高考解析幾何壓軸題精選含答案教學(xué)專題

1、1. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在拋物線上，則到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_。（3分）2 .已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn). （）當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的重心分別為.若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（6分）3已知以原點(diǎn)o為中心，為右焦點(diǎn)的雙曲線c的離心率。（i） 求雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（ii） 如題（20）圖，已知過(guò)點(diǎn)的直線與過(guò)點(diǎn)（其中）的直線的交點(diǎn)e在雙曲線c上，直線mn與兩條漸近線分別交與g、h兩點(diǎn)，求的面積。（8分） 4.如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.一等軸

2、雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（7分）5.在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為a、b，右焦點(diǎn)為f。設(shè)過(guò)點(diǎn)t（）的直線ta、tb與橢圓分別交于點(diǎn)m、，其中m>0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)p滿足,求點(diǎn)p的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)t的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線mn必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。（6分）6如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f，動(dòng)點(diǎn)p在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)p作拋物線c的兩條切線pa、pb，且與拋物線c分別相

3、切于a、b兩點(diǎn).（1）求apb的重心g的軌跡方程.（2）證明pfa=pfb.（6分）7設(shè)a、b是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)n（1，3）是線段ab的中點(diǎn)，線段ab的垂直平分線與橢圓相交于c、d兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，并求直線ab的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得a、b、c、d四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由. （此題不要求在答題卡上畫圖）（6分）8如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)f1，f2在x軸上，長(zhǎng)軸a1a2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為m，|ma1|a1f1|21 ()求橢圓的方程； ()若點(diǎn)p為l上的動(dòng)點(diǎn)，求f1pf2最大值（6分）9設(shè)f1，f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是橢圓上的點(diǎn)，且|pf1

4、| : |pf2|2 : 1，則三角形pf1f2的面積等于_（3分）10在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定兩點(diǎn)m（1，2）和n（1，4），點(diǎn)p在x軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為_。（3分）11若正方形abcd的一條邊在直線上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上.則該正方形面積的最小值為 .（3分）12已知：和：。試問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，對(duì)任意一點(diǎn)p，均存在以p為頂點(diǎn)、與外切、與內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。（4分）13 設(shè)曲線c1:(a為正常數(shù))與c2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個(gè)公共點(diǎn)p。（1）實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；（2）o為原點(diǎn)，若c1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)a，當(dāng)0&

5、lt;a<時(shí)，試求oap的面積的最大值（用a表示）。（5分）14已知點(diǎn)和拋物線上兩點(diǎn)使得，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍（4分）15一張紙上畫有半徑為r的圓o和圓內(nèi)一定點(diǎn)a，且oaa. 拆疊紙片，使圓周上某一點(diǎn)a/ 剛好與a點(diǎn)重合，這樣的每一種拆法，都留下一條直線折痕，當(dāng)a/取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合（6分）16（04，14）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點(diǎn)，點(diǎn)p到直線bc的距離是該點(diǎn)到直線ab，ac距離的等比中項(xiàng)。（）求點(diǎn)p的軌跡方程；（）若直線l經(jīng)過(guò)的內(nèi)心（設(shè)為d），且與p點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求l的斜率k的取值范圍。（5分）17過(guò)拋物線上的一點(diǎn)a（1,1）作拋物

6、線的切線，分別交軸于d，交軸于b.點(diǎn)c在拋物線上，點(diǎn)e在線段ac上，滿足;點(diǎn)f在線段bc上，滿足，且，線段cd與ef交于點(diǎn)p.當(dāng)點(diǎn)c在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)p的軌跡方程.（6分）18參數(shù)方程練習(xí)題（13分）1.直線的參數(shù)方程是（ ）。a. b. c. d. 2.方程表示的曲線是（ ）。a.一條直線 b.兩條射線 c.一條線段 d.拋物線的一部分3.參數(shù)方程（為參數(shù)）化為普通方程是（ ）。a. b. c. d. 4.直線l：與曲線c：相交，則k的取值范圍是（ ）。a. b. c. d. 但5.圓的方程為，直線的方程為，則直線與圓的位置關(guān)系是（ ）。a.過(guò)圓心 b.相交而不過(guò)圓心 c.相切 d.相離

