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文檔簡介

1、第1頁/共69頁第2頁/共69頁第3頁/共69頁第4頁/共69頁第5頁/共69頁第6頁/共69頁第7頁/共69頁第8頁/共69頁第9頁/共69頁第10頁/共69頁例3.已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm)f(x),求證:2m是f(x)的一個周期.證明:因?yàn)閒(xm)f(x)所以,f(x2m)f(xm)m f(xm) f(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).第11頁/共69頁例4.已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm)f(xm),求證:2m是f(x)的一個周期. 證明:因?yàn)閒(xm)f(xm)令xmt,則xmt2m于是f(t2m)f(t)對于tR恒成立,所以f(x)是以2m為

2、周期的周期函數(shù).第12頁/共69頁例5.已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm),求證:2m是f(x)的一個周期.證明:由已知f(x2m)f(xm)m f(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).第13頁/共69頁例6.已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm) ,求證:4m是f(x)的一個周期.證明:由已知f(x2m)f(xm)m 于是f(x4m) f(x)所以f(x)是以4m為周期的周期函數(shù).第14頁/共69頁例7.已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求證:2|ab|是f(x)的一個周期.(ab)證明:不妨設(shè)ab于是f(x2(ab)f(a(

3、xa2b) f(a(xa2b)f(2bx) f(b(xb)f(b(xb) f(x) 2(ab)是f(x)的一個周期當(dāng)ab時同理可得所以,2|ab|是f(x)的周期第15頁/共69頁例8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镹,且對任意正整數(shù)x,都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004,求f(2004)解:因?yàn)閒(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)兩式相加得0f(x1)f(x2)即:f(x3)f(x) f(x6)f(x)f(x)是以6為周期的周期函數(shù)20046334 f(2004)f(0)2004第16頁/共69頁第17頁/共69頁第18頁/共69頁第19頁/共69頁第20

4、頁/共69頁例10.已知對于任意a,bR,有f(ab)f(ab)2f(a)f(b),且f(x)0求證:f(x)是偶函數(shù);若存在正整數(shù)m使得f(m)0,求滿足f(xT)f(x)的一個T值(T0) 證明:令ab0得,f(0)1(f(0)0舍去)又令a0,得f(b)f(b),即f(x)f(x)所以,f(x)為偶函數(shù)令axm,bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m=f(x2m) f(x) 即T4m(周期函數(shù))第21頁/共69頁例11.數(shù)列an中,a1a,a2b,且an2an1an(nN) 求a100; 求S100. 解:由已知a1a,a

5、2b,所以a3ba,a4a,a5b,a6ab,a7a,a8b,由此可知,an是以6為周期的周期數(shù)列,于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a)第22頁/共69頁例12.對每一個實(shí)數(shù)對x,y,函數(shù)f(t)滿足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,試求滿足f(a)a的所有整數(shù)a.解:令xy0,得f(0)1再令xy1,得f(2)2f(1)2,又f(2)2所以f(1)2又令x1,y1,可得f1令xy1得f2f114令y1,得f(x1)f(x)x2即f

6、(x1)f(x)x2 第23頁/共69頁當(dāng)x取任意正整數(shù)時,f(x1)f(x)0又f10所以f(x)0于是f(x1)f(x)x2x1即對任意大于1的正整數(shù)t,f(t)t在中,令x3,得f(3)1,進(jìn)一步可得f(4)1注意到f(x)f(x1)(x2)所以當(dāng)x4時,f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4時,f(x)x綜上所述,滿足f(a)a的整數(shù)只有a1或a2第24頁/共69頁例13.設(shè)f(x)是一個從實(shí)數(shù)集R到R的一個映射,對于任意的實(shí)數(shù)x,都有|f(x)|1,并且 f(x)+求證:f(x)是周期函數(shù). 證明:由已知f(x)+所以第25頁/共69頁)421x(f)4

7、243x(f)427x(f)4249x(f (2)第26頁/共69頁于是f(x1)f(x)f(x2)f(x1),記這個差為d同理f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)d f(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1) f(x1)f(x)d即是說數(shù)列f(xn)是一個以f(x)為首項(xiàng),d為公差的等差數(shù)列因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)對所有的自然數(shù)n成立,而對于xR,|f(x)|1,即f(x)有界,故只有f(x1)f(x)0即f(x1)f(x) xR所以f(x)是周期為1的周期函數(shù).第27頁/共69頁第28頁/共69頁第29頁/共69頁第30頁/共69頁第31頁/共69頁1.

8、數(shù)列an中,a1a,a2b,且an2an1an(nN)求a100;求S100.解:由已知a1a,a2b,所以a3ba,a4a,a5b,a6ab,a7a,a8b,由此可知,an是以6為周期的周期數(shù)列,于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a) 2ba第32頁/共69頁2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镹,且對任意正整數(shù)x,都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004,求f(2004)解:因?yàn)閒(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)兩式

9、相加得0f(x1)f(x2)即:f(x3)f(x) f(x6)f(x)第33頁/共69頁練習(xí).1.數(shù)列an中,a1a,a2b,且an2an1an(nN)求a100;求S100. 2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镹,且對任意正整數(shù)x,都有f(x)f(x1)f(x1) ,f(0)2004,求f(2004) 3.函數(shù)f(x) 是定義域?yàn)镽且以2為周期的周期函數(shù),當(dāng)x0,2時,f(x)=|x-1|;當(dāng)x2k,2k+2( kZ)時,求f(x)的解析式,并證明f(x)是偶函數(shù)。第34頁/共69頁第35頁/共69頁第36頁/共69頁第37頁/共69頁第38頁/共69頁第39頁/共69頁練習(xí)1已知函數(shù) ,函數(shù)y

10、=g(x)的圖像與y=f -1(x+1)的圖像關(guān)于直線y=x對稱,則g(11)的值為: A B1 C D 2已知定義在R上的函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f -1(x),且函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)為y= f -1(x+1)。若f(1)=3999求f(2000)3.對于任意的 ,函數(shù)f(x)表示 x2-4x+3中的較大者,則求函數(shù)f(x)的解析式及f(x)的最小值. (f(x)min=2)第40頁/共69頁第41頁/共69頁第42頁/共69頁第43頁/共69頁第44頁/共69頁第45頁/共69頁第46頁/共69頁第47頁/共69頁第48頁/共69頁第49頁/共69頁第50頁/共69頁第51頁/共69頁第52頁/共69頁第5

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