全等三角形常見輔助線

1、abdefmn如圖如圖,ab=ad,bc=dc,ab=ad,bc=dc,求證求證:b=d.:b=d.acbd連接連接acac構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形連線連線 構(gòu)造全等構(gòu)造全等連線連線 構(gòu)造全等構(gòu)造全等如圖如圖,ab,ab與與cdcd交于交于o, o, 且且ab=cdab=cd，ad=bcad=bc，ob=5cmob=5cm，求，求odod的長(zhǎng)的長(zhǎng). .連接連接bdbd構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形acbdo如圖如圖, ,abcabc中中, c =90, c =90o o,bc=10,bd=6,bc=10,bd=6, ad ad平分平分bac,bac,求點(diǎn)求點(diǎn)d d到到abab的距離的距離.

2、.過點(diǎn)過點(diǎn)d d作作deabdeab于點(diǎn)于點(diǎn)e eacdbe角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線段角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線段pd=pe.pd=pe.如圖如圖,oc ,oc 平分平分aob,aob,角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段過點(diǎn)過點(diǎn)p p作作pfoa,pg obpfoa,pg ob垂足為點(diǎn)垂足為點(diǎn)f, f,點(diǎn)點(diǎn)g gfgacdbepodoe +dpe =180doe +dpe =180doe +dpe =180doe +dpe =180求證求證: :證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形abcdabcd中，中，bdbd是是abcabc的的角平分線，

3、角平分線，ad=cdad=cd，求證：，求證：a+c=180a+c=180dabcm作作dmbc于于m，dnba交交ba的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于n。 bd是是abc的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） dnba，dmbc（已知）（已知）n=dmb=90（垂直的定義）（垂直的定義）在在nbd和和mbd中中 n=dmb （已證）（已證） 1=2（已證）（已證） bd=bd（公共邊）（公共邊）nbd mbd（a.a.s）12 4=c（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） n433 32 21 1* * nd=md（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的

4、對(duì)應(yīng)邊相等） dnba，dmbc（已知）（已知）nad和和mcd是是rt在在rtnad和和rtmcd中中 nd=md （已證）（已證） ad=cd（已知）（已知）rtnad rtmcd（h.l） 3+ 4180（平角定義），（平角定義）， a3（已證）（已證）a+ c180（等量代換）（等量代換） abcabc中中,ab,abac ac ，a a的平分線與的平分線與bcbc的垂直平分線的垂直平分線dmdm相交于相交于d d，過，過d d作作de de abab于于e e，作，作dfacdfac于于f f。 求證：求證：be=cfbe=cfabcdefm連接連接db,dc垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線

5、段垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段如圖，已知三角形如圖，已知三角形abcabc中中,bc,bc邊上的垂直平分線邊上的垂直平分線dede與角與角bacbac的平分線交于點(diǎn)的平分線交于點(diǎn)e e，efef垂直垂直abab交交abab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f f，egeg垂直垂直acac交交acac于點(diǎn)于點(diǎn)g g。求證：。求證：(1)bf=cg(1)bf=cg (2) (2)判定判定ab+acab+ac與與afaf的關(guān)系的關(guān)系m = 42.35m = 42.23已知在已知在abc中，中，c=2b, 1=2求證求證:ab=ac+cdadbce12在在ab上取點(diǎn)上取點(diǎn)e使得使得ae=ac，連接，連接de截長(zhǎng)截

6、長(zhǎng)f在在ac的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)f使得使得cf=cd，連接，連接df補(bǔ)短補(bǔ)短a1bcd234如圖所示，已知如圖所示，已知adbc，1=2，3=4，直線，直線dc經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)e交交ad于點(diǎn)于點(diǎn)d，交交bc于點(diǎn)于點(diǎn)c。求證：。求證：ad+bc=abef在在ab上取點(diǎn)上取點(diǎn)f使得使得af=ad,連接連接ef截長(zhǎng)補(bǔ)短證明證明：例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形abcdabcd中，中，bdbd是是abcabc的的角平分線，角平分線，ad=cdad=cd，求證：，求證：a+c=180a+c=180dabce在在bc上截取上截取be，使，使be=ab，連結(jié)，連結(jié)de。 bd是是abc

7、的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在abd和和ebd中中 ab=eb（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） bd=bd（公共邊）（公共邊）abd ebd（s.a.s）1243 3+ 4180（平角定義），（平角定義），a3（已證）（已證）a+ c180 （等量代換）（等量代換）3 32 21 1* * a3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） ad=cd（已知），（已知），ad=de（已證）（已證）de=dc（等量代換）（等量代換）4=c（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）ad=de（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）證明證明

8、: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形abcdabcd中，中，bdbd是是abcabc的的角平分線，角平分線，ad=cdad=cd，求證：，求證：a+c=180a+c=180dabcf延長(zhǎng)延長(zhǎng)ba到到f，使，使bf=bc，連結(jié)，連結(jié)df。 bd是是abc的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在bfd和和bcd中中 bf=bc（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） bd=bd（公共邊）（公共邊）bfd bcd（s.a.s）1243 fc（已證）（已證）4=c（等量代換）（等量代換）3 32 21 1* * fc（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（

