樣本平均數(shù)的方差的推導(dǎo)_第1頁(yè)
樣本平均數(shù)的方差的推導(dǎo)_第2頁(yè)
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1、4 / 3樣本平均數(shù)的方差的推導(dǎo):假定從任意分布的總體中抽選出一個(gè)相互獨(dú)立的樣本Xjl|,Xn，則有E(xJ =乂；即每一個(gè)樣本單位都是與總體同分布的。在此基礎(chǔ)上,證明樣本平均數(shù)以總體平均數(shù)為期望值。E(X)= E(XiX2IIIXnn1E(Xi X2 III Xn)n1E) E(X2)III E(Xn)ln1 _ _ _ _ (X X 山 X)二X n接著，再以此為基礎(chǔ)，推導(dǎo)樣本平均數(shù)的方差。在此,需要注意方差的計(jì)算公式為:E(X - E(X)2以下需要反復(fù)使用這一定義:三二 E(X -E(x)2-X)2= E('1 22EC (x X2 III Xn) -nX) n122 E (X

2、i -X) (X2 -X) III (Xn -X)n 一1X)12 E (Xi-X) (X2-X) III (Xn -X) ' (Xi -X)(Xj -X) n IL心- - - - E(Xi -X)2 E(X2 -X)2 III E(Xn -X)2 八 E(Xi -X)(Xj n122 nn在證明中，一個(gè)關(guān)鍵的步驟是 v E(Xi-X)(Xj-X)=0，其原i誚因在于這一項(xiàng)事實(shí)上是Xi與Xj的協(xié)方差。由于任意兩個(gè)樣本都是相互獨(dú)立的，因此其協(xié)方差均為 0。如果采用的是無(wú)放回的抽樣，則樣本間具有相關(guān)性，協(xié)方差 n小于0。此時(shí)樣本均值的方差為 或=丄，也n N 1樣本方差的期望:證明了樣本

3、平均數(shù)的方差公式后，我們可以來(lái)分析一下樣本方差的情況。n送(Xi -X)2先構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量為S'g，我們來(lái)求它的期望。-x 2- 2可得根據(jù)方差的簡(jiǎn)捷計(jì)算公式： 4 -(X), nE(S)=e ' Xi2 nX2 二1 ' E(xJ _n E(x2)nn -其中，同樣運(yùn)用簡(jiǎn)捷計(jì)算公式，可以得到：E(n2) 乂:(E(xO)2 乂； X2 ；_ 2222；X2E(x )7(E(x)' Xn原式化為E(S)=丄n伸；+X2) n( + X2) n . n 一_ 22 一2 CX一2= (；-x X )-(' X )nn -1 2Xn等式的兩端同除以右側(cè)的系數(shù)項(xiàng)，得到E(S)二；n Tnn

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