北京市西城區(qū)高三數(shù)學(xué)第二學(xué)期期中抽樣測試

1、北京市西城區(qū)高三數(shù)學(xué)第二學(xué)期期中抽樣測試（理科） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是（ ）a. b. c. d. 2. 函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)椋?）a. b. c. d. 3. 若雙曲線的離心率是，則實(shí)數(shù)的值是（ ）a. b. c. d. 4. 函數(shù)的最小正周期是（ ）a. b. c. d. 5. 下列四個(gè)正方體圖形中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出 平面的圖形的序號(hào)是（ ） a. 、 b. 、 c. 、 d. 、 6. 若集合，則“”是“”的（ ）a. 充分但不必要條件 b. 必要但不充分條件 c.

2、 充要條件 d. 既不充分又不必要條件7. 設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且是奇函數(shù) . 若曲線的一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）a. b. c. d. 8. 設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域是，若中的整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）共有個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .9. 已知是公比為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則_ . 10. 在的展開式中，的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)_ .11. 人排成一排照相，要求甲不排在兩端，不同的排法共有 種. (用數(shù)字作答)12. 已知三點(diǎn)在球心為，半徑為3的球面上，且?guī)缀误w為正

3、四面體，那么兩點(diǎn)的球面距離為_；點(diǎn)到平面的距離為_ .13. 已知兩點(diǎn)，若拋物線上存在點(diǎn)使為等邊三角形，則_ .14. 已知點(diǎn)是的重心，那么_；若，則的最小值是_ . 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分12分）在中，.（）求角；（）設(shè)，求的面積.16. （本小題滿分13分）盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球. 規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得分 . 現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球.（）求取出的3個(gè)球顏色互不相同的概率；（）求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；（）設(shè)為取出的3

4、個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面. （）求證：； （）求二面角的大?。唬ǎ┣螽惷嬷本€和所成角的大小. 18.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（）求的最小值；（）若對所有都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.（本小題滿分14分）已知定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；（）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.20.（本小題滿分14分）數(shù)列中， (為常數(shù)，) ，且（）求的值；（） 證明：； 猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）； （）比較與的大小，并加

5、以證明. 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 1. b 2. a 3. b 4. c 5. b 6. a 7. d 8. c二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 9. 或 10. 11. 12. ； 13. 或 14. ；注：兩空的題目，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分；兩解的題目少一解給2分，有錯(cuò)解不給分.三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 15.（本小題滿分12分）（）解：由， 得， 所以 . 3分因?yàn)椋?. 6分且， 故 . 7分（）解：根據(jù)正弦定理得， . 10分所以的面積為 . 12分16. （本小

6、題滿分13分）（）解：記 “取出1個(gè)紅色球，1個(gè)白色球，1個(gè)黑色球”為事件， 則 . . 3分（）解：記 “取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事件，“取出2個(gè)紅色球， 1個(gè)黑色球”為事件，則 . . 6分（）解：可能的取值為. . 7分， ， . . 11分的分布列為:0123 . 12分的數(shù)學(xué)期望. . 13分17.（本小題滿分14分）解法一：（）證明： 平面平面，平面平面，且， . . 2分平面 ， .又 . . 4分（）解：作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié). 平面平面， ， 根據(jù)三垂線定理得 ，是二面角的平面角. . 6分設(shè)， .， ， . 8分即二面角的大小是. . 9分（）解：在底面內(nèi)分別過作的平行線

7、，交于點(diǎn)，連結(jié).則是異面直線和所成的角或其補(bǔ)角. . 11分， ，.易知底面為矩形，從而，在中， . 13分 異面直線和所成角的大小為. . 14分解法二：作于點(diǎn)， 平面平面，平面.過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn).如圖，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系 . . 2分. .，. . 4分（）證明： . 又 . . 7分（）解：作于點(diǎn)，連結(jié).平面， 根據(jù)三垂線定理得 ，是二面角的平面角. . 8分在中， ， 從而， . 10分即二面角的大小是. . 11分（）解：， 異面直線和所成角的大小為. . 14分18.（本小題滿分13分）（）解：的定義域?yàn)椋?. 1分 的導(dǎo)數(shù). . 3分令，解得

8、；令，解得.從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. . 5分所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值. . 6分（）解：解法一：令，則， . 8分 若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，即. . 10分 若，方程的根為 ，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù).所以，時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾. . 12分綜上，滿足條件的的取值范圍是. . 13分解法二：依題意，得在上恒成立，即不等式對于恒成立 . . 8分令， 則. . 10分當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?故是上的增函數(shù)， 所以 的最小值是， . 12分從而的取值范圍是. . 13分19.（本小題滿分14分）（）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入， 消去整理得 . 2分設(shè) 則 .

9、4分由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是， 得，解得，適合. . 5分所以直線的方程為 ，或 . . 6分（）解：假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù). 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由（）知 所以 . 8分將代入，整理得 注意到是與無關(guān)的常數(shù)， 從而有， 此時(shí) . 11分 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時(shí)， 亦有 . 13分綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù). . 14分20.（本小題滿分14分）（）解：依題意，由，得，解得，或（舍去）. . 3分（）解： 證明：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，?() . . 5分 數(shù)列有極限， . 6分 且 . . 7分 （）解：由，可得，從而.因?yàn)椋?所以. 9分因?yàn)?，由（?

