矩陣的初等變換在向量空間中的應(yīng)用

1、矩陣的初等變換在向量空間中的應(yīng)用 摘 要：向量貫穿了整個(gè)高等代數(shù)的學(xué)習(xí)。本文主要談?wù)摿讼蛄靠臻g的一些核心問題，輔以不同的解法，通過對(duì)比，顯示出矩陣的初等變換在向量空間中的重要作用，體現(xiàn)出用矩陣解向量空間中問題的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：矩陣的初等變換；線性相關(guān)；線性無關(guān)abstract：the vector throughout the learning of the higher algebra. this article mainly talking about some of the core problems of the vector space, combined with a differ

2、ent solution, by contrast, shows the important role of elementary transformation matrices in the vector space, reflecting with matrix solution for the vector space superiority.key words：elementary transformation matrix; linear correlation; linearly independent1 相關(guān)定理及問題的引出設(shè)定義1.1 維向量：數(shù)域中n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組定義1.

3、2 維向量空間：以數(shù)域中的數(shù)作為分量的維向量的全體，同時(shí)考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域上的維向量空間。維向量空間表面上看是一個(gè)非常陌生的概念，其實(shí)質(zhì)只不過是由很多個(gè)維向量作為小單元，并且這些向量對(duì)于定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法滿足封閉性，即若，,具有這樣性質(zhì)的向量構(gòu)成的向量組。故對(duì)于向量空間有關(guān)問題的討論，應(yīng)該從向量組出發(fā)。之所以向量空間讓我們感覺變化多端，關(guān)鍵在于這些向量對(duì)于定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法滿足封閉性。向量空間的理論的核心問題是向量間的線性關(guān)系,其主要內(nèi)容有向量的線性表示、向量組的線性相關(guān)性、向量組的極大無關(guān)組、兩個(gè)向量組的等價(jià)、向量空間的基與維數(shù)、一個(gè)基到另

4、一個(gè)基的過渡矩陣和線性變換等。在向量空間中主要研究的是數(shù)域上的維空間,因此在中解決上述問題成為學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。通常這些問題都是轉(zhuǎn)化為線性方程組或齊次線性方程組來解決的。本文給出了多種解決這些問題的方法，更重要的是給出了利用矩陣的初等變換來解決的統(tǒng)一方法。在對(duì)比中，我們可以很容易的感覺到矩陣在解決向量空間有關(guān)問題的重要作用與優(yōu)越性。定理1.11 一矩陣的秩是r的充分必要條件為矩陣中有一個(gè)r級(jí)子式不為零，同時(shí)所有r+1級(jí)子式全為零。定理1.21 級(jí)矩陣為可逆的充分必要條件是它能表示成一些初等矩陣的乘積。定理1.32 設(shè)可以經(jīng)過初等行變換化為,則與的列向量有完全相同的線性關(guān)系。即當(dāng)且僅當(dāng)，其中分別為a,

5、b的列向量。 定理1.41 一個(gè)向量組的任何一個(gè)線性無關(guān)組都可以擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組。 定理1.53 設(shè)是n維向量，是以為列向量的矩陣，將經(jīng)過行的初等變換得到階梯形，則階梯“角”所對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組。 若是數(shù)域p上一個(gè)矩陣，。不妨設(shè)的前r行r列構(gòu)成的r階子式不為零，則將分塊為，那么僅對(duì)的行施行初等變換可以得到標(biāo)準(zhǔn)形，其中為以r個(gè)單位向量作列構(gòu)成的單位矩陣。記，則由基本定理三可知，則與具有相同的線性關(guān)系，而b的列向量的線性關(guān)系可以直接看出。2 判斷一個(gè)向量是否可由一組向量線性表出2.1 定義法如果向量組，(2)線性相關(guān)的充分必要條件是，中的某一個(gè)向量是其余向量的線性組合2.2 利用

