高中數(shù)學 3.1.1 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念 新人教A版選修2-1ppt課件

1、第三章第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.1.1 3.1.1 數(shù)系的擴充和復數(shù)數(shù)系的擴充和復數(shù) 的概念的概念1問題提出問題提出 1. 1.數(shù)的概念產(chǎn)生和發(fā)展的歷史進程：數(shù)的概念產(chǎn)生和發(fā)展的歷史進程： 正分數(shù)正分數(shù)正無理數(shù)正無理數(shù)零和負數(shù)零和負數(shù)N NQ QR RR R數(shù)系每次擴充的基本原則：數(shù)系每次擴充的基本原則： 第一、增加新元素；第一、增加新元素； 第二、原有的運算性質(zhì)仍然成立；第二、原有的運算性質(zhì)仍然成立； 第三、新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾第三、新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾. .2 2. 2.若若 ，則，則 對此你有什么困惑？對此你有什么困惑？11xx+=22211()

2、21.xxxx+=+-= -問題提出問題提出33.3.唯物辨證法認為，事物是發(fā)展變化的，事物內(nèi)部的矛盾運動是推動事物向前發(fā)唯物辨證法認為，事物是發(fā)展變化的，事物內(nèi)部的矛盾運動是推動事物向前發(fā) 展的根本動展的根本動力力. .由于實數(shù)的局限性，導致由于實數(shù)的局限性，導致 某些數(shù)學問題出現(xiàn)矛盾的結(jié)果，數(shù)學家某些數(shù)學問題出現(xiàn)矛盾的結(jié)果，數(shù)學家 們預測，在實數(shù)范圍外們預測，在實數(shù)范圍外還有一類新數(shù)存在，還有比實數(shù)集更大的數(shù)系還有一類新數(shù)存在，還有比實數(shù)集更大的數(shù)系. .問題提出問題提出45 1 1、由、由 得得 ，這與這與 矛盾的原因是什么？矛盾的原因是什么？11xx+=2211xx+= -2210 x

3、x+ 方程方程x x2 2x x1 10 0無實根無實根 2 2、方程、方程x x2 2x x1 10 0無實根的根本原因是什么？無實根的根本原因是什么？1 1不能開平方不能開平方 問題探究問題探究63 3、我們設想引入一個新數(shù)，用字母、我們設想引入一個新數(shù)，用字母i i表示，使這個數(shù)是表示，使這個數(shù)是1 1的平方根，即的平方根，即 i i2 21 1，那么方程，那么方程x x2 2x x1 10 0的根是什么？的根是什么？1322i問題提出問題提出74 4、若、若x x4 41 1，利用，利用i i2 21,1,則則x x等于什么？等于什么？1 1，1 1，i i，i. i. 問題提出問題提

4、出85 5、滿足、滿足i i2 21 1的新數(shù)的新數(shù)i i顯然不是實數(shù)，顯然不是實數(shù)， 稱為虛數(shù)單位，根據(jù)數(shù)系的擴充原則，稱為虛數(shù)單位，根據(jù)數(shù)系的擴充原則， 應規(guī)定虛數(shù)單位應規(guī)定虛數(shù)單位i i和實數(shù)和實數(shù)之間的運算滿之間的運算滿 足哪些運算律？足哪些運算律？乘法和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律乘法和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律. .問題探究問題探究96 6、設、設aRR，下列運算正確嗎？，下列運算正確嗎？aiia+=+a ii a=()aiai -= -32iiii= -21iiii= -問題探究問題探究101 1、虛數(shù)單位、虛數(shù)單位i i與實數(shù)進行四則運算，

5、可以形成哪種一般形式的數(shù)？與實數(shù)進行四則運算，可以形成哪種一般形式的數(shù)？ abi i（a，bRR）2 2、把形如、把形如abi i（a，bRR）的數(shù)叫做復數(shù)，全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，記作）的數(shù)叫做復數(shù)，全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，記作C C，那么復數(shù)，那么復數(shù)集如何用描述法表示？集如何用描述法表示？ C C abi|i|a，bRR問題探究問題探究113 3、復數(shù)通常用字母、復數(shù)通常用字母z z表示，即表示，即 z zabi i（a，bRR），這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)），這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式，其中形式，其中a與與b分別叫做復數(shù)分別叫做復數(shù)z z的實部與虛部，那么復數(shù)的實部與虛

