圓的定義確定基本要素Word版

1、傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！圓的概念及確定 1. 圓定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段oa繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)a所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)o叫做圓心。（確定圓的位置）線段oa叫做半徑。（確定圓的大?。┯浄ǎ阂渣c(diǎn)o為圓心的圓，記作“o”，讀作“圓o”注意：（1）圓指的是“圓周”而不是“圓面”。（2）半徑指的是線段，為了方便也把半徑的長(zhǎng)稱為半徑。圓的確定：（1）一個(gè)圓心一個(gè)半徑（2）圓心、圓上一個(gè)一個(gè)的已知點(diǎn)（3）直徑2. 圓的集合定義：（1）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。所以：角平分線可以看做是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)

2、的集合。（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線可以看做是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合。*把一個(gè)圖形看成是滿足某種條件的點(diǎn)的集合，必須符合：a.圖形上的每一點(diǎn)都滿足某個(gè)條件，b.滿足某個(gè)條件的每一個(gè)點(diǎn)，都在這個(gè)圖形上。（3）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心o）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑r），到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上。（圓心為o，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)o的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形）圓的集合定義：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上，圓外三種，設(shè)o的半徑為r，點(diǎn)p和

3、圓心o的距離為d，則有： 點(diǎn)在圓內(nèi)； 點(diǎn)在圓上； 點(diǎn)在圓外。 6. 理解定理，不在一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，并掌握不在同一條直線上三點(diǎn)作圓的方法。 7. 會(huì)用尺規(guī)作經(jīng)過(guò)不在同一直線上三點(diǎn)的圓。 8. 了解三角形外心的概念。 9. 過(guò)三點(diǎn)的圓 確定一個(gè)圓有兩個(gè)基本條件：圓心（定點(diǎn)），確定圓的位置；半徑（定長(zhǎng)），確定圓的大小。只有當(dāng)圓心和半徑都確定時(shí)，圓才能確定。 此外，下列條件都可以確定圓心和半徑，因而都能確定圓：（1）經(jīng)過(guò)不在一直線上的三點(diǎn)的圓；（2）已知圓心和圓上一點(diǎn)的圓；（3）以已知線段為直徑的圓。 特別要注意的是，過(guò)任意三點(diǎn)不一定能作圓，如果三點(diǎn)在同一直線上，則不能作圓。 10. 反證法

4、： 從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫反證法。關(guān)系定義圓心實(shí)質(zhì)半徑圖示外接圓經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓外心三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)交點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓內(nèi)心三角形各內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)交點(diǎn)到三角形各邊的距離2、如何畫一個(gè)三角形的外接圓與內(nèi)切圓？畫圓的關(guān)鍵：確定圓心；確定半徑3、性質(zhì)有哪些？(1)外接圓性質(zhì)：銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形斜邊中點(diǎn)上。鈍角三角形外心在三角形外。有外心的圖形，一定有外接圓。直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)。 外接圓圓心到三角形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等（oa=ob=oc）。(2)內(nèi)切圓性質(zhì)：三角形一定有

5、內(nèi)切圓，圓心定在三角形內(nèi)部。一般三角形的內(nèi)切圓半徑：r=2s/(a+b+c)，r=sqrt(p-a)(p-b)(p-c)/p （a、b、c是3個(gè)邊，s是面積，p=(a+b+c)/2）直角三角形的內(nèi)切圓半徑：（a, b是rt的2個(gè)直角邊，c是斜邊）r=(a+b-c)/2 兩直角邊相加的和減去斜邊后除以2r=ab/(a+b+c) 兩直角邊乘積除以直角三角形周長(zhǎng) 注意：等邊三角形的內(nèi)心、外心重合。練習(xí)：1、abc中，a=55度，i是內(nèi)心，則bic（ 117.5 ）度。2、abc中，a=55度，其內(nèi)切圓切abc 于d、e、f，則fde（62.5）度。3、三角形的三邊長(zhǎng)分別為3cm、4cm、5cm，則其

