數(shù)值分析典型例題

1、第一章典型例題例3，精確到10_3的近似值是多少？解 精確到10_3 = 0.001，即絕對(duì)誤差限是 =0.0005,故至少要保留小 數(shù)點(diǎn)后三位才可以。ln2 :0.693第二章典型例題例1用順序消去法解線(xiàn)性方程組解順序消元于是有同解方程組回代得解X3二一1, X2=1,Xl=1,原線(xiàn)性方程組的解為 X= (1,1, 1)T例2取初始向量乂0)=(0,0,0) T,用雅可比迭代法求解線(xiàn)性方程組 解建立迭代格式X1& =-2x2k) +2x3k) +1“嚴(yán)=x1k) x3k)+3 (k=1,2,3,)x3f =-2x1k) 2x2k) +5第1次迭代,k=0X0) = 0,得至y X(1

2、) = (1,3,5) T第2次迭代，k=1X2) = (5, 3, 3)t第3次迭代，k=2乂3) = (1,1,1) T第4次迭代，k=3X =(1,1,1)例4證明例2的線(xiàn)性方程組，雅可比迭代法收斂，而高斯-賽德?tīng)柕?代法發(fā)散。證明例2中線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣為jA= 1-211于是1D= 00010101】200'0-21102雅可比迭代矩陣為j d（L +U）= 0OU。 011I2-2【1001'2-210得到矩陣B0的特征根為,2,3=0，根據(jù)迭代基本定理4,雅可比迭代法收斂。高斯-賽德?tīng)柕仃嚍镚=- (D L)'U1001"_02-21_10

3、002-2102 -2=110001=-110001=0-23221 一000 一0-21'000I i00-2解得特征根為：1=0, 23=2。由迭代基本定理4知，高斯賽德?tīng)柕l(fā)散例5填空選擇題：1.用高斯列主元消去法解線(xiàn)性方程組作第 1 次消元后的第 2,3 個(gè)方程分別為。答案: 嚴(yán)-0.5X3 =-1.5口-2x2 +1.5x3 =3.5解答 選a2i=2為主元，作行互換，第1個(gè)方程變?yōu)椋?xi+2x2+3x3=3，消 元得到是應(yīng)填寫(xiě)的內(nèi)容。3.用高斯-賽德?tīng)柕ń饩€(xiàn)性方程組的迭代格式中x2k1) =(k=0,1,2,)答案：3xF1)x3k)X2的值解答：高斯-賽德?tīng)柕?/p>

4、就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果，求 時(shí)應(yīng)該用上x(chóng)i的新值。第三章典型例題例1已知函數(shù)y=f(x)的觀(guān)察數(shù)據(jù)為Xk2045yk5131試構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式Pn(x)，并計(jì)算f( - 1)的近似值只給4對(duì)數(shù)據(jù)，求得的多項(xiàng)式不超過(guò)3次解先構(gòu)造基函數(shù)所求三次多項(xiàng)式為nP3(X)八 yJk(x)k =0=_、 x(x -)(x 7 + (x J(x- ：)(x 7S440(3x(x+2)(x5) + (x + 2)x(x2435=-x x，x 1421421f ( 1)卩3( 1)=42MT例3設(shè)xjxx：,.,xn是n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，I k(x)(k = n)是拉格朗日插值基函數(shù)，證明:nn(1

5、) ' lk(x)三(2)、lk(x)xm 三 xm(m = J：,., n)ky.n證明(1) Pn(x)=yol o(x)+yil i(x)+ +ynl n(x)二 ' yJk(X)當(dāng) f(x) :1 時(shí)，kf(n+)(S1= Pn(x) Rn(X)=_Mk(X) F n(X)y.(n -)!- n由于 f(no(x) Y,故有 'Tk(x)"k=0(2) 對(duì)于f(x)二xmn=0,1,2,，n,對(duì)固定xO ?mn),作拉格朗日插值 多項(xiàng)式，有當(dāng) n>mn 1 時(shí)，f(n+1)(x)=0, Rn(x)=0，所以注意：對(duì)于次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式Qn(x)

6、二anxn - ax . a x a， 利用上結(jié)果，有nnnn=aTk(x)x： an_i、lk(x)xj- aTk(x)Xkk £k.kk<nn=lk(x)anXn - an JX?J . aXk a。 = Qn(Xk)lk(x)k =0k=0n上式-Qn(Xk)lk(x)正是Q(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式?？梢?jiàn)，Q(x)的拉格朗k=0日插值多項(xiàng)式就是它自身，即次數(shù)不超過(guò) n的多項(xiàng)式在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處 的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身。例5已知數(shù)據(jù)如表的第2, 3列，試用直線(xiàn)擬合這組數(shù)據(jù)。解 計(jì)算列入表中。n=5。a。, a滿(mǎn)足的法方程組是kXkykXkyk11414224.5

7、493369184481632558.52542.59153155105.5解得a°=2.45,a=1.25。所求擬合直線(xiàn)方程為y=2.45+1.25 x例6選擇填空題1.設(shè)y=f(x),只要xo,xi,x2是互不相同的3個(gè)值，那么滿(mǎn)足 Rxk)二yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多項(xiàng)式Rx)是(就唯一性回答問(wèn)題)答案：唯一的3.拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(A)Rn(X)二 f(X)-巳儀)二：(n(n-)!''n <(x)(B) f (x, Xo, Xi, X2,，Xn)( x Xl)( x X2)-(x Xn_1)( x Xn