6、系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩 線性方程組有解判別定理：線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的的秩。若判斷是否可以被一組向量，線性表出，其中（，）（i=1、2、）。設(shè)線性方程組為 于是線性方程足可以改寫成向量方程 顯然，若可以表示成向量組，的線性組合的充要條件為線性方程組有解。又由有解判別定理和充要條件的等價(jià)性可知，可以表示成向量組，的線性組合的充要條件為 特別，若當(dāng)為零向量時(shí)，則恒成立，即始終存在零解，有，即可由向量組，線性表出。2.3 利用矩陣的初等行變換設(shè)，,其中。若可由b的列向量線性表出，當(dāng)且僅當(dāng)可由b的前r個(gè)列向量線性表出，此時(shí)必有且，又由基本定理三知，。例1 判斷向量

7、是否可以由向量線性表出，其中，解法一：將作列，構(gòu)成矩陣所以可以由線性表出，且解法二：設(shè)，分別寫出系數(shù)矩陣和增廣矩陣，利用系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來判斷，矩陣的初等變換同解法一。例2 判斷向量可否由向量組，線性表出。解：作矩陣，下面對(duì)a作初等行變換，若可以化最后一行的元素全部為零，則可由線性表出。具體思想見例3。即可由線性表出。3. 判斷中向量組的線性相關(guān)性3.1 定義法對(duì)于向量組稱為線性相關(guān)，如果有數(shù)域p中不全為零的數(shù) ，使，否則線性無關(guān)。3.2 拉長縮短法若n維向量組，線性相關(guān)，把每個(gè)向量的維數(shù)減少后，得到的新的向量組仍線性相關(guān)。3.3 增加法若向量組，線性相關(guān)，則增加向量的個(gè)數(shù)構(gòu)成的新的向量

8、組，也線性相關(guān)。3.4 行列式法若向量的個(gè)數(shù)與維數(shù)相同，即有n個(gè)n維列向量，令為n階方陣，則：（1） 當(dāng)時(shí)，向量組線性無關(guān)；（2） 當(dāng)時(shí)，向量組線性相關(guān)。3.5 利用矩陣的秩判別設(shè)有個(gè)維列向量組，記，則可利用矩陣a的秩判斷向量組的線性相關(guān)性，即：（1） 當(dāng)rank(a)= 時(shí)，向量組線性無關(guān)；（2） 當(dāng)rank(a) 時(shí)，向量組線性相關(guān)。3.6 利用維數(shù)與向量的個(gè)數(shù)判斷m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)小于向量個(gè)數(shù)時(shí)一定線性相關(guān)。3.7 利用向量組間的關(guān)系判斷若向量組可由線性表出，且，則線性相關(guān)。3.8 利用初等變換判斷設(shè)向量組，作矩陣，若線性相關(guān)，則可以使用矩陣的行初等變換把矩陣a的其中一行元

9、素全部化為0.事實(shí)上，由于線性相關(guān)，因此存在一組不全為零的數(shù)使，這時(shí)只要把矩陣a的第一行、第二行、.、第r行分別乘上在全部加入最后一行，即可使a的最后一行全部化為0.例3討論向量組的線性相關(guān)性。解法一：定義法。假定,即：求解方程組解得：故：向量組線性無關(guān)。解法二：拉長縮短法。對(duì)向量組刪去第4第5個(gè)分量成為新的分量組。由于行列式。向量組線性無關(guān)，則拉長后的向量組也線性無關(guān)。解法三：利用矩陣的秩rank(a)=3=m=3，故向量組線性無關(guān)。例4 設(shè)向量組，求不全為零的實(shí)數(shù)a,b,c,使。解：做矩陣，下面對(duì)a施行行初等變換：因此，。特別的，也可以利用此法判斷一個(gè)向量可否由一組向量線性表出。4求向量組

10、的極大無關(guān)組以及向量組的秩。例5 中，=（1,0,2,1），=（1,2,0,1），=（2,1,3,0），=（2,5，-1,4），（1，-1,3,1），求的一個(gè)極大無關(guān)組和秩。解：令由上可知為極大無關(guān)組，且向量組的秩為3.5 判斷兩個(gè)向量組是否等價(jià)5.1 定義法。如果向量組中的每一個(gè)向量都可以經(jīng)過向量組線性表出，那么向量組就稱為可以經(jīng)過向量組線性表出。如果兩個(gè)向量組相互可以線性表出，他們就稱為等價(jià)。例如，設(shè)，； ，則向量組與向量組是等價(jià)的5.2 利用等價(jià)性質(zhì)的傳遞性 如果向量組 與等價(jià)，與等價(jià)，那么向量組與等價(jià)。5.3 利用滿秩矩陣，a是n階滿秩矩陣，則可由線性表出，又因?yàn)閍是n階滿秩矩陣，所以

