2021年中考數(shù)學二輪復習重難題型突破類型三二次函數(shù)與圖形面積問題

1、最新Word類型三 二次函數(shù)與圖形面積問題例1、如圖，已知拋物線 y x21與x軸交于 A B兩點，與y軸交于點C.(1) 求A B C三點的坐標；(2) 過點A作AP/ CB交拋物線于點 P,求四邊形 ACB啲面積；(3) 在x軸上方的拋物線上是否存在一點M過M作MG x軸于點G使以A、M G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在，請求出 M點的坐標；否則，請說明理由.【解析】解：(1 )令y 0,得x2令x 0，得y 1- A( 1,0) B(1,0)(2)VOA=CB=OC=110 解得x 1C(0, 1)BAC AGC= BGC=45° AP/ CBFAB=45o過點P作PE

2、x軸于E,貝UAPE為等腰直角三角形令 OE= a，貝 U pe= a 1 p (a, a 1)點P在拋物線yx2 1 上 a 1 a21解得a12 , a21 (不合題意，舍去)PE=32 21 2 112 3422(3).假設存在PAB=BAC= 45o PA AC/ MG x軸于點G,MG= PAC= 901 1四邊形 AC矽的面積S= AB?OC+丄AB?PE=在 Rt AOC 中，OA=OC=1 AO、2在 Rt PAE 中，AE=PE=3/. AP= 3、2設M點的橫坐標為m，貝y M (m, m21)點M在y軸左側時，則m 1(i )當 AMG sPCA時，有AG = MGPA

3、CA/ AG= m1 , MG=m21 即 I?"解得m21 （舍去）m23 （舍去）MAG s PCA時有些=些CA PAm 1 m2 1、23 2解得：m 1 （舍去）m22 M （ 2,3）(i )當 AMG sPCA時有AG =PAMGCA/ AG=m 1,MG=m21m 1m2132解得m11 （舍去）m243點M在y軸右側時，則m 14 7M(4，G)(ii)當MAGsPCA時有能=四CA PA即m；m213,2解得：mi1 (舍去)m2 4存在點M使以A、M G三點為頂點的三角形與PCA相似4 7M點的坐標為(2,3) , (4,7), (4,15)3 9例2、如圖，在

4、平面直角坐標系中， ABC是直角三角形，/ ACB90, AC=BCOA=1, 0(=4,拋2物線y x bx c經過A, B兩點，拋物線的頂點為 D.(1)求b, c的值;點E是直角三角形 ABC斜邊AB上一動點(點A B除外)，過點E作x軸的垂線交(2)0)B(4,5)(2)如2 6題圖：直線 AB經過點A (-1 ,直線AB的解析式為：y=x+1二次函數(shù) y x2 2x 3設點 E(t , t+1),則 F (t , t2 2t 3) EF= (t 1) (t2 2t 3)=(t 3)2 2524325當t 2時，EF的最大值盲35點E的坐標為（一，一）2 2可求出點F的坐標（-),點D

5、的坐標為（1 , -4 ）24S四邊行EBFD=SVBEF+SVDEF1253、125 “3(4 -)(1)24224 2（3）如2 6題圖：順次連接點E、B F、D得四邊形EBFD.75如2 6題備用圖：i ）過點E作a丄EF交拋物線于點P,設點 P(m m2 2m 3)5則有：m2 2m 32226,m22,2 26 5、旅r",/2P2(26 52 28ii）過點F作b丄EF交拋物線于 P一，設F3 （n, n2 2n 3）則有：n2 2n 315解得：q 1 ,壓一（與點F重合，舍去）2 2P( 2，臺匕冃匕綜上所述：所有點 P的坐標：山(2_岳,5) , p2(2 岳,5)

6、P (- , - 15)222224使厶EFP組成以EF為直角邊的直角三角形.例3、如圖，已知二次函數(shù) y x2 bx c的圖象與x軸交于A B兩點，與y軸交于點P, 頂點為C (1,- 2).(1)求此函數(shù)的關系式;(2)作點C關于x軸的對稱點D,順次連接 AC B、D.若在拋物線上存在點E,使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標;(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在一點F,使得 PEF是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點F的坐標及厶PEF的面積；若不存在，請說【解析】(1 ) y x2bx c的頂點為C (1,- 2),- y (x 1)22x2 2x

7、 1 .(2)設直線PE對應的函數(shù)關系式為y kx b由題意，四邊形ACBDI菱形.明理由X故直線PE必過菱形ACB啲對稱中心由 R0 ,- 1) , M( 1,0)，得 b 1k b 0.從而y x 1 ,設 E( x , x1)，代入 y x2 2x 1，得 x 1x2 2x 1.解之得x10 , x23，根據(jù)題意，得點E(3 , 2)(3)假設存在這樣的點F,可設 F(x , x2 2x 1 ).過點F作FGL y軸，垂足為點 G在 Rt POM口 Rt FGF中，/ OMPZ OPI=90°,Z FPC+Z OPI=90°,/ OMPZ FPG 又/ POM/ PG

8、F POMb FGPOMGPGF又 OM1, OP=1,. GP=GF 即1 (x22x 1)解得Xi 0 , X21，根據(jù)題意，得F（1 , - 2） 故點F（1 , - 2）即為所求.11cccSa pefSa mfpSa mfe-2 12 2322例4、如圖，已知拋物線y ax2 bx c(a0）的頂點坐標為 Q2, 1 ,且與y軸交于點C 0,3，與x軸交于AB兩點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上一動點，從點當點P1為直角頂點時，點R與點B重合（如圖）沿拋物線向點 A運動（點P與A不重合），過點 P作PD/ y軸，交AC于點D.（1）求該拋物線的函數(shù)關系式；（2）當厶ADP是直角

9、三角形時，求點P的坐標; 在問題（2）的結論下，若點 E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由.2【解析】解：（1 ）拋物線的頂點為 Q（2, - 1）設y ax 22將c（0, 3）代入上式，得3 a0 212 2a 1a y x 21,即 y x 4x 3（2）分兩種情況:令 y =0,得 X 4x 30解之得x11,x23點 A在點 B 的右邊, B(1,0), A(3,0)/.P i(1,0)解：當點A為厶APD2的直角頂點是(如圖)9A=OC, / AOC=90 ,/ OA2=45當/D2AP=90 時,/

10、OA2=45 , AO平分/D 2AR又 vp 2D2 / y 軸,/.P 2D2 丄 AO, /.P2、D2 關于 X 軸對稱設直線AC的函數(shù)關系式為y kx b將A(3,0), C(0,3)代入上式得0 3k bk 1,/ y x 33 bb 3設 D2( x, x 3), P 2( x, x2 4x x 5x 6 0, /. x1 2, x2y x2 4x 3 = 224 23 = 1拋物線頂點)23) /.(x 3)+( x 4x 3)=03(舍)當 x=2 時，/P2的坐標為P2(2, 1)(即為P 點坐標為 P1(1,0), P 2(2, 1)解：由題知，當點P的坐標為P1(1,0)時，不能構成平行四邊形當點P的坐標為P(2,