學好完全平方公式的三點提示

1、學好完全平方公式的三點提示完全平方公式是兩個形式相同的多項式相乘得到的公式，它的應用十分廣泛，是教材中的重點和難點那么如何掌握完全平方公式呢?下面給予三點提示，供參考一、意義特征要牢記1、完全平方公式：（1）(a+b)2=a2+2ab+b2 ；（2）(a-b)2=a2-2ab+b2 2、文字描述：這兩個公式的左邊是一個二項式的完全平方，右邊是三項式，而且每一項都是二次式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，而第三項是左邊二項式中兩項乘積的2倍（或-2倍）可用以下口訣來記憶：“頭平方和尾平方，頭（乘）尾兩倍在中央，中間符號是一樣”這里的“頭”指的是a，“尾”指的是b這兩個公式實質(zhì)上是統(tǒng)一的

2、，即都是二項式的平方展開式其中第一個公式是基本的，第二個公式可由第一個公式導出如：（a-b）2=a+（-b）2=a2+2a（-b）+（-b）2= a2-2ab+b23、完全平方公式的幾何意義 在圖1中，大正方形的面積是(a+b)2，它等于兩個小正方形的面積a2、b2及兩個等積的長方形面積ab的和，因此有(a+b)2=a2+2ab+b2在圖2中，大正方形的面積是a2，它等于兩個小正方形的面積b2、(a-b)2及兩個等積的長方形面積(a-b)b的和，因此有(a-b)2=a2-2(a-b)b-b2= a2-2ab+b2二、兩個公式的區(qū)別要清楚在運用完全平方公式時，經(jīng)常會出現(xiàn)類似于(a+b)2=a2+

3、b2、(a-b)2=a2 -b2的錯誤要注意從以下幾個方面進行區(qū)別：（1）意義不同：(a+b)2表示數(shù)a與數(shù)b和的平方，(a-b)2表示數(shù)a與數(shù)b差的平方；而a2+b2表示數(shù)a的平方與數(shù)b的平方和，a2-b2表示數(shù)a的平方與數(shù)b的平方差（2）讀法不同：(a+b)2讀作兩數(shù)a、b和的平方，(a-b)2讀作兩數(shù)a、b差的平方；而a2+b2讀作兩數(shù)a、b平方的和，a2-b2讀作兩數(shù)a、b平方的差（3）運算順序不同：(a+b)2的運算順序是先算a+b，然后再算和的平方，(a-b)2的運算順序是先算a-b，然后再算差的平方；而a2+b2是先算a2與b2，再求和a2+b2，a2-b2是先算a2與b2，再求

4、差a2-b2（4）一般情況下它們的值不相等：如當a=2，b=1時，(a+b)2=(2+1)2= 32=9，(a-b)2=(2-1)2=12=1；而a2+b2= 22+12=5，a2-b2= 22-12=3三、應用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式，還可以表示多項式及各種代數(shù)式應用時要認真觀察題目是否符合公式的特征和條件，變形后是否符合公式的特征和條件，若符合，再把公式中的字母同具體題目中的數(shù)或式對照，再逐項對照著計算；若不符合就不能應用公式要搞清楚公式中各項的符號，靈活地進行公式的各種變形應用例1、計算分析：把看成a，看成b，原式即為兩項差的平方，然后套用完全平方

5、差公式解：=+（）2=例2、計算：（a-2b-c）2分析：可以把（a-2b）看作公式中a，把c看作公式中的b，然后套用完全平方差公式解：說明：本題還可以進行如下變形：或完全平方公式應用錯例分析完全平方公式是乘法公式中的重要組成部分，它能幫助同學們簡捷、靈活的完成整式的乘法運算，但在運用公式解題的過程中，卻經(jīng)常出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，現(xiàn)將典型錯例進行評析一、漏掉“中間項”例1 計算：(a+3)2錯解：(a+3)2=a2+9 分析：完全平方公式的結(jié)果有三項：首平方，末平方，乘積的2倍寫中央因此，運用公式時不要漏掉乘積項不能將完全平方公式與平方差公式混淆正解：(a+3)2=a2+6a+9二、“中間項”

6、漏乘2例2 計算（2y+）2錯解：（2y+）2 = 4y2+2y×+分析：沒有理解完全平方公式的中間項“2ab”中2的意義，2y中的2表示首項的一部分，不是乘積的2倍防止發(fā)生這樣錯誤的關(guān)鍵是要將題目中項與公式中的項進行對應，一定要找準哪個代表字母a，哪個代表字母b正解：（2y+）2 = 4y2+22y+4y2+2y+三、“”處理錯誤例3 計算(-t-1) 2錯解：(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1分析：本題可以看成首項-t與末項1的差的平方，應把-t看做一個整體正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12t

7、22t+1.四、系數(shù)未平方例4 計算(3x-2y) 2錯解：(3x-2y) 2=3x2-12xy+2y2分析：首項3x與末項2y都應看成一個整體進行平方正解：(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x2-12xy+4y2把析x-2y)=3x-12xy+2y五、問題考慮不全面例5 已知x2-2mx+1是一個完全平方式，則m= 錯解：因為121由乘積項2mx=2x×1得m=-1分析：錯解忽略了另一種情況：因為(-1) 2=1，由2mx=2x ×(-1)得m=1，所以m=±1.正解：m=±1.六、運算順序錯誤例6 計算2(a-) 2錯解