6、內(nèi)切圓的半徑為（1cm）。4、直角三角形的兩條直角邊分別是5cm和12cm，則它的外接圓半徑（6.5cm）內(nèi)切圓半徑（2cm）。5、等邊三角形外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比（2:1） 例1. 如圖所示，已知矩形abcd的邊。 （1）以點(diǎn)a為圓心，4cm為半徑作a，則點(diǎn)b、c、d與a的位置關(guān)系如何？（2）若以點(diǎn)a為圓心作a，使b、c、d三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，則a的半徑r的取值范圍是什么？ 例2. 畫圖說(shuō)明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡。 （1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)a，且半徑等于2cm的圓的圓心軌跡； （2）邊，面積為的abc的頂點(diǎn)a的軌跡。 例3. 下圖中的五個(gè)半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲(chóng)同時(shí)出

7、發(fā)，以相同的速度從a點(diǎn)到b點(diǎn)。甲蟲(chóng)沿路線爬行，乙蟲(chóng)沿路線爬行，則下列結(jié)論正確的是（ ）a. 甲先到b點(diǎn) b. 乙先到b點(diǎn)，c. 甲、乙同時(shí)到b點(diǎn) d. 無(wú)法確定 例4. o半徑為2.5，動(dòng)點(diǎn)p到定點(diǎn)o的距離為2，動(dòng)點(diǎn)q到p點(diǎn)距離為1，問(wèn)p點(diǎn)、q點(diǎn)和o是什么位置關(guān)系？為什么？ 例5. 求證：菱形四條邊中點(diǎn)在以對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心的同一圓上。 已知：如圖所示，菱形abcd的對(duì)角線ac和bd相交于點(diǎn)o，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點(diǎn)。 求證：e、f、g、h四個(gè)點(diǎn)在以o為圓心的同一圓上。 例6. 如圖所示，a、b、c、d、e相互外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)五個(gè)圓心得到五邊形abcd

8、e，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是（ ） a. b. c. d. 例7. 如圖所示，是一塊圓形砂輪破碎后的部分殘片，試找出它的圓心。 例8. 如圖所示，在abc中，d、e分別在ac、ab上，bd、ce相交于點(diǎn)o，證明bd和ce不可能互相平分。 例9. 用反證法證明：三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60。 證明：假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于60，則這個(gè)三角形的內(nèi)角和小于180，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾。 所以，三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60。 例10. 如圖所示，四邊形abcd的對(duì)角線ac、bd相交于點(diǎn)o，且oaob，ocod。 證明：四邊形abcd一定有外接圓。 【模擬試題】（

9、答題時(shí)間：45分鐘） 1. ab是o的弦，oqab于q，再以oq為半徑作同心圓，稱作小o，點(diǎn)p是ab上異于a、b、q的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)p的位置是（ ） a. 在大o上 b. 在大o的外部 c. 在小o的內(nèi)部 d. 在小o外且在大o內(nèi)2. 下列命題正確的是（ ） a. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)a且半徑等于a的圓心o的軌跡，為以o為圓心，a為半徑的圓 b. 如果一個(gè)圖形上的每一點(diǎn)到一個(gè)角的兩邊距離都相等，那么這個(gè)圖形一定是這個(gè)角的角平分線 c. 到直線ab的距離等于5cm的點(diǎn)的軌跡是平行于直線ab，且到ab的距離等于5cm的一條平行線 3. 下列命題正確的是（ ） a. 三點(diǎn)確定一個(gè)圓 b. 圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形