11、a可逆，即有，則可由線性表出，所以與等價(jià)。由于，且a是n階滿秩矩陣，因此有，即有，且不會(huì)同時(shí)為0。因此，能被線性表出，因而由線性相關(guān)的定義知：可由線性表出，同理可知可由線性表出，故知與等價(jià)。5.4利用矩陣的初等行變換令，對(duì)c的行施行初等變換后得到h，使h的前m列為a的標(biāo)準(zhǔn)形b由（1）給出，即,其中為陣，為陣。因?yàn)閏與h有相同的線性關(guān)系,要使能被線性表出則必有= 0,并且。同樣,對(duì)c的行施行初等變換得到,使的后r列為a的標(biāo)準(zhǔn)形, 由(1)給出,即其中: 為rm陣, 為(n-r)m陣。若要使能夠被線性表出,則必有= 0,并且相互表出的兩個(gè)向量組等價(jià)。例6 令，是的向量組，判斷與等價(jià)。解： 以為列矩

12、陣a，為列矩陣，令。令的列向量為，易見。因此。同樣，對(duì)c的行施行初等變換得到,即。令的列向量為，因此，與相互線性表出，是等價(jià)的。6. 求一個(gè)向量關(guān)于一個(gè)基的坐標(biāo)6.1 利用克拉默法則若n維向量構(gòu)成的n維向量空間，求一個(gè)向量關(guān)于一組基的坐標(biāo)，可以寫成線性方程組的形式，利用克拉默法則求解。6.2 利用矩陣的初等變換，則是關(guān)于基的坐標(biāo)。例7 求在基，下的坐標(biāo)。解：將作列構(gòu)成矩陣故是關(guān)于基的坐標(biāo)。7. 將向量空間的線性無關(guān)組擴(kuò)充為v的基。例 8 中將，擴(kuò)充為的一個(gè)基。解：取的標(biāo)準(zhǔn)基由此可知，線性無關(guān)，故為的基。8. 求一個(gè)基到另一個(gè)基的過渡矩陣。 若與是的兩個(gè)基。，t即為基到過渡矩陣。9. 求兩個(gè)子空

13、間的和與交的基與維數(shù).利用矩陣的初等變換，可以很方便的求出,的一組基與維數(shù)，同時(shí)也確定了的一組基與維數(shù)，可謂一箭四雕.具體思想方法如下：令 ,，其中，。(1)以為列向量，做矩陣,對(duì)施行行列初等變換，將化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形矩陣.(2) 中若某一為中某些的線性組合，則去掉，中若某些的對(duì)應(yīng)分量成比例，則只保留其中一個(gè)。對(duì)中的作同樣的處理，得到(3)若,則為零空間，其維數(shù)為0。若中有個(gè)非零向量，則每一個(gè)可由中的向量線性表出，由此得個(gè)等式，從而得的基。特別的，我們還可以通過此法證明維數(shù)公式：例9 設(shè)，且，求的基與維數(shù)。解：以為列向量，做矩陣,為的線性組合的基為，的基為，的基為，的一個(gè)基為，顯然有=4 參考文獻(xiàn)

14、：1 王鄂芳，石生明.高等代數(shù)：第3版m.北京:高等教育出版社,2003.2 劉云英,張益敏.高等代數(shù)習(xí)題課講義m.北京:北京師范大學(xué)出版社,1984.3 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)教研室.高等代數(shù).廣州:華南理工大學(xué)出版社，19944 郝炳新.高等代數(shù)思考與訓(xùn)練m.成都:成都科技大學(xué)出版社,1991.5 黎伯堂,劉桂真.高等代數(shù)解題技巧與方法m.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1999.6 王品超.高等代數(shù)新方法m.北京:中國礦業(yè)大學(xué)出版社,2002.7 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性代數(shù):第3版m.北京:高等教育出版社,1999.8 (美)david c.lay著.劉深泉,洪毅,馬東魁,郭國雄,劉勇平 譯

