函數(shù)極限與連續(xù)01531PPT課件

1、“理解概念、硬記公式、理解概念、硬記公式、 變通技巧、拆分考點變通技巧、拆分考點”“三要訣三要訣”數(shù)字要敏感數(shù)字要敏感眼睛要雪亮眼睛要雪亮題目要練習題目要練習第1頁/共60頁一、考試時間一、考試時間2013年年4月份（月份（2小時）小時）二、考試題型（二、考試題型（24個題目）個題目）150分分選擇題選擇題24分（分（4分分6題）填空題填空題24分（分（4分分6題）計算題計算題64分（分（8分分8題）綜合題綜合題20分（分（10分分2題）證明題證明題18分（分（9分分2題）第2頁/共60頁三、考試內(nèi)容三、考試內(nèi)容第一章第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)、極限、連續(xù)（3個考點）個考點）第二章第二章 一

2、元函數(shù)微分學一元函數(shù)微分學（4個考點）個考點）第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學（4個考點）個考點）第四章第四章 多元函數(shù)微積分學多元函數(shù)微積分學（2個考點）個考點）第五章第五章 微分方程微分方程（3個考點）個考點）第六章第六章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何（2個考點）個考點）第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)（2個考點）個考點）20個個考點考點第3頁/共60頁第一章第一章第二章第二章第三章第三章第四章第四章第五章第五章第六章第六章第七章第七章2011年年 2010年年 2009年年 2008年年4分12分12分20分38分35分29分8分12分12分20分34分40分24

3、分8分12分13分24分39分30分24分8分12分13分24分29分34分30分約占約占65%第4頁/共60頁第一章第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)、極限、連續(xù)第5頁/共60頁一、函數(shù)的基本概念一、函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的定義函數(shù)的定義( )xDyf x 每一個每一個唯一唯一稱稱y是是x的函數(shù)的函數(shù)f自變量自變量對應法則對應法則因變量因變量自變量自變量x的集合的集合D稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的定義域，記作的定義域，記作( )yf xfD因變量因變量y的集合稱為函數(shù)的集合稱為函數(shù) 的值域，記作的值域，記作( )yf xfR第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)函數(shù)第6頁/共60頁1,( ),log ,xaayf xb0a

4、分母要不為0，偶次根式的被開方數(shù)要大于等于0，0b對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0，0 x 應用題要具體分析2.函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域2lg(3)( )54sinxf xxxx例例1-1.求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域.第7頁/共60頁3.函數(shù)的值域（即求最值）函數(shù)的值域（即求最值）已知函數(shù)已知函數(shù)( )yf x（1）求）求00()( )x xf xf x（2）求）求2(1),(),(sin )f xf xfx（3）已知）已知 ，求，求(1)f x( )f x例例1-2.（1）設(shè)設(shè) ，求，求 .（2）已知函數(shù)已知函數(shù) 的定義域是的定義域是 ，求函數(shù)，求函數(shù) 的定義域的定義域.2(1)xxxf eeex

5、( )f x( )f x0,12(1)f x 第8頁/共60頁2abab（4）求最值的三種方法）求最值的三種方法不等式法不等式法配方法配方法求導法求導法2224()24bacbyaxbxca xaa第9頁/共60頁二、六類基本初等函數(shù)二、六類基本初等函數(shù)1.常函數(shù)常函數(shù)2.冪函數(shù)冪函數(shù)yc（C為常數(shù)，圖像為平行于為常數(shù)，圖像為平行于x軸的直線）軸的直線）xc（圖像為平行于（圖像為平行于y軸的直線）軸的直線）2321,yxyxyyxxyaxbxc ykxbyx（ 為一切實數(shù)）為一切實數(shù)）第10頁/共60頁3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xya（a為底數(shù)，為底數(shù)， 且且 ） 0a 1a 4.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)l

