巧設(shè)未知數(shù)輕松列方程

1、巧設(shè)未知數(shù)，輕松列方程高峰【專題名稱】初中數(shù)學(xué)教與學(xué)【專 題 號】g352【復(fù)印期號】2011年02期【原文出處】中學(xué)生語數(shù)外(津)2010年11期第1921頁【關(guān) 鍵 詞】eeuu    設(shè)元是列方程解應(yīng)用題的一個重要的環(huán)節(jié)。有時巧妙的設(shè)元，可以幫我們巧妙地列出方程解題，那么應(yīng)怎樣設(shè)元呢？這里結(jié)合實例介紹幾種方法，供同學(xué)們參考。    一、直接設(shè)未知數(shù)    這是一種求什么就設(shè)什么的設(shè)未知數(shù)的方法。這是最常用的設(shè)元法。    例1某同

2、學(xué)在a、b兩家超市發(fā)現(xiàn)他看中的英語學(xué)習(xí)機的單價相同，書包單價也相同，英語學(xué)習(xí)機和書包單價之和是452元，且英語學(xué)習(xí)機的單價比書包單價的4倍少8元。    (1)求該同學(xué)看中的英語學(xué)習(xí)機和書包單價各是多少元。    (2)某一天該同學(xué)上街，恰好趕上商家促銷，超市a所有商品打7.5折銷售；超市b全場購物每滿100元返購物券30元銷售（不足100元不返券，購物券全場通用），但他只帶了400元錢，如果他只在一家超市購買看中的英語學(xué)習(xí)機、書包，那么在哪一家購買更省錢？    分析：(1

3、)設(shè)書包的單價為x元，則英語學(xué)習(xí)機的單價為(4x-8)元，利用“英語學(xué)習(xí)機和書包單價之和是452元”列出一元一次方程求解即可；    (2)分別計算在a、b兩個超市購買英語學(xué)習(xí)機和書包各一件所需花費的現(xiàn)金并與400元比較，再比較在a、b兩個超市購買英語學(xué)習(xí)機和書包各一件所需花費的現(xiàn)金，來確定在哪家超市購買更省錢。    解：設(shè)書包的單價為x元，則英語學(xué)習(xí)機的單價為(4x-8)元。    根據(jù)題意，得4x-8+x=452，    解得x=

4、92。    4x-8=4×92-8=360。    答：該同學(xué)看中的英語學(xué)習(xí)機單價為360元，書包單價為92元。    (2)在超市a購買英語學(xué)習(xí)機與書包各一件，需花費現(xiàn)金452×75%=339（元）；因為339400，所以可以選擇在超市a購買。在超市b可先花費現(xiàn)金360元購買英語學(xué)習(xí)機，再利用得到的90元購物券，加上2元現(xiàn)金購買書包，總計共花費現(xiàn)金：360+2=362（元）；因為362400，所以也可以選擇在超市b購買。但是，由于362339，所以在超

5、市a購買英語學(xué)習(xí)機與書包，更省錢。    二、間接設(shè)未知數(shù)    所設(shè)的量不是要求的，但更易找出符合題意的相等關(guān)系，這種把題中要求量以外的量設(shè)為未知元的方法，稱之為“間接設(shè)元法”。有些應(yīng)用題，直接設(shè)未知數(shù)列方程比較困難，或列出的方程比較復(fù)雜，可以考慮使用間接設(shè)未知數(shù)法。    例2“種糧補貼”惠農(nóng)政策的出臺，大大激發(fā)了農(nóng)民的種糧積極性，某糧食生產(chǎn)專業(yè)戶去年計劃生產(chǎn)小麥和玉米共18噸，實際生產(chǎn)了20噸，其中小麥超產(chǎn)12%，玉米超產(chǎn)10%，該專業(yè)戶去年實際生產(chǎn)小麥、玉米各多少噸？

6、    分析：要求該專業(yè)戶去年實際生產(chǎn)小麥、玉米各多少噸，而知道小麥、玉米超產(chǎn)百分率，直接設(shè)未知數(shù)時，列式比較困難，所以考慮設(shè)間接未知數(shù)。    解：設(shè)原計劃生產(chǎn)小麥x噸，生產(chǎn)玉米(18-x)噸。    根據(jù)題意，得    12%x+10%(18-x)=20-18。    解得x=10，18-x=8。    10×(1+12%)=11.2（噸），8

7、×(1+10%)=8.8（噸）。    答：該專業(yè)戶去年實際生產(chǎn)小麥11.2噸，玉米8.8噸。    三、直接設(shè)未知并輔以參數(shù)    對于一些較復(fù)雜的問題，往往條件隱含、關(guān)系交錯。這時不妨引入?yún)?shù)，在已知量和未知量之間架起一座“橋梁”，以便理順各個量之間的關(guān)系，列出方程。而所設(shè)的參數(shù)在解題過程中被消去，不影響問題的結(jié)果。這種方法叫做“參數(shù)法”，也叫“設(shè)而不求法”。    例3甲從a地到b地需30分鐘，乙從a地到b地需20分鐘，

8、若甲乙兩人都從a地到b地，甲比乙早出發(fā)5分鐘，問乙出發(fā)幾分鐘后追上甲？    分析：由于路程一定時，速度與時間成反比，于是“甲速：乙速=2030=23”，這是此題的隱含條件，據(jù)此可增設(shè)輔助元甲速為2k米分鐘，乙速為3k米分鐘。相等關(guān)系為“甲走的路程乙走的路程”。    解：設(shè)乙出發(fā)x分鐘后追上甲，又設(shè)甲速為2k米分鐘，乙速為3k米分鐘。得到方程3kx=2k×(5+x)，因為k0，方程兩邊同時約去，得方程3x=2×(5+x)，解得x=10。    答：乙出發(fā)