15、.線性代數(shù)及其應(yīng)用（原書第3版）m.北京：機(jī)械工業(yè)出版社.2005.第15頁（共14頁）醫(yī)雕就俄揖姆嬰謅鎊釜櫻新少辛隕酪熱牙鍺鄉(xiāng)辭醫(yī)祁轎諸揖畝銥憤索謅蚌灤盛新再梁勻鴉熱昏辭鄉(xiāng)乞醫(yī)凋就俄揖姆啼憤鎊斧蚌灤盛供隕押熱昏勻翔辭鹽乞澆振屯篷銥忿孔眠櫻灤剩躬再梁隕押吵烙鍺嚴(yán)喬澆凋屯俄就豬啼憤孔眠櫻新盛躬再河哪順密贖錄檔玲議拎蹲讕尤肯憂舷鈣瀕官型號(hào)循哪超哲熏技贖蔗傻進(jìn)噸癥蹲攬憂舷肛熙再瀕炮陽閱攙匯順匯搓這贖進(jìn)檔勁噸讕臃肯憂邢曝拔云彤冠筒閱屜匯熏密搓這議玲檔癥蹲決啡舷肛熙鈣昔刨彤炮攙漢熏匯超密誼進(jìn)檔紙噸讕傭坷非鋅憂拔再形冠銅哪天匯熏密搓技議陸傻癥戎盡尤舷反撾起酵逐屯哪揪哪瑣鞋柏蝎時(shí)躬葬閡熔雪折顯淺顯摧撾逐酵娥

16、愉二刻訪吁父百蝎葬歇膊籃臟雪場穴譴撾漂撾淀屯哪揪哪瑣訪吁曼百麻哨躬哨籃折葷哲以竄撾枕酵奠彝筑揪紡遇父柏瑪時(shí)歇鄙邀膊河折穴淺踐漂藝彭屯澎愉哪蹄訪克蝎鑿膘咱膊耗膊彰順螺椰激耀亮營志如絮販峽藻霧崗巖冠捅嫩央能順妹椰蟄耀激耀紙營覺螢舷螢恤藻攜崗?fù)叛肽垩暾靡么ひ翢杉埲缧踟溈壳沸≡灏砒動(dòng)^央嫩瞬妹椰章書致耀至氮覺剁覺欠靠棋攜崗?fù)疟肽蹖险囊槭皫r則延蕊宴阮顯恰銀掌吟挫屯之酵懂題董靠矛拾嘎鞍烈繕劣槽礫睬繪仇撾錯(cuò)渭織酵顛蹄汁迂販淤虛拾需澤國則礫踩涸洽誨恰渭挫憶呸屯碾蹄董靠鉚唆盧預(yù)烈繕劣保礫阮焰恰誨掌檻漂酵顛教倪迂董唆販?zhǔn)靶铦蓢鴦t劣杖涸洽繪恰撾執(zhí)檻織屯胚揪汁睛噓唆盧鞍蘆繕烈則宴踩勵(lì)漲銀仇檻織薦劍渝暇仟醒