6、ogxay （a為底數(shù)，為底數(shù)， 且且 ） 0a 1a （2）所有指數(shù)函數(shù)的圖像都經(jīng)過點（所有指數(shù)函數(shù)的圖像都經(jīng)過點（0,1）（3）當當 時，增函數(shù)；當時，增函數(shù)；當 時，減函數(shù)時，減函數(shù)1a 01a,0 xR y（1）（2）所有對數(shù)函數(shù)的圖像都經(jīng)過點（所有對數(shù)函數(shù)的圖像都經(jīng)過點（1,0）（3）當當 時，增函數(shù)；當時，增函數(shù)；當 時，減函數(shù)時，減函數(shù)1a 01a0,xyR（1）xyelnyx第11頁/共60頁5.三角函數(shù)三角函數(shù)sin, 11cos, 11tan,21cotcottan1secseccos1csccscsinyxxRyyxxRyyxxkyRyxxxyxxxyxxx 第12頁/共

7、60頁222222sincos11tansec1cotcscxxxxxx2222sin22sincoscos22cos112sincossinxxxxxxxx 2sin21sin2xx21 cos2cos2xx第13頁/共60頁6.反三角函數(shù)反三角函數(shù)arcsin11,22arctan,22yxxyyxxy 第14頁/共60頁三、函數(shù)的幾種特殊表達形式三、函數(shù)的幾種特殊表達形式1.分段函數(shù)分段函數(shù)由兩個或兩個以上的分析表達式表示的一個函數(shù)22010 xxyx211sin1xxyxx分段點0的左右兩側(cè)表達式一樣分段點1的左右兩側(cè)表達式不一樣第15頁/共60頁例例1-3.設(shè)設(shè) ，求，求 的定義域，

8、并求的定義域，并求 .102( )224xg xx( )(2 )(1)f xgxg x3( )2f第16頁/共60頁2. 隱函數(shù)隱函數(shù)顯函數(shù)：隱函數(shù)：隱函數(shù)：函數(shù)中函數(shù)中y y可用可用x x的式子表示出來的式子表示出來.但并非所有隱函數(shù)都可以化成顯函數(shù)函數(shù)的函數(shù)的y y與與x x的對應關(guān)系是一個方程的對應關(guān)系是一個方程 表示的表示的.222,log (31)ayxyrxyx2220,1,AxByCxyxyr3210yxyx ( , )0F x y 第17頁/共60頁3. 復合函數(shù)復合函數(shù)( ),( )fgyf u ,uDug x ,xD？( )yf g x條件：條件：gfRD ( )yf g

9、x合合因變量中間變量自變量yux( )yf g x( ),( )yf u ug x分分解解第18頁/共60頁4. 初等函數(shù)初等函數(shù)由由基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)經(jīng)過經(jīng)過有限次四則運算有限次四則運算及及有限次復合有限次復合而得到并且用而得到并且用一個式一個式子子來表達的函數(shù)來表達的函數(shù). .第19頁/共60頁1.增減性增減性四、函數(shù)的性質(zhì)四、函數(shù)的性質(zhì)12( , )xxa b),()(baxxfy任取任取12()(),f xf x( )f x增函數(shù)增函數(shù)( , )a b增區(qū)間增區(qū)間12()(),f xf x( )f x( , )a b減函數(shù)減函數(shù)減區(qū)間減區(qū)間（變量（變量x與與y同方向變化）同方向變

10、化）（變量（變量x與與y反方向變化）反方向變化）注意：等號只是在個別點處取得，不影響函數(shù)的增減性注意：等號只是在個別點處取得，不影響函數(shù)的增減性第20頁/共60頁2.奇偶性奇偶性I關(guān)于原點不對稱關(guān)于原點不對稱是非奇非偶的)x(fy I關(guān)于原點對稱()( )fxf x()( )fxf x 奇函數(shù)偶函數(shù)軸對稱圖象關(guān)于y圖象關(guān)于原點對稱()( )0fxf x一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域為的定義域為I( )yf x非奇非偶非奇非偶既不相等，也不相反既不相等，也不相反第21頁/共60頁例例1-4.判別下列函數(shù)的奇偶性判別下列函數(shù)的奇偶性3(1)sinyxx1(2)1xxaya2(3)ln(1)