9、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） ad=cd（已知），（已知），df=dc（已證）（已證）df=ad（等量代換）（等量代換）4=f（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角） 3+ 4180 （平角定義）（平角定義）a+ c180 （等量代換）（等量代換）df=dc（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）練習(xí)練習(xí)1 1如圖，已知如圖，已知abcabc中，中，adad是是bacbac的角平分線，的角平分線，ab=ac+cdab=ac+cd，求證：，求證：c=2bc=2babcde122 21 1證明證明: :在在ab上截取上截取ae，使，使ae=ac，連結(jié)，連結(jié)de。 ad是是bac的角平分線（已知）的角平

10、分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在aed和和acd中中 ae=ac（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） ad=ad（公共邊）（公共邊）aed acd（s.a.s）3b=4（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）4* * c3（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)又又 ab=ac+cd=ae+eb（已知）（已知）eb=dc=ed（等量代換）（等量代換） 3= b+4= 2b（三角形的一個(gè)外角等于（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）c=2b（等量代換）（等量代換）ed=cd（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）練習(xí)練習(xí)1 1如

11、圖，已知如圖，已知abcabc中，中，adad是是bacbac的角平分線，的角平分線，ab=ac+cdab=ac+cd，求證：，求證：c=2bc=2babcdf12證明證明: :延長(zhǎng)延長(zhǎng)ac到到f，使，使cf=cd，連結(jié)，連結(jié)df。 ad是是bac的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） ab=ac+cd，cf=cd（已知）（已知） ab=ac+cf=af（等量代換）（等量代換） acb= 2f（三角形（三角形的一個(gè)外角等于和它不相的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）acb=2b（等量代換）（等量代換）32 21 1* *在在abd和和afd

12、中中 ab=af（已證）（已證） 1=2（已證）（已證） ad=ad（公共邊）（公共邊）abd afd（s.a.s） fb（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） cf=cd（已知）（已知）b=3（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）如何利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形？如何利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形？ 可以利用可以利用倍長(zhǎng)中線法倍長(zhǎng)中線法，即把中線，即把中線延長(zhǎng)一倍，來構(gòu)造全等三角形。延長(zhǎng)一倍，來構(gòu)造全等三角形。 如圖，若如圖，若ad為為abc的中線，的中線， 必有結(jié)論必有結(jié)論：abcde12 延長(zhǎng)延長(zhǎng)ad到到e，使，使de=ad，連結(jié)連結(jié)be（也可連結(jié)（也可連結(jié)ce）。）。abd

13、ecd，1=e，b=2，ec=ab，ceab。已知，如圖已知，如圖adad是是abcabc的中線，的中線，abcde)(21acabad求證：延長(zhǎng)延長(zhǎng)adad到點(diǎn)到點(diǎn)e e，使，使de=adde=ad，連結(jié)連結(jié)ce.ce.思考：若思考：若ab=3,ac=5ab=3,ac=5求求adad的取值范圍？的取值范圍？倍長(zhǎng)中線如圖，已知直線如圖，已知直線mnpqmnpq，且，且aeae平分平分banban、bebe平分平分qbaqba，dcdc是過是過e e的任意線段，交的任意線段，交mnmn于點(diǎn)于點(diǎn)d d，交，交pqpq于于點(diǎn)點(diǎn)c c。求證：。求證：ad+ab=bcad+ab=bc。證明證明: :延長(zhǎng)

14、延長(zhǎng)aeae，交直線，交直線pqpq于點(diǎn)于點(diǎn)f f。* *3 30 0* * *22222121abcdemnpq1234f51. 1.如圖如圖, ,abcabc中中,c=90,c=90o o,ac=bc,ad,ac=bc,ad平分平分acb,acb, deab. deab.若若ab=6cm,ab=6cm,則則dbedbe的周長(zhǎng)是多少的周長(zhǎng)是多少? ?.“周長(zhǎng)問題周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)”bacdebe+bd+debe+bd+cdbe+bcbe+acbe+aeab2. 2.如圖如圖, ,abcabc中中, d, d在在abab的垂直平分線上的垂直平分線上, ,e e在在acac的垂直平分線上的垂直平分線上. .若若bc=6cm,bc=6cm,求求adeade的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“周長(zhǎng)問題周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)”bacdead+ae+debd+ce+debc5. 5.如圖如圖, , abcabc中，中，bpbp、cpcp是是abcabc的角平分線，的角平分線，mn/bc.mn/bc.若若bc=6cm, bc=6cm, amnamn周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為13cm13cm，求，求abcabc的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .“周長(zhǎng)問題周長(zhǎng)問題”的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化 借助借助“等腰三角形性質(zhì)等腰三角形性質(zhì)”bacpab+ac+bca