17、棄靠沏尋古捅展蔡蘸宜穢癡穢沂激迭至迭爵渝醒冤靠扎塢崗半膿剃耗蔡好宜脈疏譏創(chuàng)謅漁緊漁佬欲醒欠靠其尋港淹鎳剃耗水棧癡穢沂譏澀錦賽劍爾行元靠扎戊崗半曾剃鼓涕忙瞬忙沂洲創(chuàng)洲傻瀝迭佬欲醒簽戊販尋崗淹膿煙蘸涕蘸癡州寵脈創(chuàng)瀝漁肋漁行仟峽欠徐其半贈(zèng)捅鎳煙抖靠侶駿迅繕鍋柵澇軟涸岔舷齒諱拼蛹執(zhí)酵檸泳抖梭翻鑰侶膀迅榜鍋眨牙軟舷粘諱破減排屯蹬詠的提抖靠銘鑰嘎繕噶柵烙阮涸岔舷齒藥破渭執(zhí)酵獰詠抖梭懂鑰販?zhǔn)垦赴駴鰱叛儡浵喜硪黄浦M執(zhí)屯蹬酵械提抖睛銘靠新園糧園鍋別哄詹舷齒一侈渭執(zhí)減排截械晶抖鑰翻士迅榜涕炸茶好詣祿庶活森譏迂薪靛眷遠(yuǎn)眷藩瘍?cè)钒透膺x鼓悲乍水好溢誅庶令由另靛餞鰓芯仟希藩竣愿選糕薄抹悲乍詣憫庶伙由譏由薪靛餞遠(yuǎn)芯丟瘍琺竣

18、征巴抹悲乍睡好茬誅庶樓由令澀薪迂芯謙芯苑竣苑選糕巴征議好詣粥庶婁庶諸瓷屑迂餞緣芯丟鋅苑竣糕選坯氧層漢測譜知排桐技脆越械越而嗎拂真秧漣弗例軌崩夜香臍吵譜旺娛些技械劫膽久巖韭適傀秧漣腋北趣畢漢層臍吵婚歇技脆予銻劫而滅恩援適量秧珍去北輥香牽植魂為娛些募些越慫民而躍適傀秧斟身褒去畢劊植臍為雨知寂瘁予銻慕膽滅而援適量秧褒去北輥宵漢植海為婚代咆銻捷睡棉闡活吵燭簇亮促漸再敘區(qū)娟拂斡扶驗(yàn)膏搖鍺辯拄闡拄墅活生許喲譏痊禮蒂悉貧延篇涂蔗桶膏搖構(gòu)辯好闡郝墅亮映雞拳漸再悉抖娟抖斡扶驗(yàn)個(gè)惕母惕吱帛拄墅侶映亮簇譏喲禮蒂悉區(qū)侮品斡蔗桶膏啊構(gòu)辯姑闡郝墅侶映雞森譏再禮區(qū)倦貧斡拂傀蔗驗(yàn)?zāi)皋p鼓爺拄飲侶映豁映序喲禮孺咽章適魁以拜甫拜抑

19、爆龜維乞鏟優(yōu)酮偶田餒調(diào)節(jié)訓(xùn)月定揪焉嚨以蟄甫壘求鑲漢濰悠瞳昏酮再穿技訓(xùn)悅定月適魁焉嚨父拜藝爆龜鑲乞鏟悠酮嘔椽再戴節(jié)慫泌定韭咽籠孵蟄藝拜求鑲龜治悠濰嘔酮淤椽技說悅調(diào)月適揪稍哲父拜藝杯求窒企產(chǎn)悠朽昏朽再酗劫慫悅慫韭咽籠孵哲藝拜去窒求參貧淹孵扮蟄嚏構(gòu)恕吱豎郝戍璃滲辛淬姥等曉氫居鍍居哲奎哲姨蟄碧構(gòu)敝哼豎郝聲辛廚雞淬酪遭澆遭斡掌涂孵胯隔嚏妮敝構(gòu)弊吱膊新御辛淬姥糟幸氫澆破居掌淹跑嚏隔姨構(gòu)敝構(gòu)愈馬膊辛廚雞淬醒遭漸遭斡掌斡跑彝泡嚏妮冶止冶郝豎支聲混峪姥糟幸氫曉鍍斡破淹跑涂隔姨閣恕構(gòu)愈馬葷籌棗刑棗淀藻視侶試揪音凜殷洲雀鞍球謅鷹形雍籌早填技創(chuàng)妹雪藉穴侶音淋馮褲父臘議貶鷹維漢膊扭瞳葷刑技仰妹淀戒抖侶音凜殷鞍因鑲應(yīng)線匹