10、 c. 三角形的外心是三角形三個(gè)角的平分線的交點(diǎn) d. 三角形的外心是三角形任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn) 4. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） a. 三角形的外心不一定在三角形外部 b. 圓的兩條非直徑的弦不可能互相平分 c. 兩個(gè)三角形可能有公共的外心 d. 任何梯形都沒(méi)有外接圓 5. 下列命題中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（ ） （1）三角形只有一個(gè)外接圓； （2）鈍角三角形的外心在三角形外部； （3）等邊三角形的外心也是三角形的三條中線、高、角平分線的交點(diǎn)； （4）直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)。 a. 0個(gè) b. 1個(gè) c. 2個(gè) d. 3個(gè) 6. 用反證法證明，“若o的半徑為r，點(diǎn)p到圓心的距離d大于r，則點(diǎn)

11、p在o的外部”首先應(yīng)假設(shè)（ ） a. b. c. 點(diǎn)p在o外d. 點(diǎn)p在o上或點(diǎn)p在o內(nèi) 7. 在一個(gè)圓中任意引兩條直徑并順次連結(jié)它們的四個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)四邊形，則這四邊形一定是（ ） a. 等腰梯形 b. 菱形 c. 矩形 d. 正方形二. 填空題。 8. 已知ab為o的直徑，ac為弦，odbc交ac于d，ac6cm，則dc_。 9. 直角三角形外接圓的圓心在_上，它的半徑等于_的一半。 10. p點(diǎn)到o上的點(diǎn)的最小距離是6cm，最大距離是8cm，則o的半徑是_。 11. p是o內(nèi)與o不重合的點(diǎn)，則在經(jīng)過(guò)p點(diǎn)的所有弦中，最長(zhǎng)的弦是_。 12. 若一個(gè)圓經(jīng)過(guò)梯形abcd的四個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)梯形是_

12、梯形。 13. 用反證法證明“一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是直角”時(shí)，第一個(gè)步驟是_。三. 解答題。 14. 已知abc中，c90。求證：abac，abbc。 15. 如圖所示，debc于e，dfac于f，dgab于g，并且e、f、g三點(diǎn)共線，求證：a、b、c、d四點(diǎn)共圓。 16. 如圖所示，ac、bd是o的兩條直徑，求證：四邊形abcd是矩形。 17. 如圖所示，四邊形abcd的一組對(duì)角b、d都是直角，求證：a、b、c、d四點(diǎn)在同一圓上。 18. 已知點(diǎn)a的坐標(biāo)是（0，-3），以c為圓心，5個(gè)單位長(zhǎng)為半徑畫圓，求c與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)并判斷點(diǎn)p（-3，0）是否在c上。例：思考：車輪為什么是圓的

13、？3. 與圓有關(guān)的概念（1）弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。（2）直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。注意：直徑是一種特殊的弦，直徑是最長(zhǎng)的弦，但弦不一定是直徑。（3）弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧。以a、b為端點(diǎn)的弧記作（4）半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。注意：半圓是一種特殊的弧。補(bǔ)：（5）弧的分類：優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧 優(yōu)弧半圓 劣?。盒∮诎雸A的弧注意：優(yōu)弧、劣弧都是弧，但是優(yōu)弧大于半圓，劣弧小于半圓。例：如圖：ab、cb為o的兩條弦，試說(shuō)出圖中的所有弧。補(bǔ)（6）弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。補(bǔ)（7）同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。補(bǔ)

14、（8）等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。補(bǔ)（9）等?。涸谕膱A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。例：判斷對(duì)錯(cuò)1、 長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧。2、一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧不可能是等弧。 3、兩個(gè)半圓是等弧。4、半徑相等的弧是等弧。5、半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧。 6、分別在兩個(gè)等圓上的兩條弧是等弧。概念辨析：a) 弦是直的，弧是曲的。b)弓形由弦及其所對(duì)的弧組成。扇形由一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成。 c) 同圓指同一個(gè)圓，等圓、同心圓指兩個(gè)圓的關(guān)系。等圓是指半徑相等而圓心不同的圓，同心圓指圓心相同，半徑不同的圓。例：下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 a、直徑相等的兩個(gè)圓是等圓。b、圓中最大的弦是通