8、)(C)Rn(X)二 f(X)-巳(刈二fW)()(n-)!(D)f (X, Xo,Xi,X2,，Xn)(x Xo)(xXi)(X X2)-(XXn- i)(x Xn)答案：(A) , (D)。見(jiàn)教材有關(guān)公式第四章典型例題例1試確定求積公式f(x)dx ： f (丄) f (丄)的代數(shù)精度。V3 V3依定義，對(duì)xk(k=0,1,2,3,)，找公式精確成立的k數(shù)值解 當(dāng)f(x)取1, x, x2,時(shí)，計(jì)算求積公式何時(shí)精確成立。(1)取 f(x)=1,有左邊= f(x)dx 二】dx 二:,右邊=f( 一)f (一) = 11 = .JV3 y/3(2)取 f(x)=x,有左邊=：f (x)dx

9、二工dx =,右邊=f (-1-1f ()二一二匚(3)取 f(x)=x2,有左邊=右邊= f(_ Jf(4) 取 f (x)=x3,有左邊=f(x)dx 二 xNx,右邊=f(rL) f( -)(丄)' = . JJV3 V3心 V3(5) 取 f(x)=x4,有11 t 1左邊二.f(x)dx = x dx -114右邊=f(173)f(.J(當(dāng)k：3求積公式精確成立，而 x4公式不成立，可見(jiàn)該求積公式具有3次代數(shù)。例5試確定求積公式hf (x)dx ： f(0) f (h) ah2 f(0) - f (h)中的參數(shù)a, 0 2并證明該求積公式具有三次代數(shù)精度。解 公式中只有一個(gè)待

10、定參數(shù)a。當(dāng)f(x)=1,x時(shí)，有hjd-i 1 0,即 h=hhhn八 h2h2xldx 0 h ah2(1 -1),- 0 2 2 2不能確定a,再令f(x)=x2,代入求積公式，得到h332ah332hhh2.求積公式為f(x)dx：hf(O) f(h)丄f(O)f(h)10212將f (x)= x3代入上求積公式，有3 h 2 h 22h3x2dx0 h2 ah2 (2 0 2h),即 =0231得a = 12可見(jiàn)，該求積公式至少具有三次代數(shù)精度。再將f(x)=x4代入上公式中,所以該求積公式具有三次代數(shù)精度。例6選擇填空題1.牛頓-科茨求積公式與高斯型求積公式的關(guān)鍵不同點(diǎn)是 。解答：

11、牛頓-科茨求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)確定后，再估計(jì)其精度； 高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)。第五章典型例題例1證明方程1 -x sin x= 0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不超過(guò)0.5 x 10 4的根要迭代多少次？證明令 f (x) = 1 x sin xv f (0)=1>0 , f (1)= sin 1<0二 f (x)=1 x sin x=0在0 , 1有根。又f ：(x)=1 cosx>0(x：0, 1),故 f (x) = 0 在區(qū)間0 , 1內(nèi)有唯一實(shí) 根。給定誤差限0.5 x 10 4,有只要取n= 14。例2用迭代法求方程x5 4x 2

12、 = 0的最小正根。計(jì)算過(guò)程保留4位小 數(shù)。分析容易判斷1，2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式 x=&,即®(x)=汪三qr(x) = 士：迂(1,3)，此時(shí)迭代發(fā)散。444建立迭代格式 x=5/4x+2,®(x)=4x+2, A(x) =,4=/(1 蘭x 蘭 2)，此時(shí)迭5#(4x+2)45代收斂。解建立迭代格式p"(x)=c(im),取初始值x°=i(可任取1，2之間的值)5*4x+2)45x 八 x= "1.431 0 x、- ：" x 二'.31.505 1x ；八 x = “；* 1.516 5 x ： -

13、 ：二'.：*； 1.518 2x、=:x ：二=?= 1.5185取 x 1.5185例3試建立計(jì)算?a的牛頓迭代格式，并求二.-的近似值，要求迭 代誤差不超過(guò)105分析首先建立迭代格式。確定取幾位小數(shù)，求到兩個(gè)近似解之差的絕 對(duì)值不超過(guò)10 5。解令x = -：a, f (x) =x a =，求x的值。牛頓迭代格式為迭代誤差不超過(guò)10 5，計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留小數(shù)點(diǎn)后6位。當(dāng) x=7 或 8 時(shí)，x3=343 或 512， f ( ) f ( P 而f()f ( 0,取 x°=8,有X X旦二 一 二.? 7.478 078X-；3s <-XX.7.439 956X. - i；-x.7.439760.：-乂 .：,：. ：,m 'x 干.：.；7.439760于是，取 X 7.439760例4用弦截法求方程2 1 = 0,在x=1.5附近的根。計(jì)算中保留5位小數(shù)點(diǎn)。分析先確定有根區(qū)間。再代公式。解 f(x)= X3 X2 1, f(1)= 1, f (2)=3，有根區(qū)間取1,2取xi=1,迭代公式為X7f(Xn)f(Xf(xJXn-X(n=1,2,)1 jS 1 *當(dāng)？ 一 1"二C)“37662二一二一二J.j"48881(y 二)1.463481.：二人-.-. c 一八弋-(-. _，一、_-.