正方形ABCD的CD

51、邊的中點，P為CQ上一點，且AP二PC + BC 求證：ZBAP = 2ZQAD規(guī)律54利用正方形進行旋轉變換B旋轉變換就是當圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分繞相等鄰 邊的公共端點旋轉到另一位置的引輔助線方法旋轉變換主要用途是把分散元素通過旋轉集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條 件.旋轉變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.例：已知，如圖，在AABC中，AB=AC, ZBAC = 90°, D為BC邊上任一點 求證：2AD2 = BD2+CD2證明：把AABD繞點A逆時針旋轉90。得 ACEABD = CE ZB= ZACE ZB AC = 90° ZD

52、AE = 90°ADE2 = AD2 + AE2 = 2AD2VZB+ZACB = 90° ZDCE = 90°ACD2+CE2 = DE2A2AD2 = BD2+CD2注意：把AADC繞點A順時針旋轉90。也可，方法同上。練習：已知，如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，BF平分ZCBE交CD于F 求證：BE 二 CF+AE規(guī)律55有以正方形一邊中點為端點的線段時，常把這條線段延長，構造全等三角形. 例：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CD、DA的中點，BE與CF交于P點 求證：AP = AB證明：延長CF交BA的延長線于K四邊形ABCD為正方形 BC

53、=AB = CD = DA ZBCD =ZD =ZBAD = 90°E、F分別是CD、DA的中點ACE 二丄 CD DF 二 AF 二丄 ADACE = DFA ABCEACDFAZCBE=ZDCFVZBCF+ZDCF = 90°AZBCF+ZCBE = 90°/.BE 丄 CFXVZD=ZDAK = 90° DF = AF Z1 =Z2AACDFAKAFCD 二 KAA BA = KA 乂 TBE 丄 CF AP 二 AB練習：如圖，在正方形ABCD中，Q在CD±,且DQ二QC, P在BC±,且AP二CD+CP求證：AQ平分ZDAP

54、規(guī)律56從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形.例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，AD/BC, AD = 3, AB = 4, BC = 7 求ZB的度數(shù)解：過A作AECD交BC于E,則四邊形AECD為平行四邊形AAD = EC, CD = AET AB = CD = 4,AD = 3, BC = 7/. BE = AE = AB = 4ABE為等邊三角形AZB = 60°規(guī)律57從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉化成一個矩形和兩個 三角形.例：已知，如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB = AC, ZB AC = 90

55、76;, BD = BC, BD交AC于O 求證：CO = CD證明：過A、D分別作AE±BC, DF丄BC,垂足分別為E、F則四邊形AEFD為矩 形 AE = DFTAB 二 AC, AE丄BC, ZBAC = 90°,AAE = BE = CE=-BC,2I BC = BDAE二DF二-BD2X V DF 丄 BC ZDBC = 30°VBD = BCAZBDC=ZBCD=|(180°-ZDBC)= 75° ZDOC =ZDBC+ ZACB = 30°+45° = 75°AZBDC=ZDOCA CO = CD規(guī)律58.