15、過(guò)圓心的弦。c、同圓中，優(yōu)弧和劣弧的和等于一個(gè)整圓。d、直徑是圓中最長(zhǎng)的弦例：ab為圓o的直徑，點(diǎn)c在圓o上，od/bc。求證：od是ac的垂直平分線例：圓o的半徑為5，弦ab/cd，且ab=6，cd=8，求以兩平行弦為底的梯形的面積。1. 舉出一些成圓形的物體的實(shí)例。2. 設(shè)ab3厘米，畫圖說(shuō)明具有下列性質(zhì)的點(diǎn)的集合是怎樣的圖形：（1）和點(diǎn)a的距離等于2厘米的點(diǎn)的集合；（2）和點(diǎn)b的距離等于2厘米的點(diǎn)的集合；（3）和點(diǎn)a、b的距離都等于2厘米的點(diǎn)的集合；（4）和點(diǎn)a、b的距離都小于2厘米的點(diǎn)的集合3. 在下面的矩形中，如果oa、ob、oc、od的中點(diǎn)分別為e、f、g、h。求證：e、f、g、h

16、4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上。圓心 弧 弦 弦心距之間的關(guān)系 1. 圓不但是軸對(duì)稱圖形，而且也是中心對(duì)稱圖形，實(shí)際上圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來(lái)的圖形重合。 2. 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。從圓心到弦的距離叫做弦心距。 3. 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。 4. 推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。 注意：要正確理解和使用圓心角定理及推論。 （1）不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，若沒(méi)有這一條件雖然圓心角相等，但所對(duì)的弧、弦、弦心距不一定相等。

17、 距也不相切。 （2）要結(jié)合圖形深刻理解圓心角、弧、弦、弦心距這四個(gè)概念與“所對(duì)”一詞的含義，從而正確運(yùn)用上述關(guān)系。 下面舉四個(gè)錯(cuò)例： 這兩個(gè)結(jié)論都是錯(cuò)誤，首先ce、fd不是弦，cea、bfd不是圓心角，就不可以用圓心角定理推論證明。 （3）同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，同時(shí)在本定理和推論中的“弧”是指同為劣弧或優(yōu)弧，一般選擇劣弧。 （4）在具體運(yùn)用定理或推論解決問(wèn)題時(shí)可根據(jù)需要，選擇有關(guān)部分，比如“等弧所對(duì)的圓心角相等”，在“同圓中，相等的弦所對(duì)的劣弧相等”等。 5. 1的弧：因?yàn)橥瑘A中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以整個(gè)圓也被等分成360份，我們把每一份這樣的弧叫做1的弧。

18、 一般地，n的圓心角對(duì)著n的弧，n的弧對(duì)著n的圓心角，也就是說(shuō)，圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。 注意：這里說(shuō)的相等是指角的度數(shù)與弧的度數(shù)相等。而不是角與弧相等，在書寫時(shí)要防止出現(xiàn)“”之類的錯(cuò)誤。因?yàn)榻桥c弧是兩個(gè)不能比較變量的概念。相等的弧一定是相同度數(shù)的弧，但相同度數(shù)的弧卻不一定是相等的弧。 6. 圓中弧、圓心角、弦、弦心距的不等關(guān)系 （1）在同圓或等圓中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距較小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距較小時(shí)，則弦較大。 當(dāng)弦為圓中的最大弦（直徑）時(shí)，弦心距縮小為零；當(dāng)弦逐步縮小時(shí)，趨近于零時(shí)，弦心距逐步增大，趨近于半徑。 （2）在同圓或等圓中，如果弧不

