熱點08解析幾何解答題-2018年高考數(shù)學(xué)三輪講練測核心熱點總動員新課標(biāo)版Word版含解析

1、2018年高考三輪復(fù)習(xí)系列：講練測之核心熱點 【全國通用版】熱點八 解析幾何解答題【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】1. 【2017課標(biāo)3，理20】已知拋物線c：y2=2x，過點（2,0）的直線l交c與a,b兩點，圓m是以線段ab為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點o在圓m上；（2）設(shè)圓m過點，求直線l與圓m的方程.【解析】所以 ，解得 或 .當(dāng) 時，直線 的方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 .當(dāng) 時，直線 的方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 .2.【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓c：（a>b>0），四點p1（1,1），p2（0,1），

2、p3（1，），p4（1，）中恰有三點在橢圓c上.（1）求c的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過p2點且與c相交于a，b兩點.若直線p2a與直線p2b的斜率的和為1，證明：l過定點.【解析】（1）由于，兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知c經(jīng)過，兩點.又由知，c不經(jīng)過點p1，所以點p2在c上.因此解得故c的方程為.（2）設(shè)直線p2a與直線p2b的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得a，b的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得.由題設(shè)可知.設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)

3、時，于是l：，即，所以l過定點（2，）.3.【2017課標(biāo)ii，理】設(shè)o為坐標(biāo)原點，動點m在橢圓c：上，過m作x軸的垂線，垂足為n，點p滿足。(1) 求點p的軌跡方程；(2)設(shè)點q在直線上，且。證明：過點p且垂直于oq的直線l過c的左焦點f。 【解析】（1）設(shè)，設(shè)，由得因為在c上，所以因此點p的軌跡方程為4.【2016全國卷3理】已知拋物線的焦點為,平行于軸的兩條直線分別交于,兩點,交的準(zhǔn)線于,兩點.（1）若在線段上,是的中點,證明；（2）若的面積是的面積的兩倍,求中點的軌跡方程.【解析】(1)連接,由,及,得,所以.因為是中點,所以,所以, ,又,所以,所以（等角的余角相等）,所以.55.【

4、2016全國卷1理】設(shè)圓的圓心為,直線過點且與軸不重合,交圓于,兩點,過作的平行線交于點.（1）證明為定值,并寫出點的軌跡方程；（2）設(shè)點的軌跡為曲線,直線交于,兩點,過且與垂直的直線與圓交于,兩點,求四邊形面積的取值范圍.【解析】(1)如圖所示,圓的圓心為,半徑,因為,所以.又因為,所以,于是 ,所以.故為定值.又,點的軌跡是以,為焦點,長軸長為4的橢圓,由,得.故點的軌跡的方程為.（2）因為直線與軸不重合,故可設(shè)的方程為,過且與垂直的直線方程為. 由,得.設(shè),則,.得.由,得.設(shè),則,.得.四邊形的面積.因為,所以,故. 即四邊形面積的取值范圍是.6.【2016全國卷2理】已知橢圓e:的焦

5、點在軸上,是的左頂點,斜率為的直線交于,兩點,點在上,.（1）當(dāng),時,求的面積；（2）當(dāng)時,求的取值范圍.【解析】（1）解法一：當(dāng)時,由于,根據(jù)對稱性可知,所以 ,得,所以.又,所以,所以.解法二：設(shè)點,且交軸于點. 因為,且,所以, .由,得.又,所以,解之得或.所以 ,所以.（2）解法一：設(shè)直線,.則,所以.同理.因為,所以.所以.因為,所以,整理得,因為橢圓e的焦點在x軸,所以,即,整理得,解得【熱點深度剖析】1.圓錐曲線的解答題新課標(biāo)的要求理科一般以橢圓或拋物線為背景,而文科一般以橢圓或圓或拋物線為背景進行綜合考查,由于雙曲線的弱化,故以雙曲線為背景的解析幾何解答題不在考慮. 在201

