函數(shù)的導(dǎo)數(shù)76843PPT課件

1、一、問題的提出1.自由落體運動的瞬時速度問題自由落體運動的瞬時速度問題0tt ,0時時刻刻的的瞬瞬時時速速度度求求tt目的：目的：,0tt 的時刻的時刻取一鄰近于取一鄰近于, t 運動時間運動時間tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0時時當當tt 取極限得取極限得2)(limv00ttgtt 瞬時速度瞬時速度.0gt 第1頁/共39頁2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放第2頁/共39頁 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C

2、在點在點M處的處的切線切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的斜率為的斜率為割線割線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 第3頁/共39頁二、導(dǎo)數(shù)的定義,存存在在xxfxxfxyxx )()(limlim0000 .0 xxy 記為記為如果極限如果極限有定義有定義的某個鄰域內(nèi)的某個鄰域內(nèi)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(0 xxfy 定義定義.)(,)(00處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點極極限限為為函函數(shù)數(shù)并并稱稱這這個個處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點

3、則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxfyxxfy 第4頁/共39頁.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim0000000)(xxxxdxxdfdxdy 或或即即),( 0 xf第5頁/共39頁.,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點導(dǎo)數(shù)是因變量在點點導(dǎo)數(shù)是因變量在點 x.)(,)(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間在開區(qū)間就稱函數(shù)就稱函數(shù)處都可導(dǎo)處都可導(dǎo)內(nèi)的每點內(nèi)的每點在開區(qū)間在開區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxfy 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的

4、說明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：第6頁/共39頁.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記作記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的一個確定的的一個確定的都對應(yīng)著都對應(yīng)著對于任一對于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf . 2固定固定求極限過程中求極限過程中x第7頁/共39頁2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim

5、)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 第8頁/共39頁.,),(),()(000可導(dǎo)性可導(dǎo)性的的討論在點討論在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxxxxf 函數(shù)函數(shù))(xf在點在點0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù))(0 xf 和右和右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù))(0 xf 都存在且相等都存在且相等.如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及)(bf 都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo).第9頁/共39頁三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx

6、求極限求極限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即第10頁/共39頁例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 類似可得：類似可得：.sin)(cosxx 第11頁/共39頁例例3 3.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim

7、)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 第12頁/共39頁例例4 4.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 第13頁/共39頁例例5 5.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)

8、1(loglim0 .ln1ax 第14頁/共39頁例例6 6.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點不可導(dǎo)點不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy第15頁/共39頁四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義oxy)(xfy T0 xM1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為

9、法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 第16頁/共39頁例例7 7.,)2 ,21(1方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點處的切線并寫出在該點處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點在點求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即第17頁/共39頁2.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線

10、運動變速直線運動: :路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的 瞬時速瞬時速度度.lim)(0dtdststvt 交流電路交流電路: :電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度.lim)(0dtdqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質(zhì)量對長度質(zhì)量對長度(面積面積,體積體積)的導(dǎo)數(shù)為物體的導(dǎo)數(shù)為物體 的線的線(面面,體體)密度密度.第18頁/共39頁五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ,)(0 xfxy,)(0 xxxfy )(limlim000 xxx

11、fyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.第19頁/共39頁連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例.,)()()(,)(. 1000函數(shù)在角點不可導(dǎo)函數(shù)在角點不可導(dǎo)的角點的角點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點若若連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角點的角點為為處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在xfxx 第20頁/共39頁31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可導(dǎo)不可導(dǎo)有無窮導(dǎo)數(shù)有無窮導(dǎo)數(shù)在點在點稱函數(shù)稱函數(shù)但但連續(xù)連

12、續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x第21頁/共39頁.,)()(. 30點不可導(dǎo)點不可導(dǎo)則則指擺動不定指擺動不定不存在不存在在連續(xù)點的左右導(dǎo)數(shù)都在連續(xù)點的左右導(dǎo)數(shù)都函數(shù)函數(shù)xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x011/1/xy第22頁/共39頁例例8 8.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處有處有但在但在0 xxx

13、xxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時時當當 xyx.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx第23頁/共39頁.)()(,)(. 4000不可導(dǎo)點不可導(dǎo)點的尖點的尖點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點符號相反符號相反的兩個單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩個單側(cè)導(dǎo)數(shù)且在點且在點若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 第24頁/共39頁六、小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一

14、定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.第25頁/共39頁作業(yè)作業(yè)習(xí)題3.1 3；4；7；9；10. 第26頁/共39頁思考題思考題 函函數(shù)數(shù))(xf在在某某點點0 x處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 與與導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf 有有什什么么區(qū)區(qū)別別與與聯(lián)聯(lián)系系？第27頁/共39頁思考題解答思考題解答 由導(dǎo)數(shù)的定義知，由導(dǎo)數(shù)的定義知，)(0 xf 是一個具體的是一個具體

15、的數(shù)值，數(shù)值，)(xf 是由于是由于)(xf在某區(qū)間在某區(qū)間I上每一上每一點都可導(dǎo)而定義在點都可導(dǎo)而定義在I上的一個新函數(shù)，即上的一個新函數(shù)，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 與之對應(yīng)，所以兩與之對應(yīng)，所以兩者的者的區(qū)別區(qū)別是：一個是數(shù)值，另一個是函數(shù)兩是：一個是數(shù)值，另一個是函數(shù)兩者的者的聯(lián)系聯(lián)系是：在某點是：在某點0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(0 xf 即是導(dǎo)即是導(dǎo)函數(shù)函數(shù))(xf 在在0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值第28頁/共39頁2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置第29頁/共39頁2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置第30頁/共39頁2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置第31頁/共39頁2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置第32頁/共39頁2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置