11、yxx 第22頁/共60頁3.有界性有界性),()(baxxfy( ),f xM 存在正數(shù)存在正數(shù) ，對任意，對任意 ，都有，都有則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在在 上是有界的上是有界的.( , )xa bM( )mf xM（條件放寬為（條件放寬為 ）( )f x( , )a b有上界函數(shù)有上界函數(shù)有下界函數(shù)有下界函數(shù)第23頁/共60頁例例1-5.（1）判斷函數(shù)判斷函數(shù) 是否有界？是否有界？（2）判斷函數(shù)判斷函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上是否有界？上是否有界？224sin1xyxx(1,2),(2,3),(3,)1( )1f xx第24頁/共60頁4周期性周期性T 存在正數(shù)存在正數(shù) ，對任意，對任意 ，都有，都有

12、則稱函數(shù)則稱函數(shù) 為周期函數(shù)，滿足這個等式的最小正數(shù)為周期函數(shù)，滿足這個等式的最小正數(shù) 稱為函數(shù)的周期稱為函數(shù)的周期.()( ),f xTf xx( )f xT第25頁/共60頁例例1-6.(1)設(shè)設(shè) 為奇函數(shù)，為奇函數(shù)， ， 為不為不等于等于1的正常數(shù)，則的正常數(shù)，則 的（的（ ）A.偶函數(shù)偶函數(shù) B.奇函數(shù)奇函數(shù) C.非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) D.奇偶性與奇偶性與 有關(guān)有關(guān)( )f x11( )( )()12xF xf xaa( )F xa（2） ，是 （ ）A.有界函數(shù) B.奇函數(shù) C.偶函數(shù) D.周期函數(shù)2 , 00 , 3)(33xxxxxf第26頁/共60頁一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的

13、極限1.數(shù)列極限的描述性定義數(shù)列極限的描述性定義Aynnlim 已知數(shù)列已知數(shù)列 ，如果當，如果當 越來越大時，越來越大時， 與某個常數(shù)與某個常數(shù) A越來越近，則稱數(shù)列越來越近，則稱數(shù)列 極限存在或收斂，并把極限存在或收斂，并把A稱稱為數(shù)列為數(shù)列 的極限，記作的極限，記作nnynynyny若數(shù)列若數(shù)列 極限不存在，則稱數(shù)列極限不存在，則稱數(shù)列 發(fā)散發(fā)散.nynyn 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限第27頁/共60頁Aynnlim,nnyA A收斂于ny)(lim)(,nfnfnn（震蕩型而沒有極限）來回趨向于兩個常數(shù)時，當nyn發(fā)散ny極限不存在極限不存在nyny以以A為極限為極限第28頁/

14、共60頁2.數(shù)列極限的四則運算數(shù)列極限的四則運算lim( ),lim( ),nnf nAg nBlim( )( )lim( )lim( )nnnf ng nf ng nABlim( ) ( )lim( ) lim( )nnnf n g nf ng nA BBAngnfngnfngnnnn)(lim)(lim)()(lim0)(lim，則當（1）若有若有（2）（3）（4）lim( )( )lim( )lim( )ng ng nBnnf nf nA) 1(0limqqnn結(jié)論：結(jié)論：第29頁/共60頁1 35 79:,3 57 9113 1 5 1 7:1,2 3 4 5 61111:0,0,0,

15、0,2468nnnyyy例1-7.(1)用觀察的方法判斷下列數(shù)列是否收斂？用觀察的方法判斷下列數(shù)列是否收斂？34limlim134nnnnnnnn(2)求下列數(shù)列的極限求下列數(shù)列的極限第30頁/共60頁二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限1.自變量沿x軸趨于無窮遠時，函數(shù) 的極限( )f x(1) lim( )xf xA(,( )xf xA (2) lim( )xf xA(,( )xf xA (3)lim( )lim( )lim( )xxxf xAf xf xA第31頁/共60頁（1）左、右極限）左、右極限Axfxx)(lim0Axfxx)(lim0的右極限時為稱)(0 xfxxA的左極限時為稱)(0