7、0xy0xy0xy0xy6.參數(shù)方程（為參數(shù)）所表示的曲線是（ ）。a b c d7.曲線c：（為參數(shù)）的普通方程為 ；如果曲線c與直線有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為 。8（2011廣東）已知兩曲線參數(shù)方程分別為和(t)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為 。9已知x、y滿足，求的最大值和最小值。答案：1. 解析：利用拋物線的定義結(jié)合題設(shè)條件可得出p的值為，b點(diǎn)坐標(biāo)為（）所以點(diǎn)b到拋物線準(zhǔn)線的距離為，本題主要考察拋物線的定義及幾何性質(zhì)，屬容易題 2.（）解：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以,得，又因?yàn)?，所以，故直線的方程為。（）解：設(shè)。 由，消去得 則由，知，且有。由于，故為的中點(diǎn)，由，可知設(shè)是的中點(diǎn)，則，由題意可知即而

8、所以即又因?yàn)榍宜?。所以的取值范圍是?【解析】（）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。45.（1）設(shè)點(diǎn)p（x，y），則：f（2，0）、b（3，0）、a（-3，0）。由，得 化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)p的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：m（2，）、n（，）直線mta方程為：，即，直線ntb 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)t的坐標(biāo)為。（3）點(diǎn)t的坐標(biāo)為直線mta方程為：，即，直線ntb 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。（

9、方法一）當(dāng)時(shí)，直線mn方程為： 令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)d（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線mn方程為：，與x軸交點(diǎn)為d（1，0）。所以直線mn必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)d（1，0）。6（1）設(shè)切點(diǎn)a、b坐標(biāo)分別為，切線ap的方程為： 切線bp的方程為：解得p點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以apb的重心g的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)p在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心g的軌跡方程為： （2）方法1：因?yàn)橛捎趐點(diǎn)在拋物線外，則同理有afp=pfb.7（）解法1：依題意，可設(shè)直線ab的方程為，整理得 設(shè)是方程的兩個(gè)不同的根， 且由n（1，3）是線段ab的中點(diǎn)，得 解得k=1，代入得，的取值范圍是（12，+）. 于是，直線ab的方程為 解法2：設(shè)則

10、有 依題意，n（1，3）是ab的中點(diǎn)， 又由n（1，3）在橢圓內(nèi)，的取值范圍是（12，+）.直線ab的方程為y3=（x1），即x+y4=0. （）解法1：cd垂直平分ab，直線cd的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得 又設(shè)cd的中點(diǎn)為是方程的兩根，于是由弦長(zhǎng)公式可得 將直線ab的方程x+y4=0，代入橢圓方程得 同理可得 當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在>12，使得a、b、c、d四點(diǎn)共圓，則cd必為圓的直徑，點(diǎn)m為圓心.點(diǎn)m到直線ab的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當(dāng)>12時(shí)，a、b、c、d四點(diǎn)勻在以m為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）a、

11、b、c、d共圓acd為直角三角形，a為直角|an|2=|cn|·|dn|，即 由式知，式左邊由和知，式右邊式成立，即a、b、c、d四點(diǎn)共圓.解法2：由（）解法1及>12,cd垂直平分ab， 直線cd方程為，代入橢圓方程，整理得 將直線ab的方程x+y4=0，代入橢圓方程，整理得 解和式可得 不妨設(shè)計(jì)算可得，a在以cd為直徑的圓上.又b為a關(guān)于cd的對(duì)稱點(diǎn)，a、b、c、d四點(diǎn)共圓.（注：也可用勾股定理證明acad）8解：()設(shè)橢圓方程為，半焦距為，則()8.90º 9.10.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)及焦矩分別為2a、2b、2c，則由其方程知a3，b2，c，故，|pf1|p

12、f2|2a6，又已知pf1|：|pf2|2：1，故可得|pfl|4，|pf2|2在pflf2中，三邊之長(zhǎng)分別為2，4，2，而2242(2)2，可見pflf2是直角三角形，且兩直角邊的長(zhǎng)為2和4，故pflf2的面積411. 解：經(jīng)過(guò)m、n兩點(diǎn)的圓的圓心在線段mn的垂直平分線y=3x上，設(shè)圓心為s（a，3a），則圓s的方程為：對(duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，經(jīng)過(guò)m，n，p三點(diǎn)的圓s必與x軸相切于點(diǎn)p，即圓s的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=7。即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為，而過(guò)點(diǎn)m，n，的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)m，n，p的圓的半徑，所以，故點(diǎn)p（1，0）為所