6、部，那么復數(shù) z z 3i3i的實部的實部和虛部分別是什么？和虛部分別是什么？2實部為實部為 , ,虛部為虛部為3.3.2問題探究問題探究124 4、兩個實數(shù)可以相等，兩個復數(shù)也可以相等，并且規(guī)定：、兩個實數(shù)可以相等，兩個復數(shù)也可以相等，并且規(guī)定：abi icdi i（a，b，c，dRR）的）的充要條件是充要條件是ac且且bd，那么那么abi i0 0的充要條件是什么？的充要條件是什么？ ab0 0問題探究問題探究135 5、對于復數(shù)、對于復數(shù)z zabi i（a，bRR）當）當b b0 0時，時，z z為什么數(shù)？由此說明實數(shù)集與復數(shù)集的關為什么數(shù)？由此說明實數(shù)集與復數(shù)集的關系如何？系如何？當

7、當b0 0時時z z為實數(shù)為實數(shù). . 實數(shù)集實數(shù)集R R是復數(shù)集是復數(shù)集C C的真子集的真子集. . 問題探究問題探究146 6、對于復數(shù)、對于復數(shù)z zabi i（a，bRR）當）當b00時，時，z z叫做虛數(shù)，當叫做虛數(shù)，當a0 0且且b00時，時，z z叫做純虛數(shù)，那叫做純虛數(shù)，那么虛數(shù)集與純虛數(shù)集之間如何？么虛數(shù)集與純虛數(shù)集之間如何？ 純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集. . 問題探究問題探究157 7、復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系用韋恩圖怎樣表示？、復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系用韋恩圖怎樣表示？ 復數(shù)復數(shù)實數(shù)實數(shù)虛數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)問題探究

8、問題探究8 8、兩個實數(shù)可以比較大小，一個實數(shù)與一個虛數(shù)或兩個虛數(shù)可以比較大小嗎？、兩個實數(shù)可以比較大小，一個實數(shù)與一個虛數(shù)或兩個虛數(shù)可以比較大小嗎？ 虛數(shù)不能比較大小虛數(shù)不能比較大小. .16 例例1 1 實數(shù)實數(shù)m取什么值時，復數(shù)取什么值時，復數(shù)z zm1 1( (m1)i1)i分別是實數(shù)，虛數(shù)和純虛數(shù)？分別是實數(shù)，虛數(shù)和純虛數(shù)？ 當當m1 1時，時，z z是純虛數(shù)是純虛數(shù). . 典例講評典例講評當當m1時，時，z是實數(shù)；是實數(shù)；當當m1時，時，z是虛數(shù)；是虛數(shù)；17 例例2 2 設復數(shù)設復數(shù)z z1 1(x(xy)y)(x(x3)i3)i，z z2 2(3x(3x2y)2y)yiyi，若

9、，若z z1 1z z2 2，求實數(shù)，求實數(shù)x x，y y的值的值. . x x9 9，y y6. 6. 典例講評典例講評18 1. 1.將實數(shù)系擴充到復數(shù)系是源于解方程的需要，到十九世紀中葉已建立了一套完整的復數(shù)理將實數(shù)系擴充到復數(shù)系是源于解方程的需要，到十九世紀中葉已建立了一套完整的復數(shù)理論，形成一個獨立的數(shù)學分支論，形成一個獨立的數(shù)學分支. .課堂小結(jié)課堂小結(jié)19 2. 2.虛數(shù)單位虛數(shù)單位i i的引入解決了負數(shù)不能開平方的矛盾，并將實數(shù)集擴充到了復數(shù)集，它使得任何的引入解決了負數(shù)不能開平方的矛盾，并將實數(shù)集擴充到了復數(shù)集，它使得任何一個復數(shù)都可以寫成一個復數(shù)都可以寫成 abi（a，bR

