九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《垂徑定理》課件

1、 它是它是13001300多年前我國隋代建造的石拱橋多年前我國隋代建造的石拱橋, , 是我國古代人是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)的弦的長(zhǎng)) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弦的距離弧的中點(diǎn)到弦的距離) )為為7.2m7.2m， 你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？你知道趙州橋嗎你知道趙州橋嗎? ? 實(shí)踐探究實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能

2、得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是圓是軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形，任何一條圖形，任何一條直徑直徑所所在直線都是它的對(duì)稱軸，它有無數(shù)條對(duì)稱軸在直線都是它的對(duì)稱軸，它有無數(shù)條對(duì)稱軸看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBE如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？OABCDE活活 動(dòng)動(dòng) 一一（1）是軸對(duì)稱圖形直徑）是軸對(duì)稱圖形直徑C

3、D所在的所在的直線是它的對(duì)稱軸直線是它的對(duì)稱軸（2） 線段：線段： AE=BE弧：，?。?，把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，重合，AE與與BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合直徑平分弦，并且直徑平分弦，并且平分及平分及OABCDE垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧思考：思考：平分弦（不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？平分弦（不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？即即，如圖如圖: ABAB是是OO的一條弦的一條弦，直徑，直徑CDCD交交ABAB于于MM，

4、AM=BMAM=BM垂徑定理的推論OABCDM連接連接OA,OB,OA,OB,則則OA=OB.在在OAM和和OBM中中,OA=OB，OM=OM，AM=BMOAM OBM.AMO= BMO.CDAB O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對(duì)稱對(duì)稱,當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)對(duì)折時(shí),點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.平分平分弦（不是直徑）的直徑弦（不是直徑）的直徑垂直垂直于于弦弦, ,并且并且平分平分弦所對(duì)的兩條弦所對(duì)的兩條弧弧. .AM=BM,n由由 CD是是直徑直徑 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD是

5、是直徑直徑 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧推論：推論：平分平分弦（不是直徑）的直徑弦（不是直徑）的直徑垂垂直直于弦于弦, ,并且并且平分平分弦所對(duì)的兩條弦所對(duì)的兩條弧弧. .（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）討論討論（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）（5）（1）過圓心（）過圓心（2）垂直于）垂直于弦弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所對(duì)優(yōu)弧分弦所對(duì)優(yōu)弧 （5）平分）平分弦所對(duì)的劣弧弦所對(duì)的劣?。?）（5）（3）（4）

6、（1）（2）（5）（2）（4）（1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）OABCDM每條推論如何用語言表示？（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧的兩條?。?）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧并且平分弦所對(duì)的另一條?。?） （5） （6） （7） （8） （9）根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和根據(jù)垂

7、徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說。如果具備一條直線來說。如果具備（1）過圓心）過圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)弧 （5）平分弦所對(duì)的劣?。┢椒窒宜鶎?duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論推出其他三個(gè)結(jié)論結(jié)論結(jié)論AM=BM,AB是是 O的一條弦的一條弦. 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說與同伴說說你的想法和理由說你的想法和理由.作作直徑直徑CD,使使CDAB,垂足為垂足為M.O右圖是軸對(duì)稱圖形嗎右圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是如果是,其對(duì)稱軸是什么其對(duì)稱

8、軸是什么?小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:ABCDM由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.例例1 1 ：如圖，已知在：如圖，已知在O O中，弦中，弦ABAB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8 8厘米，圓心厘米，圓心O O到到ABAB的距離的距離為為3 3厘米，求厘米，求O O的半徑。的半徑。解：連結(jié)解：連結(jié)OA。過。過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則OE3厘米，厘米，AEBE。 AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有中，根據(jù)勾股定理有OA5厘米厘米 O的的半徑為半徑為5厘米厘米。.AEBO例例2：已知：如圖，在以：已知：如圖，在以O(shè)為圓為圓心的兩個(gè)同

9、心圓中，大圓的弦心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。求證：求證：ACBD。證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBDE.ACDBO一、判斷下列說法的正誤一、判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條

10、弦 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的弧必平分此弦所對(duì)的弧 分別過弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線，將弦所對(duì)分別過弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線，將弦所對(duì)的兩條弧分別三等分的兩條弧分別三等分 3 3半徑為半徑為2cm2cm的圓中，過半徑中點(diǎn)且的圓中，過半徑中點(diǎn)且 垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是 。cm32cm328cmA AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E1 1半徑為半徑為4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圓心那么圓心O O到弦到弦ABAB的距離是的距離是 。2 O的直徑為

11、的直徑為10cm，圓心，圓心O到弦到弦AB的的 距離為距離為3cm，則弦，則弦AB的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是 。二、填空：二、填空：OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)4 4、O O的半徑為的半徑為10cm10cm，弦，弦ABCDABCD， AB=16AB=16，CD=12CD=12，則，則ABAB、CDCD間的間的 距離是距離是_ _ . .2cm或或14cm1.13001.1300多年前多年前, ,我國隋朝建造的趙州石拱橋我國隋朝建造的趙州石拱橋( (如圖如圖) )的橋的橋拱是圓弧形拱是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)是弦的長(zhǎng)弧所對(duì)

12、是弦的長(zhǎng)) )為為 37.437.4 m, m,拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弦的距離弧的中點(diǎn)到弦的距離, ,也叫弓形高也叫弓形高) )為為7.27.2m,m,求求橋拱的半徑橋拱的半徑( (精確到精確到0.1m).0.1m).RDOABC37.4m7.2m解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2解：因?yàn)榻?/p>

13、：因?yàn)槿鐖D，用如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為半徑為R經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD 就是拱高就是拱高7.218.7說出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn)，讓大家說出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn)，讓大家與你一起分享！與你一起分享！圓是圓是軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形, ,經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸. .垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦, ,并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧. . 垂徑垂徑定理定理: :在在解決有關(guān)圓的問題時(shí)，可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化解決有關(guān)圓的問題時(shí)，可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化為為解直角三角形解直角三角形的問題的問題 。根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線