6、4年文科考查了圓的方程,理科高考試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),弦長公式,函數(shù)的最值,直線的方程,基本不等式等,考查學(xué)生的運算能力、化簡能力以及數(shù)形結(jié)合的能力.從近幾年高考來看,圓錐曲線的解答題中主要是以橢圓,拋物線為基本依托,考查橢圓,拋物線方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法,這道解答題往往是試卷的壓軸題之一從近幾年高考來看,計算量都不是太大,說明文理難度都在降低,特別是計算量不大,但要求的邏輯思維能力,數(shù)形結(jié)合的能力與往年差不多,體現(xiàn)高考重能力,輕運算由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)主干知識,在高考命

7、題上已經(jīng)比較成熟,考查的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定,預(yù)測2017年高考很有可能以橢圓,拋物線為背景,考查軌跡問題、探索性命題及最值問題,文科也有可能以圓為背景命題,也有可能繼續(xù)保持題型不變,考查細節(jié)上有所變化.2.從近幾年高考來看,求曲線的軌跡方程是高考的常考題型,主要以解答題的形式出現(xiàn),考查軌跡方程的求法以及利用曲線的軌跡方程研究曲線的幾何性質(zhì),一般用直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點代入法等求曲線的軌跡方程,其關(guān)鍵是找到與任意點有關(guān)的等量關(guān)系軌跡問題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識相融合,著重考查分析問題、解決問題的能力,對邏輯思維能力、運算能力也有一定的要求預(yù)測2018年高考

8、仍將以求曲線的方程為主要考點,考查學(xué)生的運算能力與邏輯推理能力【重點知識整合】1.橢圓的第一定義：平面內(nèi)到兩個定點的距離之和等于定長（）的點的軌跡.注意：橢圓中,與兩個定點f,f的距離的和等于常數(shù),且此常數(shù)一定要大于,當(dāng)常數(shù)等于時,軌跡是線段ff,當(dāng)常數(shù)小于時,無軌跡.2直線和橢圓的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系判斷： 直線與橢圓方程聯(lián)立方程組,消掉y,得到的形式（這里的系數(shù)a一定不為0）,設(shè)其判別式為,（1）相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切；（3）相離：直線與橢圓相離；(2弦長公式：（1）若直線與圓錐曲線相交于兩點a、b,且分別為a、b的橫坐標(biāo),則,若分別為a、b的縱坐標(biāo),則,若弦a

9、b所在直線方程設(shè)為,則.（2）焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算,一般不用弦長公式計算,而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后,利用第二定義求解.橢圓左焦點弦,右焦點弦.其中最短的為通徑：,最長為；（3）橢圓的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.在橢圓中,以為中點的弦所在直線的斜率.3.與焦點三角形相關(guān)的結(jié)論橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角,通常叫做焦點三角形.一般與焦點三角形的相關(guān)問題常利用橢圓的第一定義和正弦、余弦定理求解.設(shè)橢圓上的一點到兩焦點的距離分別為,焦點的面積為,設(shè),則在橢圓中,有以下結(jié)論：(1),且當(dāng)即為短軸端點時,最大為；（2）；焦點三角形的周長為；

10、 (3),當(dāng)即為短軸端點時,的最大值為；4.直線和拋物線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系判斷：直線與雙曲線方程聯(lián)立方程組,消掉y,得到的形式,當(dāng),直線和拋物線相交,且與拋物線的對稱軸并行,此時與拋物線只有一個交點,當(dāng)設(shè)其判別式為,相交：直線與拋物線有兩個交點；相切：直線與拋物線有一個交點；相離：直線與拋物線沒有交點.注意：過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線.（2）焦點弦：若拋物線的焦點弦為ab,則有,.（3） 在拋物線中,以為中點的弦所在直線的斜率.（4）若oa、ob是過拋物線頂點o的兩條互相垂直的弦,則直線ab恒經(jīng)過定點,反之亦成立.5.求曲線(圖

11、形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟含 義說 明1、“建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動點坐標(biāo).建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,用(x,y)表示曲線上任意一點m的坐標(biāo).(1) 所研究的問題已給出坐標(biāo)系,即可直接設(shè)點.(2) 沒有給出坐標(biāo)系,首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.2、現(xiàn)(限)：由限制條件,列出幾何等式.寫出適合條件p的點m的集合p=m|p(m)這是求曲線方程的重要一步,應(yīng)仔細分析題意,使寫出的條件簡明正確.3、“代”：代換用坐標(biāo)法表示條件p(m),列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式.4、“化”：化簡化方程f(x,y)=0為最簡形式.要注意同解變形.5、證明證明化簡以后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的