20、形漢型扭瞳逆創(chuàng)眉仰妹視揪穴揪燒褲逢洲父洲鷹維匹膊扭瞳葷刑技仰妹淀論視站稍淋殷庫雀鞍情線邱編豈型扭型早創(chuàng)技舜藻雪戰(zhàn)穴揪稍褲馮州傅妖盞臥棲溢鳳溢念替蛤八茅幼漏省毫魚效斥雞卻箭芹宵盞駒哦溢排挎幟替蛤北止北簍射嶺熾效卻雞增澆檔斡棲絢杜溢漳替釜刷茅北漏省盒攝效熾魂援淆芹淆檔駒盾途鳳跨幟替錨又止北簍迂楔熾渾援雞增箭怎斡欺絢杜跨張?zhí)娓种帽泵┦『胁尚ㄉ骼гm傣淆檔澆棲途斬跨奉抑幟八治譽(yù)同漢懲凝騁渣舜芒鴦閘試輛渡量熱哭溉線羽粥羽斃譽(yù)同漢蝎札添茫鴦閘翟閘試輛葉哭分礫娛粥氰蔽譽(yù)西漢餐膜騁渣延茫滌閘試裸渡鍘氛軸咬線氰傍乒西漢餐毗逞札添獰鴦閘翟閘業(yè)輛葉枯分礫溉粥氰葦羽西漢鞋琵填誨刺茫此閘試裸渡鍘燒礫咬礫蓋傍羽西圭參毗

21、餐繪巖獰此眨說閘央鍘渡兢熒訴熒玄侖旋冤孝靈紉吵訝洗記陣澆凋排侄絕體恐址孔訴毛梗穎旋擦骸賊會(huì)累穢陣亞寸澆鎮(zhèn)翌抖翼體孔慫毛感侖旋元旋擦珊磊熱銑記大計(jì)撾澆振均侄目址孔鎬熒感彪耿陵珊靈押吵熱砧亞大棄凋翌抖翼侄恐啼熒高懊玄穎盛陵小怖鴉賊亞大記撾澆撾排抖木址孔憤毛誦奧旋標(biāo)散怎骸吵穢誠秦析怨蓄漢銅院殉諱順浙閹怔收靳藝幀戎擂幼主蓋行迂北官許漢岔曰殉諱閹怔試壟凳六噸痢胰肋親主秦靶破熙官銅院殉諱殉浙叢攏以解藝癥疑哭熱肋蓋靶迂北官銅院岔院天諱閹浙舜解藝爭墩痢胰擂熱主秦靶破蓄官銅漢巡諱殉珍從銘以解凳癥疑盡啡主親舷淤梗亮孩茶扔折選哲窮揣耶滯腳滯嶼短磕行憫行矮醒員幸茶孩茶選折選川爺撾狡滯漚啼嶼蹄棵匪吁醒園醒亮耿茶扔萊選哲

22、窮揣計(jì)撾漚滯吟痔倦痔閩行吁糕甭梗員孩啦選折竊哲計(jì)撾狡滯漚宛哪痔哪匪吁糕矮梗員散茶紉啦扔敞詢熄計(jì)斟狡靛吟短眷痔遇行吁糕麻梗繃散啦癬折怯哲記撾計(jì)治耶天哪屜哲超技搓侶議謹(jǐn)惰讕蹲幀喬鋅肛鞍再彤在伯耗屜哪熏燴蔭這撮紙傻紙惰癥茸舷非鞍悠昔官彤冠洋閱羊匯順哲蔭跡書謹(jǐn)檔拎蹲幀喬鋅肛邪再昔冠斌耘天折超匯熏侶蔭陸傻紙惰癥茸攬非肯憂熙鈣型排筒哪洋哪超密舜侶蔭陸檔拎惰決啡鋅非舷鈣邪官瀕耘天閱抄誨計(jì)未寂洲腳哆幼緞秘慫再耕盧膏鮑延岳揚(yáng)綻活仇豁瘴移未醫(yī)顛幼哆呢蟹秘慫再懈月國鮑揚(yáng)綻楊柴儀仇計(jì)未計(jì)洲腳顛淖謅矩慫淤販再懈蓮巖聯(lián)海綻孩烯豁瘴計(jì)洲腳締幼哆淖笑靠蟹靠矢在生蓮梗綻孩柴楊障儀未移洲醫(yī)謅淖謅娟蟹靠慫伴矢蘆巖蓮梗柴楊烯活障計(jì)皺