9、10分鐘后追上甲。    四、間接設(shè)元并輔以參數(shù)    有些應(yīng)用題在間接設(shè)元后，也需要引入適當?shù)膮?shù)才比較容易列出方程。    例4李明與王云分別從a、b兩地相向而行，若兩人同時出發(fā)，則經(jīng)過80分鐘兩人相遇；若李明出發(fā)60分鐘后王云再出發(fā)，則經(jīng)過40分鐘兩人相遇，問李明與王云單獨走完全程各需多少小時？        答：李明與王云單獨走完全程各需120分鐘和240分鐘。  &#

10、160; 五、整體設(shè)元法    有些問題未知量太多，而已知關(guān)系又太少，如果某一部分未知量存在一個整體關(guān)系，則可設(shè)這一部分為一個未知元，這樣就減少了設(shè)元的個數(shù)，這種設(shè)元的方法叫做“整體設(shè)元法”。    例5一個五位數(shù)，個位數(shù)為4，這五位數(shù)加上6120后所得的新五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個位上的數(shù)恰巧分別為原五位數(shù)的個位、萬位、千位、百位、十位上的數(shù)，試求原五位數(shù)。    分析：在解此題時，可以把原五位數(shù)去掉個位數(shù)4以后得到的四位數(shù)看作一個整體，設(shè)其x，就達到化難

11、為易，化繁為簡了。    解：設(shè)原五位數(shù)去掉個位數(shù)后的四位數(shù)為x則原五位數(shù)可表示為10x+4。得方程(10x+4)+6120=4×10000+x。    解得：x=3764，10x+4=37644。    六、設(shè)輔助未知數(shù)    有些應(yīng)用題，往往發(fā)現(xiàn)要列方程，量不夠，未知的量太多，此時可考慮適當?shù)匾胼o助未知數(shù)，把它視為已知量，已知量多了，已列方程就簡便了，輔助未知數(shù)與參數(shù)不同，參數(shù)在化簡過程中往往會消失，但是輔助未知數(shù)不一定

12、消失。    例6陳老師為學(xué)校購買運動會的獎品后，回學(xué)校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種書，共105本，單價分別為8元和12元，買書前我領(lǐng)了1500元，現(xiàn)在還余418元?！蓖趵蠋熕懔艘幌拢f：“你肯定搞錯了。”    (1)王老師為什么說他搞錯了？試用方程的知識給予解釋；    (2)陳老師連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本。但筆記本的單價已模糊不清，只能辨認出應(yīng)為小于10元的整數(shù)，筆記本的單價可能為多少元？   

13、0;分析：(1)根據(jù)錢數(shù)列方程求出本數(shù)即可作出判斷；(2)設(shè)出筆記本的單價為a元，單價為8元的課外書為y本，多了一個a列方程就容易多了，列出方程后，利用整除的有關(guān)知識求解即可。    解：(1)設(shè)單價為8元的課外書為x本。得8x+12(105-x)=1500-418。    解得x=44.5（不符合題意）。    所以王老師肯定搞錯了。    (2)設(shè)單價為8元的課外書為y本，設(shè)筆記本的單價為a元。依題意得  

14、60; 8y+12(105-y)=1500-418-a。    解得：178+a=4y    a、y都是整數(shù)，則178+a應(yīng)被4整除，    a為偶數(shù)。    又a為小于10元的整數(shù)，    a可能為2、4、6、8。    當a=2時，4y=180，y=45，符合題意；當a=4時，4y=182，y=45.5，不符合題意；  &#

15、160; 當a=6時，4y=184，y=46，符合題意；當a=8時，4y=186，y=46.5，不符合題意。    筆記本的單價可能是2元或6元。    練習(xí)：    1.為了節(jié)約水資源，某市對城鎮(zhèn)居民每月用水作如下規(guī)定：不超過3噸收費5元，3噸到5噸之間，每噸收費1.5元，5噸以上，每噸收費2.5元。若居民張大娘家3月份繳納水費20.5元，請你幫張大娘算算，她家3月共用水多少噸？    2.小民和爺爺在400米的環(huán)形操場上跑

16、步，同時同向從同一點出發(fā)，如果小民的速度是6米秒，爺爺?shù)乃俣仁?米秒，問爺爺跑幾圈后，小民超過爺爺一圈？    3.農(nóng)科所向農(nóng)民推薦渝江號和渝江號兩種新型良種稻谷。在田間管理和土質(zhì)相同的條件下，號稻谷單位面積的產(chǎn)量比號稻谷低20%，但號稻谷的米質(zhì)好，價格比號高。已知號稻谷國家的收購價是1.6元千克。當號稻谷的國家收購價是多少時，在田間管理、土質(zhì)和面積相同的兩塊田里分別種植號、號稻谷的收益相同？    4.一個六位數(shù)2abcde的3倍等于abcde9，求這個六位數(shù)。    答案：    1.設(shè)張大娘家3月用水x噸，易知x5，故得方程5+1.5×(5-3)+2.5×(x-5)=20.5，解得x=10。    2.設(shè)經(jīng)過x秒后，小民超過爺爺一圈，得方程：(6-4)x=400,解得x=200（秒），(4×200)÷