13、求，所以點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為1。12.解：設(shè)正方形的邊ab在直線上，而位于拋物線上的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為、，則cd所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得令正方形邊長(zhǎng)為則在上任取一點(diǎn)（6，,5），它到直線的距離為.、聯(lián)立解得或13.利用極坐標(biāo)解決：以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為-（1）顯知此平行四邊形abcd必為菱形，設(shè)a，則b代入（1）式相加：由于該菱形必與單位圓相切，故原點(diǎn)到ab的距離為1，從而，14. 解：(1)由 消去y得： 設(shè)，問(wèn)題(1)化為方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需討論以下三種情況： 1°0得：，此時(shí)xpa2，當(dāng)且僅當(dāng)aa2a，即0

14、a1時(shí)適合； 2°f (a)f (a)0，當(dāng)且僅當(dāng)ama； 3°f (a)0得ma，此時(shí)xpa2a2，當(dāng)且僅當(dāng)aa2a2a，即0a1時(shí)適合 f (a)0得ma，此時(shí)xpa2a2，由于a2a2a，從而ma 綜上可知，當(dāng)0a1時(shí)，或ama； 當(dāng)a1時(shí)，ama (2)oap的面積 0a，故ama時(shí)，0a， 由唯一性得 顯然當(dāng)ma時(shí)，xp取值最小由于xp0，從而yp取值最大，此時(shí)， 當(dāng)時(shí)，xpa2，yp，此時(shí) 下面比較與的大?。?令，得 故當(dāng)0a時(shí)，此時(shí) 當(dāng)時(shí)，此時(shí) 15.解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為顯然，故由于，所以從而，消去，注意到得：由解得：或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

15、均滿足是題意故點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是或16.解：如圖，以o為原點(diǎn)，oa所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則有a(a，0)設(shè)折疊時(shí)，o上點(diǎn)a/()與點(diǎn)a重合，而折痕為直線mn，則 mn為線段aa/的中垂線設(shè)p(x，y)為mn上任一點(diǎn)，則pa/pa5分即10分 可得：1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化為1，即所求點(diǎn)的集合為橢圓圓1外(含邊界)的部分20分17. 解：（）直線ab、ac、bc的方程依次為。點(diǎn)到ab、ac、bc的距離依次為。依設(shè)，即，化簡(jiǎn)得點(diǎn)p的軌跡方程為圓s： （）由前知，點(diǎn)p的軌跡包含兩部分圓s： 與雙曲線t：因?yàn)閎（1，0）和c（1，0）是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)

16、b和點(diǎn)c在點(diǎn)p的軌跡上，且點(diǎn)p的軌跡曲線s與t的公共點(diǎn)只有b、c兩點(diǎn)。的內(nèi)心d也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由，解得，且知它在圓s上。直線l經(jīng)過(guò)d，且與點(diǎn)p的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，l的斜率存在，設(shè)l的方程為（i）當(dāng)k=0時(shí)，l與圓s相切，有唯一的公共點(diǎn)d；此時(shí)，直線平行于x軸，表明l與雙曲線有不同于d的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以l恰好與點(diǎn)p的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。.10分（ii）當(dāng)時(shí)，l與圓s有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí)，l與點(diǎn)p的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況：情況1：直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)b或點(diǎn)c，此時(shí)l的斜率，直線l的方程為。代入方程得，解得。表明直線bd與曲線t有2個(gè)交點(diǎn)b、e；直線cd與曲線t有2個(gè)交點(diǎn)c、f。故當(dāng)時(shí)，l恰好與點(diǎn)p的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。情況2：直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)b和c（即），因?yàn)閘與s有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以l與雙曲線t有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡(jiǎn)得該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是或解方程得，解方程得。綜合得直線l的斜率k的取值范圍是有限集。18.解一：過(guò)拋物線上點(diǎn)a的切線斜率為：切線ab的方程為的坐標(biāo)為是線段ab的中點(diǎn). 設(shè)、，則