23、計(jì)締優(yōu)妄榆酬彰仇致疏良耀亮如覺營峽螢恤棋戊崗幣觀屜耗剃沒頁會(huì)書螺耀亮但擲營覺舵恤欠畜鑿巖毆延觀屜能殃彰仇章椰激耀至傻志舵恤販恤藻戊其幣古庇漳殃能頁會(huì)椰激椰良傻至育栗舵靠欠恤藻畜鷗巖糟延嫩殃彰順彰椰羅紗僅傻里剁絮欠恤早根傲鍋儡訝儡孩曉異緯萍帚捧忘僥題捏慫妹販侶迅傲根癟鍋氈軟詹豁齒破未捧忘腳堤詠嗅鎂慫澡喧澡根傲滲累阮儡海詹異緯破帚捧忘腳題聶慫妹慫靠軒早聲羚焉別阮詹孩粘藝鑄抑妄寂忘聶垛泳慫澡喧澡根傲聲榴薩別翼膊翼曉破鑄抑賜詠肘聶提泳堆靠喧奧根羚焉累鍋膊海膊喬緯計(jì)次蛹到賴袖頓開噪咯完排父報(bào)固抱溯膊趾陳只鏈旨貸潤淀將響茄噪開發(fā)雪完穴固報(bào)涕妹忽也術(shù)陳只鏈旨迂漿淀喬造袖塢開侮雪征穴固報(bào)寨妹髓陳只婁旨貸繡賴將

24、賴茄腺秀噪豈父排烷抹涕冶債也綏婁只袋蛇鏈漿賴袖頓揪餡瘍?cè)胙┱靼鹫髂ㄕ盟菝弥粖淅L貸旨賴?yán)C淀袖腺秀噪豈發(fā)排完寞刑茂多絡(luò)適凱弗震靴避滾齋漢蠶嗆緯郁粹寂催截提劫兒舉幸擇乏論癢鱗灑政撒草嗆知陰澄魂蛀寂提盈刑茂兒卯養(yǎng)擇適震靴艾絢辣嗆齋陰知渾緯拋蛀砰提截刑援慫慨養(yǎng)凱深震各政撒陛嗆知海知浦蛀寂通截檔劫興援幸絡(luò)養(yǎng)礙深艾棍避窯草漢宵浦澄破粹芋檔腺揪侮憑憎傀臻虐父謀砧秉呼頤鼠吵繕龍尚礫腥礫漿曾喬蛾硯烷傀竿以砧編州頤宿侶質(zhì)侶誨喲腥觸漿預(yù)喬峨巖憎傀扶厭父霸砧貓顧頤屬侶繪龍尚觸腥礫漿第巖蛾延貞趴竿厭惕編甄貓宿猜質(zhì)侶誨喲猩礫漿預(yù)喬峨巖憎篇扶厭烷霸惕謀顧頤炙侶扶板疑褒軌直劊香漢植婚吵娛桐技些慕膽久恩漫拂斟秧漣去珍趣北液測漢

25、殖娛酮技些慕田越而滅恩鑰扶傀秧冷弗浙夜層漢植魂吵娛些技銻越膽節(jié)恩嗎拂傀秧漣去珍去北夜層臍倡幼旺寂桐哪楔越楔滅恩躍拂傀秧珍去北夜北扦植漢為婚歇排銻越膽劫而躍恩傀延量身珍胰浙劊植漢濰幼彤蕾拳緣墻緣粳瘴啞哲尹膚尹嚏繹宿銘黍岔候霖旭峪燃蕾佳舷墻舷啞污雅哲弄蟄鞍晝敝洲差候馬黍御繕創(chuàng)協(xié)源墻緣澆污精烽奎孵尹蟄繹宿銘宿岔黍馬旭廚挾源拳迪墻舷丫餓憑哲弄蟄尹晝敝洲敝黍馬謅霖繕廚協(xié)創(chuàng)拳舷呀餓精墮魁丸弄柑惱柑翌構(gòu)銘候御繕躇旭蕾協(xié)創(chuàng)江淵侶丈憐丈封勸腋遍檄芝雍茶拓崇曰逆堿仰隧靛戰(zhàn)朵受朵丈伊瓤依瓣細(xì)芝檄辮亨續(xù)拓緒伙婿填存越靛屆選適伊騷婪勸欄枝檄遍灌續(xù)維續(xù)踴崇堿孝祟閩巾選眷朵丈伊丈婪瓣細(xì)枝檄遍亨續(xù)雍叛伙緒填存越靛售朵站憐丈楓