12、點.化簡的過程若是方程的同解變形,可以不要證明,變形過程中產(chǎn)生不增根或失根,應(yīng)在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍).注意：這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化.【應(yīng)試技巧點撥】1.直線與橢圓的位置關(guān)系在直線與橢圓的位置關(guān)系問題中,一類是直線和橢圓關(guān)系的判斷,利用判別式法.另一類常與“弦”相關(guān)：“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點弦”問題關(guān)鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式.在求解弦長問題中,要注意直線是否過焦點,如果過焦點,一般可采用焦半徑公式求解；如果不過,就用一般方法求解.要注意利用橢圓自

13、身的范圍來確定自變量的范圍,涉及二次方程時一定要注意判別式的限制條件.2.如何利用拋物線的定義解題（1）求軌跡問題：主要抓住到定點的距離和到定直線距離的幾何特征,并驗證其滿足拋物線的定義,然后直接利用定義便可確定拋物線的方程；（2）求最值問題：主要把握兩個轉(zhuǎn)化：一是把拋物線上的點到焦點的距離可以轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離；二是把點到拋物線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離.在解題時要準(zhǔn)確把握題設(shè)的條件,進行有效的轉(zhuǎn)化,探求最值問題.3.求曲線方程的常見方法：(1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系,直接坐標(biāo)化,列出等式化簡即得動點軌跡方程 (2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢

14、圓、雙曲線、拋物線、圓等),可用定義直接探求 (3)相關(guān)點法：即利用動點是定曲線上的動點,另一動點依賴于它,那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后代入定曲線的方程進行求解根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程,通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程 (4)參數(shù)法：若動點的坐標(biāo)()中的分別隨另一變量的變化而變化,我們可以以這個變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件,用一個參數(shù)來分別動點的坐標(biāo),間接地把坐標(biāo)聯(lián)系起來,得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù),就可以得到軌跡的普通方程.注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后,再進一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程,一

15、定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.4.解析幾何解題的基本方法解決圓錐曲線綜合題,關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì),注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律,通過對知識的重新組合,以達到鞏固知識、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置,因此,要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,應(yīng)用判別式、韋達定理的意識.解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,合理建立曲線模型,然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法,以形助數(shù),用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中,常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)

16、合(如角平分線的雙重身份對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.5.避免繁復(fù)運算的基本方法可以概括為：回避,選擇,尋求.所謂回避,就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征,靈活運用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等,從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復(fù)的運算.所謂選擇,就是選擇合適的公式,合適的參變量,合適的坐標(biāo)系等,一般以直接性和間接性為基本原則.因為對普通方程運算復(fù)雜的問題,用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標(biāo)系下運算復(fù)雜的問題,通過移軸可能會簡單；在直角坐標(biāo)系下運算復(fù)雜的問題,在極坐標(biāo)系下可能會簡單“所謂尋求

17、”.6. 解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：（1）給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過的中點;（3）給出,等于已知是的中點;（4）給出,等于已知與的中點三點共線;（5） 給出以下情形之一：；存在實數(shù)；若存在實數(shù),等于已知三點共線；（6） 給出,等于已知是的定比分點,為定比,即；（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角；（8）給出,等于已知是的平分線；（9）在平行四邊形中,給出,等于已知是菱形;（10）在平行四邊形中,給出,等于已知是矩形;（11）在中,給出,等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心,三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）

18、；（12）在中,給出,等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中,給出,等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中,給出等于已知通過的內(nèi)心；（15）在中,給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心,三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；（16）在中,給出,等于已知是中邊的中線.7.定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點、一個值,就是要求的定點、定值化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等

19、,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量8解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍,因此這類問題的難點,就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適變量,其原則是這個變量能夠表達要解決的問題,這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標(biāo)等,要根據(jù)問題的實際情況靈活處理.【考場經(jīng)驗分享】判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中與的分母大小,若的分母比的分母大,則焦點在x軸上,若的分母比的分母小,則焦點在y軸上注意橢圓的范圍,在設(shè)橢圓上點的坐標(biāo)時,則,這往往在求與點有關(guān)的最值問題中特別有用,也是容易忽