16、 xfxxA)(0 xx )(0 xx 右極限左極限（2）極限存在定理）極限存在定理000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA2 2.自變量趨于有限值自變量趨于有限值 時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限0 x第32頁/共60頁3.極限四則運算極限四則運算lim( ),lim ( )f xAg xB若有若有BAxgxf)()(lim) 1 (BAxgxf)()(lim)2(lim( )lim( )nncf xc Af xA )0()()(lim)3(BBAxgxflim( )( )(4)lim( )lim( )g xg xBf xf xA第33頁/共60頁4.無窮小量與無

17、窮大量無窮小量與無窮大量（1）無窮大量）無窮大量lim y （2）無窮小量）無窮小量0limy（3）無窮小量與無窮大量的關(guān)系）無窮小量與無窮大量的關(guān)系（倒數(shù)關(guān)系）（倒數(shù)關(guān)系）第34頁/共60頁三、函數(shù)的極限求法三、函數(shù)的極限求法1.直接運用四則運算直接運用四則運算2x2lim(321)xx1352lim21xxxx152lim21xxxx例例1-8.求下列函數(shù)極限求下列函數(shù)極限第35頁/共60頁為正整數(shù)）nxxn(11lim1x2x33lim9xx例例9.2.約去非零公因子約去非零公因子例例1-9.求下列函數(shù)極限求下列函數(shù)極限第36頁/共60頁（1）分子有理化）分子有理化（2）分母有理化）分母

18、有理化（3）分子、分母有理化）分子、分母有理化3.有理化（去掉相應的根號）有理化（去掉相應的根號）例例10.042lim93xxx88lim13xxxlim( 123123(1)nnn 例例1-10.求下列函數(shù)極限求下列函數(shù)極限（2006-13）計算）計算311lim1xxx第37頁/共60頁1201201201200,( )limlim,( ),nnnnmmmxxmnma xa xa xaaf xnmg xb xb xb xbbnm00(0,0)ab例例1-11.(1)求下列函數(shù)極限求下列函數(shù)極限232324222342121limlimlim313187nxxnnxxxnxxx21lim(

19、)01xxaxbx, a b(2)已知已知 ，求，求4.第38頁/共60頁5.求分段函數(shù)在分段點的極限要利用左、右極限求分段函數(shù)在分段點的極限要利用左、右極限1lim( ).xf x例例1-12.設(shè)設(shè) ，求，求43231,1( )11,1xxxxf xxxxx第39頁/共60頁lim0,lim0設(shè)（1）無窮小量的階）無窮小量的階6.利用等價無窮小替換求極限利用等價無窮小替換求極限( ) lim0如果如果 ，則稱，則稱 是是 的高階無窮小，的高階無窮小，lim 如果如果 ，則稱，則稱 是是 的低階無窮小的低階無窮小.lim0c如果如果 ，則稱，則稱 是是 的同階無窮小的同階無窮小.lim1如果如

20、果 ，則稱，則稱 是是 的等價無窮小，的等價無窮小，第40頁/共60頁（2）無窮小量的等價替換定理）無窮小量的等價替換定理lim( )lim( ),limlimf xf x設(shè)設(shè) ，且，且 存在，存在，則有則有,lim（3）常用的無窮小量等價替換公式）常用的無窮小量等價替換公式注意：等價無窮小替換，一般只用于乘除運算，對加、減項的無窮小量不能隨意替換.第41頁/共60頁sin()(條件：當 , )0 xx011 cos()()2ln(1)2sin,tan,11 cos2ln(1)1arctan11xnxxxxxxxxexxxxxn0 x 2()1 ()1nn第42頁/共60頁20032300ta