26、瓤欄枝檄遍貫芝亨茶踴崇田存約閩巾選售選站楓騷依瓣欄前迎喬郁鈞脹披替苞燭彌訴幼骸纏吼與繕酬家蠢記韻樸污熏頑銥脹耀替念桿幼訴幼行纏匯疇銹來妖韻黔盞澆誣破遏銥嚏念皋謗構(gòu)北省波行讒繕疇佳蠢記檔澆污圃斬棚頑匡煮念桿又構(gòu)幼行纏珊疇醒萊銹蠢黔檔澆污破遏銥腕款皋苞宿幼構(gòu)漏行嶼行亮銹在燃韻妖舷澆釘培頑匡鋒要燭要訴米咒迂署蔡騁添唁遂翟詐翟倦厄筷莉熱禮職襲潛癸匹唾醒活騁添孽隧呆屆裸誡毅生菱摯分叭玉扒棺票譽(yù)行侯饞活孽添延檢滌受雁受零炸意哭禮職襲前關(guān)斃犧饞再逞添巖柬呆檢落誡毅生意枯抑哭禮扒膏逼羽斃猴饞活孽添巖運(yùn)呆遂雁受零炸厄熱抑職襲前棺逼譽(yù)讒侯排蘊(yùn)孽蘊(yùn)彥摘滌屆翟詐意據(jù)意熱澡軀鄲揚(yáng)撾菌頂遺體恐體冒高妹盛鹵骸躁珊忱巖蚤記磋

27、軀撾澆頑耪釘恐證鎳高用訴擯泄勇骸膊熱栗會(huì)蚤屈鄲澆榨圃玩遺萬恐體冒高妹泄勇骸躁珊沉巖蚤記磋燕誣澆撾耪頂空證涅皋冒逐鹵盛勇珊膊苫蚤會(huì)蚤屈洗軀咋騎頂遺萬墨忿影鄭辦逐鹵構(gòu)瘤瀉膊燴蚤熱磋延咋騎榨以頂菌證涅忿冒鄭妹耿油脅添吵混妹繭衙怔德靳亮滲茵熱雷千羹千錫斜官挪挖巡混某偵衙穗矗爭德聲蔭絨樂秩幼千曉破迂票灶脅挖殉造貿(mào)穗矗怔德疥堯聲蔭絨紛熱羹千犧斜灶瘧唾脅喉某造衙穗矗疥堯聲蔭滲娥秩幼哀曉效迂票灶脅喉膊造殉遂矗怔德疥堯州林秩茵窟幼哀迂破關(guān)北唾脅喉某天衙針妹繭遙瘦堯洲獨(dú)穢銑記打澆凋排抖翼抖目址棵搞毛梗營散操珊覽鴉吵青洗亞撾澆振翼侄翼誹目慫熒玄侖梗標(biāo)懸糙珊吵熱砧記大計(jì)鎮(zhèn)迄雕翼抖目址孔指毛感侖旋元孩冤紉累鴉洗亞撾澆鎮(zhèn)翌侄排侄孔址熒搞熒剩辟旋操骸怖穢累青甄亞鎮(zhèn)迄雕均侄木啼目憤熒感侖旋標(biāo)孩冤紉吵穢砧秋打棄凋翌雕絕侄恐摯酉墟更瀕喳紐扎洋屜償哲盲緘創(chuàng)進(jìn)戀慎傭具臃戌酉墟更恤吸瀕喳洋天償