10、得 (). 下面證明：對于任意，有成立. 當(dāng)時(shí)，由，顯然結(jié)論成立.假設(shè)結(jié)論對時(shí)成立，即因?yàn)?，且函?shù)在時(shí)單調(diào)遞增， 所以.即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立. 于是，當(dāng)時(shí)，有成立. 根據(jù)得 . . 12分由 及， 經(jīng)計(jì)算可得所以，當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，由， 得. . 14分昌平區(qū)數(shù)學(xué)第二學(xué)期高三第二次統(tǒng)練 試 卷（理科） 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第卷1至2頁，第卷3至9頁，共150分考試時(shí)間120分鐘第卷（選擇題 共40分）一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)，并將答案填在題后的答題表中)1 已知向量a, b,且a +b與

11、2a -b平行，則實(shí)數(shù)的值是a6b6c4d 42函數(shù)的最小正周期為ab cd 3若二項(xiàng)式的展開式的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n的值為a6b10c12d154設(shè)集合，則“”是 “”的 a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件5. 在等比數(shù)列 的值為a b c d6下列四個(gè)正方體中，直線是正方體的一條對角線，點(diǎn)、分別為其所在棱的中點(diǎn)，不能得出平面的是 a. b. c. d.7在中，且滿足條件，則頂點(diǎn)的軌跡方程是a b. c d.8在一次臺(tái)球比賽中，兩名選手約定：以先贏6局為勝.后比賽因故中斷，不能進(jìn)行，此時(shí)選手甲贏得5局比賽，選手乙贏得2局.試問總獎(jiǎng)金兩名

12、選手應(yīng)按如下哪種比例分配才合理？a5：2 b.10：1 c.15：1 d.4：1第一大題（選擇題）答題表題號(hào)12345678選項(xiàng)昌平區(qū)20072008學(xué)年第二學(xué)期高三第二次統(tǒng)練數(shù) 學(xué) 試 卷（理科） 2008.5第卷（共110分）注意事項(xiàng)：1 用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上2 答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚題號(hào)一二三總分151617181920得分二、 填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分請把答案填在題中橫線上)9若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) 10已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則 11已知向量a與b都是單位向量，它們的夾角為120°，且|a +b|，則實(shí)數(shù)的值是 12.市內(nèi)

13、某公共汽車站有10個(gè)候車位（排成一排），現(xiàn)有4名乘客隨便坐在某個(gè)座位上候車，則恰好有5個(gè)連續(xù)空座位的候車方式共有_種.13. 在正三棱錐中，分別是側(cè)棱的中點(diǎn)，若截面?zhèn)让?，則此三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值是 .14下列命題：要得到函數(shù)y=sin()的圖象，只需將函數(shù)y=sin的圖象向右平移個(gè)單位;函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)的定義域?yàn)閞,則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則.其中正確命題的序號(hào)是_.三、解答題(本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)在中，分別是角所對的邊， .（）判斷的形狀；（）若，求的面積.16

14、(本小題滿分13分)一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)6位的二進(jìn)制數(shù)，其中的各位數(shù)字中，出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為.例如：，其中，記.當(dāng)啟動(dòng)儀器一次時(shí)，（）求的概率；（）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.17. (本小題滿分14分)如圖，正三棱柱的底面邊長的3，側(cè)棱=是延長線上一點(diǎn)，且. （）求證：直線 /平面； （）求二面角的大??； （）求三棱錐的體積.18(本小題滿分14分)已知函數(shù).（）若過兩點(diǎn)o(0,0)、的中點(diǎn)作與x軸垂直的直線，此直線與函數(shù)的圖像交于點(diǎn).求證：函數(shù)在點(diǎn)p處的切線過點(diǎn)b(b,0);（）若a=b(a>0)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19(本小題滿分13分

15、)已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是，其左、右頂點(diǎn)分別是，雙曲線的一條漸近線方程為.（）求橢圓的方程；（）在第一象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于點(diǎn)，連結(jié)并延長交橢圓于點(diǎn)，若，求證：.20(本小題滿分14分)已知函數(shù).(i) 討論函數(shù)的單調(diào)性；(ii) 是偶數(shù)時(shí)，正項(xiàng)數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；（iii） 是奇數(shù)，時(shí)，求證：.數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（理）2一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)題號(hào)答案（d）（b）（c）（a）（d）（b）（c）（b）二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)9、1 10、 11、 2或-112、480 13、 14、.三、解答題(本大題共6小題，共80

16、分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)(本小題滿分12分)解：（i），.3分 在中，c=b，即為等腰三角形6分（2）c=b .12分(本小題滿分13分)(i) 解：（1）設(shè)時(shí)為事件a，即中恰有一位數(shù)字1.則.5分(ii) 可能取值為2、3、4、5、6的分布列為23456.13分 (本小題滿分14分)（）證明：cd/c1b1，又bd=bc=b1c1， 四邊形bdb1c1是平行四邊形， bc1/db1.又db1平面ab1d，bc1平面ab1d，直線bc1/平面ab1d.4分（）解：過b作bead于e，連結(jié)eb1，b1b平面abd，b1ead ，b1eb是二面角b1adb的平面角，6分bd=bc

17、=ab， e是ad的中點(diǎn)， 在rtb1be中， b1eb=60°.即二面角b1adb的大小為60°.9分 （）解法一：過a作afbc于f，b1b平面abc，平面abc平面bb1c1c，af平面bb1c1c，且af為點(diǎn)a到平面bb1c1的距離11分af= 即三棱錐c1abb1的體積為.14分 解法二：在三棱柱abca1b1c1中， 即三棱錐c1abb1的體積為.14分 (本小題滿分14分)解：（i）由已知所求切線斜率為在點(diǎn)p處的切線方程為.4分令y=0,解得x=b.所以函數(shù)，在點(diǎn)p處的切線過點(diǎn)b（b,0）.6分 （ii）因?yàn)?，所求a>0時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。10分所以，根據(jù)題意有解之得，14分 (本小題滿分13分)解：(1) 橢圓的準(zhǔn)線方程為，.又因雙曲線的漸近線方程為，.橢圓的