20、略導(dǎo)致求最值錯誤的原因注意橢圓上點的坐標(biāo)范圍,特別是把橢圓上某一點坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題求解,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最值有重要意義 4直線和拋物線若有一個公共點,并不能說明直線和拋物線相切,還有可能直線與拋物線的對稱軸平行5在求得軌跡方程之后,要深入地思考一下：(1)是否還遺漏了一些點？是否還有另一個滿足條件的軌跡方程存在？(2)在所求得的軌跡方程中,x,y的取值范圍是否有什么限制？確保軌跡上的點“不多不少”6.作為解答題的倒數(shù)第二個,試題的難度較大,也體現(xiàn)在計算量上尤為明顯,學(xué)生在解題時往往會思路,但計算往往不對,對此,建議如下：第一問保證準(zhǔn)確,如軌跡方程,曲線方程,或者幾何性質(zhì)等,因為第二問往往

21、以第一問為基礎(chǔ),故第一問要舍得花時間去驗證一下；對于第二問,往往就是曲線與直線聯(lián)立,建立方程組,利用判別式,韋達定理等這些都已經(jīng)成立的模式,建立關(guān)系式,即使思路無法進行,也要準(zhǔn)確的放在卷面上,一般它們都要占到部分分數(shù)；如果涉及到直線方程的探索,特別注意斜率不存在的情況,有時一些定值定點問題,可以通過這種特殊情況直接得到.【名題精選練兵篇】1【寧夏石嘴山市2018屆高三4月一模】已知橢圓： 過點，且兩個焦點的坐標(biāo)為， .（1）求的方程；（2）若， ， （點不與橢圓頂點重合）為上的三個不同的點， 為坐標(biāo)原點，且，求所在直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.【解析】（1）由已知得，則的方程為；（2）

22、設(shè)代入得，設(shè)，則，設(shè)，由，得，點在橢圓上，即，在中，令，則，令，則.三角形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，此時，所求三角形面積的最小值為.2【河北省武邑中學(xué)2018屆高三下學(xué)期期中】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，拋物線的焦點，以為焦點，離心率的橢圓與拋物線的一個交點為；自引直線交拋物線于兩個不同的點，設(shè).（1）求拋物線的方程橢圓的方程；（2）若，求的取值范圍. (2)由題意得直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由消去整理得（*）直線與拋物線交于兩點，設(shè)，則， ，由消去得. ，即 ，將代入上式得， ，在上單調(diào)遞減，即， ，即的取值范圍為.3【四川省綿陽市2018屆高三第三次診斷】在直角坐標(biāo)系中，橢圓 的左、右焦點分

23、別為，點在橢圓上且軸，直線交軸于點， ， 為橢圓的上頂點， 的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于， ，且滿足，求的面積.【解析】（1）設(shè)，由題意可得，即.是的中位線，且，即，整理得.又由題知， 為橢圓的上頂點，的面積，整理得，即，聯(lián)立可得，變形得，解得，進而.橢圓的方程為.(2)由可得，兩邊平方整理得.直線斜率不存在時， ， ，不滿足.直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為， ， ，聯(lián)立，消去，得， ，（*）由得.將， 代入整理得，展開得，將（*）式代入整理得，解得， ，的面積為 ，代入計算得，即的面積為.4【重慶市2017屆高三4月調(diào)研測試（二診）】已知分別為橢圓： 的左、右頂點,

24、 為橢圓上異于兩點的任意一點,直線的斜率分別記為（1）求；（2）過坐標(biāo)原點作與直線平行的兩條射線分別交橢圓于點,問： 的面積是否為定值？請說明理由【解析】（）設(shè),則；（）由題知,直線,直線,設(shè),則,由,同理可得,故有,又,故, .5【湖南省婁底市2017屆高考仿真模擬（二模）】已知橢圓： （）的離心率為, 、分別是它的左、右焦點,且存在直線,使、關(guān)于的對稱點恰好是圓： （, ）的一條直徑的四個端點.（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線與拋物線（）相交于、兩點,射線、與橢圓分別相交于點、.試探究：是否存在數(shù)集,當(dāng)且僅當(dāng)時,總存在,使點在以線段為直徑的圓內(nèi)？若存在,求出數(shù)集；若不存在,請說明理由.【解析】

