高等數(shù)學(xué)不定積分

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程第五章 一元函數(shù)的積分本章學(xué)習(xí)要求： 熟悉不定積分和定積分的概念、性質(zhì)、基本運算公式. 熟悉不定積分基本運算公式.熟練掌握不定積分和定積分的換 元法和分部積分法.掌握簡單的有理函數(shù)積分的部分分式法. 了解利用建立遞推關(guān)系式求積分的方法. 理解積分上限函數(shù)的概念、求導(dǎo)定理及其與原函數(shù)的關(guān)系. 熟悉牛頓萊布尼茲公式. 理解廣義積分的概念.掌握判別廣義積分收斂的比較判別法. 能熟練運用牛頓萊布尼茲公式計算廣義積分。 掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練運用定積分 表達和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面 的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平

2、面曲線的 弧長、變力作功、液體的壓力等。 能利用定積分定義式計算一些極限。二.不定積分的計算利用不定積分的性質(zhì)利用不定積分的性質(zhì)換元法換元法( 第一、第二第一、第二 )分部積分法分部積分法部分分式法部分分式法3. 不定積分的分部積分法 . 種方法積分時應(yīng)用較廣泛的一分部積分法是計算不定 :導(dǎo)公式相對應(yīng)該方法與函數(shù)的乘積求 , )( ),( 則有上可微在區(qū)間設(shè)函數(shù)Ixvxu . )()()()() )()(xvxuxvxuxvxu , )()( )()( 對上式兩的原函數(shù)存在與如果函數(shù)xvxuxvxu , 便得到積分邊關(guān)于 x . d)()()()(d)()(xxvxuxvxuxxvxu . 分

3、部積分公式該公式稱為不定積分的定理 )()( . )( , )( xvxuIxvxu若函數(shù)上可微在區(qū)間設(shè)函數(shù) , 則上的原函數(shù)存在在區(qū)間 I . d)()()()(d)()(xxvxuxvxuxxvxu . 分部積分公式該公式稱為不定積分的 . 函數(shù)的積分計算一個數(shù)的積分計算轉(zhuǎn)化為另分部積分公式將一個函一般說來, 當(dāng)被積函數(shù)為下列形式之一時, 可考慮運用分部積分法進行計算:冪函數(shù)與三角函數(shù) (或反三角函數(shù)) 之積 , 指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù) (或反三角函數(shù)) 之積 , 冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積 ,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之積 , 一個函數(shù)難于用其它方法積分 ,兩個函數(shù)的乘積 .例1解 . dsin xxx計

4、算xxu)(1)( xuxxvsin)(xxvcos)(xxxxxxxd)cos()cos(dsinxxxxdcoscos . sincosCxxx例2解 . sindcos 3xxxx計算x1xx3sincosx2sin21xxxxxxxx223sin2d21sin2sindcos . cot21csc22Cxxx333dsin)d(sinsindcosuuxxxxx . sin212122CxCu) sin (xu 例3解 . darccos xx計算x1xarccos21 1x 1 darccosdarccos2xxxxxxx . 1 arccos2Cxxx例4解 . dsin 2xxx

5、計算xcosxsin2xx2xxxxxxxxdcos2cosdsin22xsinxcosx1)dsinsin(2cos2xxxxxx . cos2sin2cos2Cxxxxx . , , , 用分部積分法可以連續(xù)使只要條件允許與換元法一樣該例說明例5解xsinxcosxexe . dcos xxex計算 dsinsindcosxxexexxexxxxcosxsinxexe)dcoscos(sinxxexexexxx dcoscossinxxexexexxx . )cos(sin21dcos Cxxexxexx故 :,可能會出現(xiàn)下列關(guān)系式在運用分部積分法時該例顯示 . ) 1 ( d)()(d)