10、）的形式的形式. .課堂小結(jié)課堂小結(jié)20 3.3.復數(shù)包括了實數(shù)和虛數(shù)，實數(shù)的某些性質(zhì)在復數(shù)集中不成立，如復數(shù)包括了實數(shù)和虛數(shù)，實數(shù)的某些性質(zhì)在復數(shù)集中不成立，如x x2 200； 若若x xy y0 0，則則x xy y等，今后在數(shù)學解題中，如果沒有特殊說明，一般都在實數(shù)集內(nèi)解決問題等，今后在數(shù)學解題中，如果沒有特殊說明，一般都在實數(shù)集內(nèi)解決問題.課堂小結(jié)課堂小結(jié)21P P104104練習：練習：1 1，2 2，3. 3. P P106106習題習題3.1A3.1A組：組：1 1，2.2.布置作業(yè)布置作業(yè)223.1 3.1 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念3.1.2 3.1.2

11、復數(shù)的幾何意義復數(shù)的幾何意義23 1. 1.虛數(shù)單位虛數(shù)單位i i的基本特征是什么？的基本特征是什么？（1 1）i i2 21 1； （2 2）i i可以與實數(shù)進行四則運算，且原有的加、乘運算律仍然成立可以與實數(shù)進行四則運算，且原有的加、乘運算律仍然成立. . 復習鞏固復習鞏固24 2. 2.復數(shù)的一般形式是什么？復數(shù)相等的充要條件是什么？復數(shù)的一般形式是什么？復數(shù)相等的充要條件是什么？ abi i（a，bR R）；）； 實部和虛部分別相等實部和虛部分別相等. . 復習鞏固復習鞏固25 3. 3.實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的含義分別如何？實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的含義分別如何？ 設設z zabi i（a，b

12、RR）. .當當b b0 0時時z z為實數(shù)；為實數(shù)；當當b b00時，時，z z為虛數(shù)；為虛數(shù)；當當a0 0且且b b00時，時，z z為純虛數(shù)為純虛數(shù). . 復習鞏固復習鞏固26 4. 4.復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系如何？復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系如何？復數(shù)復數(shù)實數(shù)實數(shù)虛數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)復習鞏固復習鞏固27 5. 5.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，從而實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，這是實數(shù)的幾何意義，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，從而實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，這是實數(shù)的幾何意義，根據(jù)類比推理，復數(shù)也應有它的幾何意義根據(jù)類比推理，復數(shù)也應有它的幾何意義. .因此，探

13、究復數(shù)的幾何意義就成為一個新的學習內(nèi)容因此，探究復數(shù)的幾何意義就成為一個新的學習內(nèi)容. . 提出問題提出問題28291 1、在什么條件下，復數(shù)、在什么條件下，復數(shù)z z惟一確定？惟一確定？ 給出復數(shù)給出復數(shù)z z的實部和虛部的實部和虛部2 2、設復數(shù)、設復數(shù)z zabi i（a，bRR），以），以z z的實部和虛部組成一個有序?qū)崝?shù)對（的實部和虛部組成一個有序?qū)崝?shù)對（a，b），那么復數(shù)），那么復數(shù)z z與有序?qū)崝?shù)對（與有序?qū)崝?shù)對（a，b）之間是一個怎樣的對應關系？）之間是一個怎樣的對應關系？ 一一對應一一對應問題探究問題探究303 3、有序?qū)崝?shù)對（、有序?qū)崝?shù)對（a，b）的幾何意義是什么？復數(shù)的幾