21、n2sin(1)lim(2)limsin531sin1tansin(3)lim(4)limarctansinxxxxxxxxxxxxxxx例例1-13.求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限（2007-2）已知當 時， 是 的高階無窮小，而 又是 的高階無窮小，則正整數(shù) ( )A.1 B.2 C. 3 D.40 x)1ln(22xxxnsinxnsinxcos1n 第43頁/共60頁7.利用兩個重要極限求極限利用兩個重要極限求極限1sinlim) 1 (0 xxx0sin()lim1()xx(條件：當 , )0 xx01sinlim0 xxx111sinlimxxx第44頁/共60頁00200sin

22、sin3(1)lim(0)(2)limsin5tan1 cos(3)lim(4)limxxxxkxxkxxxxxx例例1-14.求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限21sin(1)(5)lim1xxx第45頁/共60頁例例1-15.求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限00001limsinlimsinsin1limlim sin1limsinlimsinsin1limlim sinxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx第46頁/共60頁1(2)lim(1)nnenexxx)11 (lim1lim(1)xe(條件：當 , )x 10lim(1)xxxe10lim(1)xe(條件：當 , )0 x 0第

23、47頁/共60頁exxx)11 (lim1lim(1)cx axdxblim(1)cx axdxb(與與a,b無關(guān)，與無關(guān)，與d,c有關(guān)有關(guān))cdedce第48頁/共60頁例例1-16.求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限5(3)4(1)lim(1)3nnn2325(2)(3)(3)lim(5)xxxxxxx22(2)lim()1xxxx2( )3xxf xx（2004-7）設(shè)設(shè) ，則，則lim( )_xf x（2003-13）求極限求極限121 cos0lim(1)xxx第49頁/共60頁一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)函數(shù) 點點 的連續(xù)性的連續(xù)性0 x0lim0 xy 000lim()

24、()0 xf xxf x ( )f x等價定義等價定義00lim( )()xxf xAf x 有定義（有函數(shù)值） 有極限相等0 xxx 第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)第50頁/共60頁（2007-7）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，在點，在點 處連續(xù)，則常數(shù)處連續(xù)，則常數(shù) 020)1 ()(1xxkxxfx0 x_k 第51頁/共60頁2.左、右連續(xù)左、右連續(xù)3.函數(shù)函數(shù) 點區(qū)間點區(qū)間 上的連續(xù)性上的連續(xù)性( )f x, a b)()(lim)()(lim),()(bfxfafxfbaxfbxax上連續(xù)在00lim( )(),xxf xf x如果如果 在在 處滿足：處滿足：( )f x0 x稱函數(shù)稱函數(shù)

25、在在 處處左連續(xù)左連續(xù)( )f x0 x00lim( )(),xxf xf x稱函數(shù)稱函數(shù) 在在 處處右連續(xù)右連續(xù)( )f x0 x第52頁/共60頁二、函數(shù)的間斷點及分類二、函數(shù)的間斷點及分類1.函數(shù)間斷的定義函數(shù)間斷的定義)()(lim,)(lim,)()3(0000 xfxfAxfxfxxxx但且存在雖不存在)(lim)2(0 xfxx不存在)() 1 (0 xf函數(shù)函數(shù) 在在 處滿足下列情況之一，則點處滿足下列情況之一，則點 為為 的間斷點的間斷點.( )f x( )f x0 x0 x第53頁/共60頁1,1( ),1,1xxf xx1,0( )0,0 ,1,0 xxf xxxx1( )f xx（1）考察考察 在點在點 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.0 x 1( )sinf xx（4）考察考察 在點在點 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.0 x （3）設(shè)設(shè) 考察考察 在點在點 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.( )f x1x （2）設(shè)設(shè) 考察考察 在點在點 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.( )f x0 x 例1-17.第54頁/共60頁第一類間斷點:若稱0 x若稱0 x為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .函數(shù)在點 的左右極限都存在， 0