6、(axxfaxxxf , ,便可得出后任意常數(shù)經(jīng)移項并在等式右端加此時C 所求的不定積分 . )(11d)(Cxaxxf例6解x122ax 22axx . d 22xaxI計算 dd2222222axxxaxxxaxI d)(2222222axxaaxaxx dd2222222axxaxaxaxx|ln 22222axxaIaxx . |ln221d 2222222CaxxaaxxxaxI故例7解 . ,d)(ln Znxxn計算x1nx)(lnxxnn1)(ln1 ,d)(ln 則記xxInn d)(ln)(lnd)(ln1xxnxxxxInnnn . )(ln1nnInxx : , 得到一

7、個遞推關(guān)系式于是 . )(ln1nnnInxxI利用遞推關(guān)系式可以由低次冪函數(shù)的積分計算出高次冪函數(shù)的積分. . d)(ln ,33xxI求例如 ,3)(ln233IxxI ,2)(ln122IxxI ,ln01IxxI ,dd)(ln00CxxxxI)(ln1CxxxI)(ln(2)(ln22CxxxxxI . 6ln6)(ln3)(ln 233CxxxxxxxI故例8解xcosxsinxn 1sinxxnncossin) 1(2 . dsin xxn計算 ,dsin 則記xxInnxxxxxInnndsinsindsin1 dcossin) 1(cossin221xxxnxxnn dsin

8、) 1(dsin) 1(cossin21xxnxxnxxnnnxx22sin1cosnnnInInxx ) 1( ) 1(cossin21 . 1cossin1 21nnnInnxxnI故 . d0CxxI 如果需要，條件又允許，則不定積分的換元法、分部積分法等可以混合起來使用。例9解 . 1 d xxexxe計算 1d2d ) 1ln( 1 22，故，則令uuuxuxeuxuuuuuuuuexxexxd) 1(ln 21d2) 1() 1ln( 1 d2222 , d)1ln() 1ln( 2uuu1d) 1ln(d) 1ln(uuuuuuuuuuuud11) 1() 1ln(, | 1|l

9、n) 1ln(1Cuuuu類似地，有 | 1|ln) 1ln(d) 1ln(2，CuuuuuuCuuuuuexxexx| 1| 1|ln24) 1ln(2 1 d 2故 . 11 11 ln21 )2(2Ceeexxxx例10解 . d1arctan 22xxxx計算 d1arctan) 11( d1arctan2222xxxxxxxx d1arctandarctan2xxxxx )d(arctanarctan1darctan2xxxxxxxx1xarctan211x . arctan21)1ln(21arctan22Cxxxx4. 不定積分的部分分式法 眾所周知，有些函數(shù)雖然在某區(qū)間上連續(xù)，

10、可以積分，但由于它的原函數(shù)不能表示為初等函數(shù)的形式（即初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)），這時我們稱該函數(shù)可積，但積不出. . dsin ,d ,dsin 22等例如：xxxexxxx 下面介紹原函數(shù)可以表示為初等函數(shù)的三類常用函數(shù)的積分法部分分式法. )()()(11101110mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR)cos ,(sinxxR) ,(2cbxaxxR換元法部分分式法(1) 有理函數(shù)的積分法 部分分式法式的商構(gòu)成的函數(shù)：有理函數(shù)是由兩個多項 )( 為有理真分式；時，稱當(dāng)xRmn . )( 為有理假分式時，稱當(dāng)xRmn )()()( 11101110mmmmnn

11、nnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR為一個多項式與一個運用除法可將假分式化 . 有理真分式的和的形式我們只需討論有理真分式的積分方法.由高等代數(shù)知識，任何一個有理真分式均可化為下列四類簡單分式之和的形式：, )( , , )( , 22kkqpxxBAxqpxxBAxaxBaxA . 04 2qpRqpaBAZk，且，常數(shù)其中，高等代數(shù)有關(guān)定理簡介，則，若0)()()()( . 111aQZkxQaxxQk , )( )( )()( )( )(11111xQxPaxAaxAaxAxQxPkkkk . )( )( 11為有理真分式其中，xQxP，則，且，若04 )()()( . 2222