14、何意義是什么？復數(shù)z zabi i（a，bRR）可以用什么幾何量來表）可以用什么幾何量來表示？示？ 復數(shù)復數(shù)z zabi i（a，bRR）可以用直角坐標系中的點）可以用直角坐標系中的點Z Z（a，b）來表示）來表示. .x xy yO Oab bZ Z：abi i問題探究問題探究31用直角坐標系來表示復數(shù)的坐標平面叫做復平面，用直角坐標系來表示復數(shù)的坐標平面叫做復平面，x x軸叫做實軸，軸叫做實軸，y y軸叫做虛軸軸叫做虛軸. .形成結(jié)論形成結(jié)論32一般地，實軸上的點，虛軸上的點，各象限內(nèi)的點分別表示什么樣的數(shù)？一般地，實軸上的點，虛軸上的點，各象限內(nèi)的點分別表示什么樣的數(shù)？x xy yO O

15、ab bZ Z：abi i實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點除原點外都表示純虛實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點除原點外都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點表示虛部不為零的虛數(shù)數(shù)，各象限內(nèi)的點表示虛部不為零的虛數(shù). . 形成結(jié)論形成結(jié)論331 1、用有向線段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所確定？、用有向線段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所確定？ 有向線段的始點和終點有向線段的始點和終點. . 2 2、用坐標表示平面向量，如何根據(jù)向量的坐標畫出表示向量的有向線段？、用坐標表示平面向量，如何根據(jù)向量的坐標畫出表示向量的有向線段？ 以原點為始點，向量的坐標對應的點為終點畫有向以原點為始點，向量的坐

16、標對應的點為終點畫有向線段線段. . x xy yO O(a，b)問題探究問題探究343 3、在復平面內(nèi)，復數(shù)、在復平面內(nèi)，復數(shù)z zabi i（a，bR R）用向量如何表示？）用向量如何表示？x xy yO Oab bZ Z：abi i以原點以原點O O為始點，點為始點，點Z Z（a，b）為終點的向量）為終點的向量 . .O Zuuu r問題探究問題探究354 4、復數(shù)、復數(shù)z zabi i（a，bRR）可以用向量）可以用向量 表示，向量表示，向量 的模叫做復數(shù)的模叫做復數(shù)z z的模，記作的模，記作|z|z|或或| |abi|i|，那么，那么| |abi|i|的計算公式是什么？的計算公式是什

17、么？O Zuuu rO Zuuu r22|abiab+=+x xy yO Oab bZ Z：abi i問題探究問題探究365 5、設向量、設向量a，b分別表示復數(shù)分別表示復數(shù)z z1 1，z z2 2，若，若ab，則復數(shù)，則復數(shù)z z1 1與與z z2 2的關系如何？的關系如何？ 規(guī)定：相等的向量表示同一個復數(shù)規(guī)定：相等的向量表示同一個復數(shù). .6 6、若、若|z|z|1 1，|z|z|1 1，則復數(shù)，則復數(shù)z z對應復平面內(nèi)的點的軌跡分別是什么？對應復平面內(nèi)的點的軌跡分別是什么？ 單位圓，單位圓內(nèi)部單位圓，單位圓內(nèi)部. .問題探究問題探究37 例例1 1 已知復數(shù)已知復數(shù)對應的點在直線對應的

18、點在直線x x2y2y1 10 0上，求實數(shù)上，求實數(shù)m的值的值. .222l og (33)l og (3)zmmim=-+-15m=典例講評典例講評38 例例2 2 若復平面內(nèi)一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別為若復平面內(nèi)一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別為z z1 11 12i2i，z z2 22 2i i，z z3 31 12i2i，求這個正方形第四個頂點對應的復數(shù)，求這個正方形第四個頂點對應的復數(shù). .x xy yO OZ Z1 1Z Z2 2Z Z3 3Z Z4 4z z4 42 2i i 典例講評典例講評39 例例3 3 設復數(shù)設復數(shù) ，若若|z|5|z|5，求，求x x的取值范圍的取值范圍. .12l og4zxi=+1(0, 8,)8x+ U典例講評典例講評401.1.復數(shù)集復數(shù)集C C和復平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應的，即和復平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應的，即復數(shù)復數(shù)z zabi i 復平面內(nèi)的點復平面內(nèi)的點 Z Z（a，b）一一對應一一對應2.2.復數(shù)集復