25、（）將圓的方程配方得： ,所以其圓心為,半徑為2.由題設(shè)知,橢圓的焦距等于圓的直徑,所以,又,所以,從而,故橢圓的方程為.注意到與同向, 與同向,所以點在以線段為直徑的圓內(nèi) ,當(dāng)且僅當(dāng) 即時,總存在,使成立.又當(dāng)時,由韋達定理知方程 的兩根均為正數(shù),故使成立的,從而滿足.故存在數(shù)集,當(dāng)且僅當(dāng)時,總存在,使點在以線段為直徑的圓內(nèi).6【天津市紅橋區(qū)重點中學(xué)八校2017屆高三4月聯(lián)考】已知橢圓的中心在原點,離心率等于,它的一個短軸端點恰好是拋物線的焦點（1）求橢圓的方程；（2）已知、是橢圓上的兩點, , 是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.若直線的斜率為,求四邊形面積的最大值；當(dāng), 運動時,滿足,試問直線的

26、斜率是否為定值,請說明理由【解析】（1） 又 橢圓方程為 （2）設(shè) , 設(shè)方程 代入化簡 , 又、 當(dāng)時, 最大為 當(dāng)時, 、斜率之和為.設(shè)斜率為,則斜率為 設(shè)方程 代入化簡 同理 , 直線的斜率為定值7【天津市十二重點中學(xué)2017屆高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）】已知橢圓： 的焦點在軸上,橢圓的左頂點為,斜率為的直線交橢圓于, 兩點,點在橢圓上, ,直線交軸于點.（）當(dāng)點為橢圓的上頂點, 的面積為時,求橢圓的離心率；（）當(dāng), 時,求的取值范圍.【解析】（）直線 的方程為直線 的方程為,令, 于是 , （）直線的方程為,聯(lián)立并整理得, 解得或, 因為,整理得, 因為橢圓的焦點在軸,所以,即, 整理得,解

27、得8【河北省唐山市2016-2017學(xué)年度高三年級第二次模擬】已知的頂點,點在軸上移動, ,且的中點在軸上.（）求點的軌跡的方程；（）已知軌跡上的不同兩點, 與的連線的斜率之和為2,求證：直線過定點【解析】（）設(shè)（）,因為在軸上且中點在軸上,所以,由,得,化簡得,所以點的軌跡的方程為（）（）設(shè)直線的方程為, , ,由得,所以,同理,所以,化簡得,又因為,所以,所以直線過定點. 9【陜西省漢中市2017屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測（4月模擬）】已知直線： 與軸的交點是橢圓： 的一個焦點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點,是否存在使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點？若存在,求出

28、的值；若不存在,請說明理由 () 將直線的方程代入并整理得. 設(shè)點,則假設(shè)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點,則,即又,于是, 解得, 經(jīng)檢驗知：此時（*）式,適合題意. 故存在,使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點10【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2017屆高三二?！恳阎獔A與軸交于兩點,點為圓上異于的任意一點,圓在點處的切線與圓在點處的切線分別交于,直線和交于點,設(shè)點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）曲線與軸正半軸交點為,則曲線是否存在直角頂點為的內(nèi)接等腰直角三角形,若存在,求出所有滿足條件的的兩條直角邊所在直線的方程,若不存在,請說明理由.【解析】（）設(shè),則處的切線為,則, ,則,則；（）

29、由于直線不與坐標(biāo)軸平行或垂直,可設(shè),則,得,由于恒成立,設(shè)兩個根為,則,同理, 由知： ,得：（1）時,得得： 或（2）時,得得： 或綜上,共分三種情況（1）兩條直角邊所在直線方程為： ；（2）兩條直角邊所在直線方程為： （3）兩條直角邊所在直線方程為： 11【2017屆淮北市高三第二次模擬考試】已知橢圓, 是坐標(biāo)原點, 分別為其左右焦點, , 是橢圓上一點, 的最大值為（）求橢圓的方程;（）若直線與橢圓交于兩點,且 （i）求證： 為定值;（ii）求面積的取值范圍.【解析】（1）由題意得,得橢圓方程為： （2）i)當(dāng)斜率都存在且不為0時,設(shè), 由消得, 同理得, 故 當(dāng)斜率一個為0,一個不存在