12、qpZkxQqpxxxQk , )( )( )()( )( )(2221112112xQxPqpxxBxAqpxxBxAqpxxBxAxQxPkkkkkk . )( )( 22為有理真分式其中，xQxP有理真分式可以分解為部分分式例11解 . 2422 1322)( 23452寫成部分分式形式將xxxxxxxxR ) 1)(2(2422 222345，故令因為xxxxxxx ) 1)(2( 1322 2422 132222223452xxxxxxxxxxx1) 1(2222xEDxxCBxxA通分、比較分子的系數(shù)2342)22()2()(1322xEDABxDExDAxx)22()22(ECA

13、xEDBC得到代數(shù)方程組0 DA02 DE222EDAB222EDBC1322ECA , 2 , 1 , 4 , 3 , 1 故解方程組得：EDCBA . 12) 1(4321 2422 132222223452xxxxxxxxxxxx例12解 . d431 232xxxx計算 ) 1()2(43 223，得由xxxx , 2)2(14312232xCxBxAxxx 通分，比較系數(shù)，得 , ) 1)(2() 1()2(122xxCxBxAx ; 92 , 1 Ax得令 ; 35 , 2 Bx得令 , 97 , 0 Cx得令xxxxxxxxd2197)2(1351192d431 2232故 .

14、|2|ln97)2( 35| 1|ln92Cxxx(2) 三角函數(shù)有理式的積分法 半角代換 , 2tan 積分轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的可將三角函數(shù)有理式的令xt 有理函數(shù)的積分計算： . 1d2) 11 ,12 (d)cos ,(sin2222ttttttRxxxR , 1 22tan12tan22sec2tan22cos2tan22cos2sin2sin2222ttxxxxxxxxx , 112tan12tan12cos)2tan1 (2sin2coscos22222222ttxxxxxxxxd它將代換”常常被人們稱為“萬能代換 . 2tan xt 而轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)積分 , d)( d)cos ,(si

15、nttRxxxR最差的情況也可用部解決了的有理函數(shù)的積分是徹底( 換”能夠徹底解決從而可以認為“萬能代分分式法 , ) . ,法但它不一定是最好的方計算三角函數(shù)有理式的積分請記?。?2tan時：xt 21 2sinttx2211costtx21d2dttx例13解 . sin45 d xx計算 , 1d2d , 1 2sin , 2tan 22故則令ttxttxxt 5 8 5 d2 sin45 d2tttxx ) 5 8 5 ( 5 d 012ttt223d2uu4 5 tuCu3arctan32 . 3 4 2 tan 3 5 arctan 3 2Cx例14解 . dcos2sin2 xx

16、x計算 dcos2sincos2d2dcos2sin2xxxxxxxx . )cos2ln(cos2)cos2( ddcos2sin2Cxxxxxx , 1d 2d , 11cos , 2tan 222故則令ttxttxxt3d 4cos2d22ttxx 3arctan341Ct 2tan31arctan341Cx . )cos2ln(2tan31arctan34dcos2sin2 Cxxxxx從而其它三角函數(shù)有理式的積分計算 , )cos ,(sin)cos ,sin( ) 1 (xxRxxR若 , , tan 此時則可令xt . 1dd , 11cos , 1sin22222ttxtxtt

17、x . cos , )cos , (sin)cos , sin( )2(xtxxRxxR則可令若 . sin , )cos , (sin)cos , (sin )3(xtxxRxxR則可令若 )4(的積分化將一些三角函數(shù)有理式運用三角函數(shù)恒等式可 . 為適宜的積分計算例15解 . sin2d 2xx計算 , 1dd ,1sin , tan 2222故則令ttxttxxt 2dsin2d22ttxxCt2arctan21 . 2tanarctan21Cx例16解 . tan2d 2xx計算 , 1dd , tan 2故則令ttxxt )1)(2(dtan2d222tttxx d211122ttt 2arctan21arctanCtt . 2tanarctan21Cxx例17解 . ) 0 , 0 ( cossind 為常數(shù)計算baxbxax cossin cossin222222xbabxbaabaxbxa , )sin(22xba . sin , cos