8、：2(a-) 2=(2a-b) 2分析：由乘方的定義知：2(a-) 2=2(a-)(a-)=(2a-b) (a-)，這與(2a-b) 2的結(jié)果是不相等的因此，應按照運算順序先算乘方，再算乘除進行化簡正解：2(a-) 2=2(a2-ab+b2)=2a2-2ab+b2.總之，運用完全平方公式進行整式的運算時，應牢固掌握公式的實質(zhì)，并與其它相關(guān)法則、運算順序有機的結(jié)合，才能簡便、準確地進行整式的運算完全平方公式學習導航湖北 吳育弟1.完全平方公式有兩個：,.即，兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個數(shù)的積的2倍.這兩個公式叫做完全平方公式.它們可以合寫在一起，為.記憶口訣

9、：“首平方、尾平方，倍乘積在中央”.2.公式的條件是：兩數(shù)和的平方或兩數(shù)差的平方.3.公式的結(jié)果是：這兩數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)積的倍.4.公式的特征是：左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上（這兩項相加時）或減去（這兩項相減時）這兩項乘積的倍.公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)或負數(shù)），也可以表示單項式或多項式等代數(shù)式.只要符合這一公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運用這一公式. 5. 完全平方公式的幾何意義如圖1，大正方形的面積可以表示為，也可以表示為，同時.從而驗證了完全平方公式.6.完全平方公式重難點    重點1 

10、;   （1）公式右邊是這兩個數(shù)的平方和與這兩個數(shù)乘積的倍的和（差）。（2）的計算，可以看做是，由多項式與多項式的乘法展開、合并同類項，可以得到公式。（3）而可以看做是，可以由兩數(shù)和的平方公式得到。重點2  完全平方公式的靈活應用    （1）    （2）    （3）    （4）    難點  三個或三個以上數(shù)的完全平方公式，可以先把一個看做一個整體，剩余部分看做一個整體，逐步利用完全平方公

11、式。如可以把看做一個整體，看做一個整體，利用完全平方公式.7. 在使用完全平方公式時應注意以下幾點：（1）千萬不要發(fā)生類似的錯誤；（2）不要與公式混淆；（3）切勿把“乘積項”中的漏掉；（4）計算時，應先觀察所給題目的特點是否符合公式的條件，如符合，則可以直接套用公式進行計算；如不符合，應先變形為公式的結(jié)構(gòu)特點，再利用公式進行計算，如變形后仍不具備公式的結(jié)構(gòu)特點，則應運用乘法法則進行計算.8.在使用完全平方公式時易錯點易錯點1  公式中含有常系數(shù). 若中含有常系數(shù)，要將其看做一個整體，例如    易錯點2  公式中含有符號.尤其公式中有一項為負數(shù)

12、時，可將負號看做是系數(shù)為，按照易錯點思維突破解決。完全平方公式“學”與“用”完全平方公式是一組重要的乘法公式，是今后常用的數(shù)學工具，它的應用也非常廣泛本文從以下幾個方面剖析完全平方公式，以幫助同學們理解、掌握和靈活應用這個公式一、 注意公式的幾何意義ababbbaaa圖圖如圖（），大正方形面積為是兩個小正方形的面積、之和，再加上兩個長方形的面積2ab，即得如圖（），把看作大正方形的面積減去兩個有斜線的長方形面積之和2ab，這樣就多減去斜線重合部分的小正方形的面積，在把它補上，即二、注意公式的結(jié)構(gòu)特征掌握公式的結(jié)構(gòu)特點是正確使用公式的前提完全平方公式的特征：左邊是兩數(shù)和（或差）的平方和，加上（或

13、減去）它們積的倍，公式等號左右兩邊符號是一致可以簡記為“右邊展開后的項數(shù)為三項，即前平方（），后平方（），二倍之積在中央（2ab）”希同學們熟記這一結(jié)構(gòu)特征三、注意公式的正確性要理解掌握公式之間的異同點，既要正確理解課本對每個公式的推導依據(jù)，每一個公式的作用，同時也要明白每個公式的語言表達方式、結(jié)構(gòu)形式，以及掌握課本對公式的幾何推導法，避免出現(xiàn)以下錯誤，如，等等四、注意公式的代表性和廣泛性完全平方公式是具有共同特征的某一類運算的概括總結(jié)，因而具有代表性，同時由于公式中字母代表的廣泛含義，因而使完全平方公式具有廣泛性如字母不但可表示具體的數(shù)，還可表示單項式或多項式等代數(shù)式例計算：說明：本題還可以進行如下變形：或五、注意公式之間的聯(lián)系公式：，公式：兩式相加，得：即，兩式相減，得：，即六、注意公式的變形根據(jù)題意要善于對公式變形應用，在解題中充分體現(xiàn)應用公式的思維靈活性和開闊性完全平方公式常用的變化形式有：；同學們在運用公式時，不應拘泥于公式的形式，而要深刻理解、靈活應用例已知a+