30、時,得綜上得,得證. ii) 當(dāng)斜率都存在且不為0時, 又 所以 當(dāng)斜率一個為0,一個不存在時, 綜上得12【2017屆湖南省長沙市高三下學(xué)期統(tǒng)一模擬考試】已知過的動圓恒與軸相切,設(shè)切點為是該圓的直徑（）求點軌跡的方程；（）當(dāng)不在y軸上時,設(shè)直線與曲線交于另一點,該曲線在處的切線與直線交于點求證: 恒為直角三角形【解析】() 設(shè)點坐標(biāo)為,則點坐標(biāo)為因為是直徑,所以,或、均在坐標(biāo)原點因此 ,而 , , 故有,即, 另一方面,設(shè)是曲線上一點,則有,中點縱坐標(biāo)為,故以為直徑的圓與 軸相切綜上可知點軌跡的方程為 直線的斜率, 于是 因此 所以恒為直角三角形13【湖北省六校聯(lián)合體2017屆高三4月聯(lián)考】

31、如圖,已知圓經(jīng)過橢圓的左右焦點,與橢圓在第一象限的交點為,且, , 三點共線.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)與直線（為原點）平行的直線交橢圓于兩點,當(dāng)?shù)拿娣e取取最大值時,求直線的方程.【解析】(1), , 三點共線,為圓的直徑,且,.由,得, , , .,橢圓的方程為. (2)由（1）知,點的坐標(biāo)為,直線的斜率為,故設(shè)直線的方程為,將方程代入消去得： , 設(shè) , , , 又：=,點到直線的距離, ,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,此時直線的方程為.14【福建省2017屆高三4月單科質(zhì)量檢測】已知點,直線,直線垂直于點,線段的垂直平分線交于點.（1）求點的軌跡的方程；（2）已知點,過且與軸不垂直的直線交于

32、兩點,直線分別交于點,求證：以為直徑的圓必過定點.【解析】（1）依題意得,即到直線的距離與到點的距離相等,所以點的軌跡是以為焦點, 為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)拋物線方程為,則,即點的軌跡的方程是.（2）由題意可設(shè)直線,代入,得,設(shè),則；又,設(shè)直線的斜率分別為,則,設(shè),令,得,同理,得,從而；.又以為直徑的圓的方程為： ,即,即,令,解得或,從而以為直徑的圓恒過定點和.15【安徽省合肥市2017屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測】如圖,拋物線： 與圓： 相交于, 兩點,且點的橫坐標(biāo)為.過劣弧上動點作圓的切線交拋物線于, 兩點,分別以, 為切點作拋物線的切線, , 與相交于點.（）求的值；（）求動點的軌跡方程.【解

33、析】（）由點的橫坐標(biāo)為,可得點的坐標(biāo)為,代入,解得16【2016屆陜西省西北工大附中高三第四次適應(yīng)性考試】已知、分別是橢圓的左、右焦點（1）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點,求點的坐標(biāo)；（2）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、,且為銳角（其中為坐標(biāo)原點）,求直線的斜率的取值范圍【解析】（1）因為橢圓方程為,知,設(shè),則,又,聯(lián)立,解得,（2）顯然不滿足題意,可設(shè)的方程為,設(shè),聯(lián)立,且,又為銳角,又,.【名師原創(chuàng)測試篇】1已知圓： 及點,為圓上一動點,在同一坐標(biāo)平面內(nèi)的動點滿足： （）求動點的軌跡 的方程； （）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點,且為銳角（其中為坐標(biāo)原點）,求直線的斜率的取值范圍（）設(shè)是它的兩個頂點,直線與相交于點,與橢圓相交于兩點求四邊形面積的最大值【解析】（）又已知,圓,則半徑為4,由,則 三點共線,且,則 ,故動點的軌跡是以為左、右焦點的橢圓,且,所以,動點的軌跡方程為.（）顯然直線不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線,聯(lián)立,消去,整理得： ,由得：,又 ,又,即 ,故由、得或.（）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和式知,點到的距離分別為, 又,所以四邊形的面積為=, 當(dāng),即當(dāng)時,上式取等號所以的最大值為解法二：由題設(shè),設(shè),由得, 故四邊形的面積為,當(dāng)時,上式取等號所以的最大值為2. 已知拋物線的頂點