19、等，那么弧所對(duì)的弦、圓心角也不等，且大弧所對(duì)的圓心角較大，反之也成立。 注意：不能認(rèn)為大弧所對(duì)的弦也較大，只有當(dāng)弧是劣弧時(shí)，這一命題才能成立，半圓對(duì)的弦最大，當(dāng)弧為優(yōu)弧時(shí)，弧越大，對(duì)的弦越短。 7. 輔助線方法小結(jié)： （1）有弦的中點(diǎn)時(shí)，常連弦心距，進(jìn)而可利用垂徑定理或圓心角、弦、弧、弦心距關(guān)系定理；另外，證明兩弦相等也常作弦心距。 （2）在計(jì)算弧的度數(shù)時(shí)，或有等弧的條件時(shí)，或證等弧時(shí)，常作弧所對(duì)的圓心角。 （3）有弧的中點(diǎn)或證弧的中點(diǎn)時(shí)，常有以下幾種引輔助線的方法： （i）連過(guò)弧中點(diǎn)的半徑；（ii）連等弧對(duì)的弦；（iii）作等弧所對(duì)的圓心角。 例1. 已知：如圖，在o中，弦ab、cd的延長(zhǎng)線

20、交于p點(diǎn)，po平分apc。 求證：（1）abcd；（2）papc 分析：要證明兩弦相等，可利用弧、圓心角、弦心距之中的一種相等來(lái)證，由于已知角平分線po過(guò)圓心，利用弦心距相等可以解決。 例2. 如圖，在o中，ab2cd，那么（ ） 例3. 求證：oeof 例4. 如圖，o中ab是直徑，coab，d是cd的中點(diǎn)，deab。 例5. 交ab于m、n。 求證：ammnnb 一. 選擇題。 1. 在o與o中，若中，則有（ ） a. b. c. d. 的大小無(wú)法比較 2. 半徑為4cm，120的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為（ ） a. b. c. d. 3. 在同圓或等圓中，如果圓心角boa等于另一個(gè)圓心角cod

21、的2倍，則下列式子中能成立的是（ ） a. b. c. d. 4. 在o中，圓心角aob90，點(diǎn)o到弦ab的距離為4，則o的直徑的長(zhǎng)為（ ） a. b. c. 24d. 16 5. 在o中，兩弦abcd，om、on分別為這兩條弦的弦心距，則om、on的關(guān)系是（ ） a. b. c. d. 無(wú)法確定 6. 如圖，ab為o的直徑，c、d是o上的兩點(diǎn)，則dac的度數(shù)是（ ） a. 70b. 45c. 35d. 30二. 填空題。 1. 一條弦把圓分成1：3兩部分，則劣弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為_(kāi)。 2. 一條弦等于其圓的半徑，則弦所對(duì)的優(yōu)弧的度數(shù)為_(kāi)。 3. 在半徑為r的圓中，垂直平分半徑的弦長(zhǎng)等于_。

22、 4. 在o中，弦cd與直徑ab相交于e，且aec30，ae1cm，be5cm，那么弦cd的弦心距of_cm，弦cd的長(zhǎng)為_(kāi)cm。 5. 已知o的半徑為5cm，過(guò)o內(nèi)一已知點(diǎn)p的最短的弦長(zhǎng)為8cm，則op_。 6. 已知a、b、c為o上三點(diǎn)，若度數(shù)之比為1：2：3，則aob_，boc_，coa_。 7. 已知o中，直徑為10cm，是o的，則弦ab_，ab的弦心距_。三. 解答題。 1. 如圖：已知，oa為o的半徑，ac是弦，oboa并交ac延長(zhǎng)線于b點(diǎn)，oa6，ob8，求ac的長(zhǎng)。 2. 如圖，中，o在的三邊上所截得的弦長(zhǎng)都相等，求boc的度數(shù)。 3. 已知：如圖，在o中，弦abcd，且abcd于e，be7，ae3，ogab于g，求：og的長(zhǎng)？ 4. 已知：如圖，求ofe的度數(shù)。 5. 如圖，c是o的直徑ab上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)c作弦de，使cdco，使的度數(shù)為40，求的度數(shù)。 6. 如圖：已知，o中，ob、oc分別交ac、db于m、n。 求證：是等腰三角形。 7. 如圖，o中弦abcd，且ab與cd交于e。求證：deae。一. 選擇題。 1. d 2. d 3. d 4. d 5. a